kh_verian_mikroekonomika_promezhutochny_ uroven (825836), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Следовательно, скорость изменения монотонной функции всегда положительна. Это означает, что график монотонной функции, как показано нарис.4. 1А, всегда имеет положительный наклон.АВПоложительное монотонное преобразование. На рис.А показана монотоннаяфункция — функция, которая все время возрастает. На рис.В показана функция, не являющаяся монотонной, поскольку она то возрастает, то убывает.1То что мы называем здесь "монотонным преобразованием", называют, строго говоря,"положительным монотонным преобразованием", чтобы отличить от "отрицательного монотонногопреобразования", изменяющего порядок чисел на обратный. Для обозначения монотонных преобразований иногда используют английское слово "monotonous", что, на наш взгляд, несправедливо, поскольку на самом деле эти преобразования могут представлять значительный интерес.Рис.4.174__________________________________________Глава4Если /(«) есть любое монотонное преобразование функции полезности,представляющее какие-либо конкретные предпочтения, то/(ы(х ь *2» — этотоже функция полезности, представляющая те же самые предпочтения.Почему? Доводы в пользу этого даны следующими тремя утверждениями:1.

Сказать, что и(х\, х^) представляет некие' конкретные предпочтения,означает, что и(х\, л^) > и(у\, Ут), если и только если (х\, х$ >- (yi, у2).2. Но если Дм) есть монотонное преобразование, то и(х\, Х2) > и(у\, j;2), еслии только еслиДХхь *2)) >А"(Уь и))3. Следовательно, Лм(хь х2)) >Аи(У\, Уд), если и только если (х\, х2) >•(Уь Уз)> так что функция Д и) представляет предпочтения совершеннотаким же образом, как и исходная функция полезности и(х\, х2).Подытожим эти рассуждения, сформулировав следующий принцип: монотонное преобразование функции полезности есть функция полезности, представляющая те же самые предпочтения, что и исходная функция полезности.Геометрически функция полезности представляет собой способ обозначения кривых безразличия.

Поскольку каждый набор, находящийся на какойлибо кривой безразличия, должен иметь одинаковую полезность, функцияполезности есть такой способ приписывания различным кривым безразличиянеких численных значений, при котором более высоким кривым безразличияприписываются большие численные значения. С этой точки зрения, монотонное преобразование — всего лишь переименовывание кривых безразличия.

До тех пор, пока кривые безразличия, на которых находятся более предпочитаемые наборы, обозначаются ббльшими числами, чем кривые безразличия, на которых находятся менее предпочитаемые наборы, подобное переименовывание будет представлять те же самые предпочтения.4.1. Количественная полезностьСуществует ряд теорий полезности, в которых величине полезности придается значение. Эти теории известны как количественные теории полезности.В количественной теории полезности предполагается, что величина разно-сти значений полезности для двух наборов благ имеет определенную значимость.Нам известно, как определить, предпочитает ли данный индивид один товарный набор другому: мы просто предложим ему (или ей) выбрать один издвух наборов и посмотрим, какой набор выбран.

Следовательно, мы знаем,как приписывать двум товарным наборам порядковую полезность: достаточноприписать выбранному набору более высокую полезность, чем отвергнутому.Любое приписывание такого рода явится функцией полезности. Таким образом, у нас имеется рабочий критерий, позволяющий определить, имеет лидля данного индивида один набор большую полезность, чем другой.ПОЛЕЗНОСТЬ______________________________________75Но как можно утверждать, что один набор нравится индивиду в два разабольше другого? На основании чего вы сами можете определить, нравится ливам один набор вдвое больше другого?Можно было бы предложить для такого рода приписывания значений полезности разные исходные определения: скажем, "один набор нравится мневдвое больше другого, если я готов заплатить за него вдвое больше". Или:"Один набор нравится мне вдвое больше другого, если, чтобы его получить, яготов пробежать вдвое более длинную дистанцию, или прождать вдвое дольше, или сыграть на него'по удвоенной ставке."Ничего неправильного ни в одном из этих определений нет: на основекаждого из них можно было бы построить способ приписывания наборамуровней полезности, при котором приписываемые численные значения полезности имели бы некий рабочий смысл.

Но и правильного в этих определениях немного. Хотя каждое из них представляет собой возможную интерпретацию того, что может означать утверждение "хотеть какую-то вещь вдвоебольше другой", ни одно из них не кажется особенно убедительным.Но даже если бы нам удалось найти способ приписывания полезностичисленных значений, который показался бы нам особенно удачным, какуюпользу он мог бы принести при описании потребительского выбора? Чтобыутверждать, будет ли выбран тот товарный набор или другой, нам надо знатьлишь, какой из них предпочитается — какой имеет большую полезность.Знание того, насколько эта полезность больше, ничего не добавляет к нашему описанию выбора.

Поскольку количественная полезность для описанияпотребительского выбора не требуется и поскольку бесспорного способа приписывания количественных полезностей так или иначе не существует, будемпридерживаться рамок чисто порядковой полезности.4.2. Построение функции полезностиОднако уверены ли мы в том, что вообще существует какой-либо способприписывания товарным наборам порядковых полезностей? Допустим, имеется некое ранжирование предпочтений.

Всегда ли можно найти функциюполезности, располагающую товарные наборы в том же порядке, в какомрасполагаются эти предпочтения? Существует ли функция полезности, описывающая любое рациональное ранжирование предпочтений?Не все виды предпочтений можно представить с помощью функции полезности. Предположим, например, что предпочтения некоего индивида нетранзитивны, так что А > В >- С >- А. Тогда функция полезности, соответствующая этим предпочтениям, должна была бы состоять из чисел и(А), и(В) ии(С) таких, что и(А) > и(В) > и(С) > и(А).

Но это невозможно.Если, однако, исключить из рассмотрения аномальные случаи вроде нетранзитивных предпочтений, то окажется, что практически всегда можнонайти некую функцию полезности, которая бы представляла данные пред-Глава 476почтения. Поясним построение функции полезности наглядными примерами,рассмотрев один из них здесь, а другой — в гл. 14.Допустим, что нам дана карта кривых безразличия, такая, как на рис. 4.2.Мы знаем, что функция полезности есть способ обозначения кривых безразличия, при котором более высоким кривым безразличия ставятся в соответствие ббльшие числа.

Как это можно сделать?Измеряет расстояниеот начала координатКривыебезразличияПостроение функции полезности на основе кривых безразличия. Нарисуйтедиагональную линию и обозначьте каждую кривую безразличия числом, соответствующим расстоянию от нее до начала координат, измеренному вдольэтой линии.Один из простых способов — провести диагональ, как показано на рисунке, и обозначить каждую кривую безразличия числом, соответствующим еерасстоянию от начала координат, измеренному вдоль этой диагонали.Откуда мы знаем, что в результате этого получим функцию полезности? Нетрудно заметить, что если предпочтения монотонны, то луч, проходящий черезначало координат, должен пересечь каждую кривую безразличия в точности одинраз. Таким образом, каждый набор благ получает свое обозначение, и наборы,находящиеся на более высоких кривых безразличия, обозначаются большимичислами, а только это и требуется, чтобы построить функцию полезности.Это дает нам один из способов обозначения кривых безразличия по крайней мере для случая монотонных предпочтений.

Данный способ не всегдабудет самым подходящим для любого заданного случая, но он показываетдостаточно общий характер идеи, заложенной в функции порядковой полезности: "разумные" предпочтения почти любого вида можно представить с помощью функции полезности.ПОЛЕЗНОСТЬ774.3. Некоторые примерыфункций полезностиВ гл. 3 мы рассмотрели несколько примеров предпочтений и представляющихих кривых безразличия.

Эти предпочтения можно представить также с помощью функций полезности. Если дана функция полезности и(х\, x-fi, нарисовать соответствующие кривые безразличия сравнительно несложно: надо нанести на график все точки (х\, д^), для которых м(лсь д^) постоянна. В математике множество всех (х\, л/г), для которых и(х\, д/г) постоянна, называется упорядоченным множеством. Для каждого другого значения константы мы получаем другую кривую безразличия.ПРИМЕР: Кривые безразличия,получаемые на основе функции полезностиПредположим, что функция полезности имеет вид: и(х\, х^) — *i*2- Как выглядят тогда кривые безразличия? Нам известно, что типичная кривая безразличия есть просто множество всех jq и х^, таких, что k = х\х-^ для некой константы k.

Выразив Х2 как функцию от х\, мы видим, что типичной кривойбезразличия в данном случае будет соответствовать формула:kх2= — .1Эта кривая изображена на рис. 4.3 для= 1,2, 3...КривыебезразличияКривые безразличия. Кривые безразличия k — xlx2 для любых значений k.Рис.4.378_________________________________________Глава 4Рассмотрим еще один пример. Допустим, нам задана функция полезностивида и(х} ,х2) = х*х\. Как выглядят ее кривые безразличия? Согласно стандартным правилам алгебры:v(x b x 2 ) = x12x| =(xix2)2 = и(х{,х2)2.Иными словами, функция полезности v(xb х2) есть просто квадрат функции полезности и(х\, х2).

Поскольку и(х\, х2) не может быть отрицательнойвеличиной, отсюда следует, что v(xi, х2) является монотонным преобразованием исходной функции полезности и(х\, х2). Это означает, что функции полезности У(Х! , *2) = *j[ *2 Должны соответствовать кривые безразличия в точности такой же формы, как у представленных на рис.4.3. Обозначения кривых безразличия будут другими — обозначения 1, 2, 3 теперь станут обозначениями 1, 4, 9, ..., но множество наборов, имеющее полезность v(x\, x2) = 9,в точности такое же, что и множество наборов, имеющее полезностьv(*i, x2) = 3.

Характеристики

Список файлов книги