kh_verian_mikroekonomika_promezhutochny_ uroven (825836), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Следовательно, v(x\, x2) описывает в точности те же предпочтения, что и и(х\, х2), поскольку она ранжирует все наборы таким же образом.Идти в обратном направлении — находить функцию полезности, представляющую определенные кривые безразличия, — несколько сложнее. Для этогоможно прибегнуть к двум способам. Первый способ — математический. Исходяиз заданных кривых безразличия мы хотим найти функцию, которая принимала бы постоянные значения вдоль каждой кривой безразличия и приписывала бы большие численные значения более высоким кривым безразличия.Второй способ — несколько более интуитивный.
Исходя из описанияпредпочтений, мы пытаемся представить себе, что именно стремится максимизировать потребитель — какая комбинация товаров описывает его потребительский выбор. Хотя на данной стадии рассмотрения этот способ можетпоказаться несколько неясным, после обсуждения нескольких примеров егосмысл станет понятнее.Совершенные субститутыПомните пример с красными и синими карандашами? Для потребителя имело значение только общее число карандашей.
Таким образом, вполне естественно измерять полезность общим числом карандашей. Поэтому предварительно выберем функцию полезности вида и(х\, х2) = х\ + х2. Подойдет лиона? Достаточно задать себе два вопроса: принимает ли эта функция полезности постоянные значения при перемещении вдоль кривых безразличия?Приписывает ли она более высокие численные значения более предпочитаемым наборам? Поскольку на оба эти вопроса следует дать утвердительныйответ, перед нами — функция полезности.Разумеется, это не единственная функция полезности, которую мымогли бы использовать в данном случае. Можно было бы также использовать квадрат числа карандашей. Таким образом, функция полезностиv(x t ,х 2 ) = (х, + хг ) 2 = jcj2 + 2дс,х2 + х\ тоже представляет предпочтения .дляПОЛЕЗНОСТЬ______________________________________79^случая совершенных субститутов, как, рпрочем, и любая другая функция, являющаяся монотонным преобразованием функции и(х\, х2).Что, если потребитель хочет заместить товар 1 товаром 2 в соотношении,отличном от соотношения "один к одному"? Предположим, например, чтопотребителю потребуются две единицы товара 2, чтобы компенсировать отказот одной единицы товара 1.
Это означает, что товар 1 вдвое ценнее для потребителя, чем товар 2. Функция полезности, следовательно, принимает види(х\, л/j) — 2xi + *2- Заметьте, что эта функция полезности дает кривые безразличия с наклоном —2.Вообще предпочтения в отношении совершенных субститутов можнопредставить функцией вида"(*ь *2) =axi + Ьх2.Здесь а и Ь — некие положительные числа, измеряющие "ценность" товаров 1 и 2 для потребителя.
Обратите внимание на то, что наклон типичнойкривой безразличия задан — а/Ь.Совершенные комплементыЭто случай левого и правого башмаков. При предпочтениях такого родапотребителя заботит только число имеющихся у него пар обуви, поэтому естественно выбрать число пар обуви в качестве функции полезности. Числоимеющихся у вас полных пар обуви есть минимум числа имеющихся у васправых xi и левых х2 башмаков. В соответствии с этим =функция полезностидля совершенных комплементов принимает вид и(х\, х2) min{xi, х2}.Чтобы проверить, действительно ли эта функция полезности подходит вданном случае, выберем, скажем, товарный набор (10, 10).
Добавив еще однуединицу товара 1, получаем набор (И, 10), потребляя который, мы должныбыли бы остаться на той же самой кривой безразличия. Так ли это? Да, поскольку min{10, 10} = min{ll, 10} = 10.Итак, и(х[, х2) = min{xi, х2} — функция полезности, с помощью которойможно описать совершенные комплементы. Как обычно, для этого подойдети любая функция, являющаяся монотонным преобразованием данной .Что можно сказать о случае, когда потребитель хочет потреблять товарыне в пропорции "один к одному"? Например, как насчет потребителя, всегдапотребляющего 2 ложки сахара с чашкой чая? Если х\ — число имеющихсячашек чая, а х2 — число имеющихся ложек сахара, то число должным образом чашек подслащенного чая составит min{jci,-X2bЭто несколько сложно для понимания, так что немного поразмыслим обэтом. Ясно, что если число чашек чая будет больше половины числа ложексахара, то мы не сможем положить в каждую чашку чая по 2 ложки сахара.
Вэтом случае у нас в итоге окажется только —х2 чашек должным образом подслащенного чая. (Чтобы убедиться в этом, подставьте вместо х\ и Х2 какиенибудь числа.)j}0______________________________________Глава 4Разумеется, те же самые предпочтения могут быть описаны любой функцией, которая является монотонным преобразованием указанной функции полезности. Например, можно произвести умножение на 2, чтобы избавиться отдроби. В результате этого получим функцию полезности и(х\, х2) — min{2xj, х2}.Вообще, функция полезности, описывающая предпочтения для случая совершенных комплементов, имеет види(х\, х2) = min{axi, Ьх2},где а и b — положительные числа, показывающие пропорции, в которых потребляются товары.Квазилинейные предпочтенияПеред нами форма кривых безразличия, с которой мы раньше не сталкивались.
Предположим, что кривые безразличия потребителя представляют собой, как на рис. 4.4, вертикальные смещения одной кривой по отношению кдругой. Это означает, что все кривые безразличия являются просто вертикально "смещенными" копиями одной и той же кривой безразличия. Отсюдаследует, что уравнение кривой безразличия принимает вид х2 = k — v(xi), гдеk — константа, имеющая для каждой кривой безразличия свои значения.
Чембольше значения k, тем выше располагаются кривые безразличия. (Знак "минус"здесь — не более, чем условность; почему он удобен, мы увидим ниже.)В этой ситуации вполне естественным является ранжирование кривыхбезразличия по k, или по "высоте" вдоль вертикальной оси. Выразив k и приравняв его к полезности, получаеми(*ь *2> = k = v(x{) + х2.В данном случае функция полезности линейна по товару 2, но нелинейна(возможно) по товару 1; отсюда и название квазилинейная, означающее частично линейную полезность. Конкретные примеры квазилинейной функции полезности: и(х, , х2 ) = Jx^ + x2 или K(XI, x2) = Inxi + x2.
Квазилинейные функцииполезности не особенно реалистичны, но с ними легко работать, в чем мы убедимся на нескольких примерах, рассматриваемых далее в этой книге.Предпочтения Кобба — ДугласаДругая широко используемая функция полезности — функция полезностиКобба — Дугласа:где end— положительные числа, описывающие предпочтения потребителя1.1Пол Дуглас — экономист XX века, работал в Чикагском университете, позднее стал сенатором.Чарльз Кобб — математик в Амхерст Колледж. Функцию Кобба — Дугласа первоначально использовали при изучении поведения производителей.ПОЛЕЗНОСТЬ81КривыебезразличияХ[Квазилинейные предпочтения. Каждая кривая безразличия есть вертикальносмещенная копия одной-единственной кривой безразличия.Рис.4.4Функция полезности Кобба — Дугласа будет полезна нам при рассмотрении нескольких примеров.
Предпочтения, представленные функцией полезности Кобба — Дугласа, в общем виде характеризуются формой кривых безразличия, изображенной на рис. 4.5. На рис.4.5А изображены кривые безразличия для с = 1/2, d = 1/2, на рис.4.5В соответственно для с = 1/5, d = 4/5.Обратите внимание на то, что разные значения параметров с и d обусловливают различие форм кривых безразличия.А с = 1/2 d = 1/2В c=l/5d = 4/5Кривые безразличия Кобба — Дугласа.
На рис.А показан случай с = 1/2,d = 1/2, а на рис.В — случай с = 1/5, d = 4/5.Рис.4.582______________ _________________________ Глава 4Кривые безразличия Кобба — Дугласа выглядят в точности так же, каксимпатичные выпуклые к началу координат монотонные кривые безразличия,которые в гл.З мы называли стандартными кривыми безразличия. Предпочтения Кобба — Дугласа дают нам типовой пример таких стандартных с видукривых безразличия, и, действительно, описывающая их формула — это, пожалуй, простейшее алгебраическое выражение, соответствующее стандартнымпредпочтениям. Предпочтения Кобба — Дугласа окажутся весьма полезнымидля представления на алгебраических примерах некоторых экономическихидей, которые мы рассмотрим позднее.Разумеется, те же самые предпочтения могут быть представлены и с помощью функции, являющейся монотонным преобразованием функции полезности Кобба — Дугласа, и пару примеров таких преобразований стоит рассмотреть.Во-первых, если взять натуральный логарифм полезности, то произведение членов превратится в сумму, так что:Кривые безразличия для этой функции полезности будут выглядеть совершенно так же, как и для первой функции Кобба — Дугласа, посколькулогарифмирование — это монотонное преобразование.
(Краткий обзор натуральных логарифмов вы найдете в математическом приложении в концекниги.)В качестве второго примера предположим, что вначале у нас была функция Кобба — Дугласа видаВозведя полезность в степень \/(с + d), получим:_ __rf_xv lc+d xv2c+d .Определим новый член:c +dТеперь можно записать нашу функцию полезности какЭто означает, что всегда можно произвести такое монотонное преобразование функции полезности Кобба — Дугласа, при котором сумма показателейстепени станет равной 1. Позднее станет ясно, что этот факт может иметьполезную интерпретацию.Функция полезности Кобба — Дугласа может быть представлена различными способами; следует научиться их распознавать, так как данное семейство предпочтений очень полезно для использования в качестве примеров.ПОЛЕЗНОСТЬ______________________________________ 834.4.
Предельная полезностьПеред нами потребитель, потребляющий некий товарный набор (х^, д^). Какизменится полезность для этого потребителя, если дать ему чуть больше товара 1? Это отношение изменений называется предельной полезностью товара1. Обозначим ее MU\ и будем представлять ее как отношение_=1Д*1Ахьх2) - ц(Axiпоказывающее изменение полезности (АС/) в связи с малым изменением количества товара 1 (A*i). Обратите внимание на то, что количество товара 2 вэтих расчетах считается постоянным1.Данным определением подразумевается, что для расчета изменения полезности в связи с малым изменением потребления товара 1 мы можем просто умножить изменение потребления на предельную полезность товара:Подобным же образом определяется и предельная полезность товара 2:иXl> 2ми = ^ = "( *Дх2Обратите внимание на то, что, подсчитывая предельную полезность товара 2, мы сохраняем количество товара 1 постоянным.
Можно подсчитать изменение полезности в связи с изменением потребления товара 2 по формулеВажно понять, что величина предельной полезности зависит от величиныполезности. Следовательно, она зависит от конкретного способа, который мывыбираем для измерения полезности. Если бы мы умножили полезность на 2,предельная полезность также оказалась бы умноженной на 2. Мы попрежнему располагали бы во всех отношениях подходящей функцией полезности, имеющей, однако, просто другой масштаб.Сказанное означает, что сама по себе предельная полезность не зависитот поведения потребителя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
