1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Все они являются функциями безразмерных комбинаций (88.3). Значит, рядом (88.3) исчерпываются все независимые безразмерные комбинации, которые можно составить из рассматриваемых физических величин. 2. Как зависит от высоты )> скорость свободного падения тела, если начальная скорость его равна нулю? Р е ш е н и е. Ускорение свободного падения и постоянно и не зависит от массы, плотности, упругих свойств тел и пр. Поэтому искомая скорость о может зависеть только от д и Д. Из безразмерных комбинаций (88.3) можно составить всего одну независимую безразмерную комбинацию п»(1а) или оз1(А>Д), содержащую только длину, скорость и ускорение.
Она получается делением первой без. размерной комбинации ряда (88.3) на вторую. Поэтому должно быть 1 — )=О, 1га ! (уй ) откуда оз1(дд) = С = сопз(, или о' = СРД. Численный коэффициент С из теории размерности нзйти нельзя. 3. Пользуясь соображениями размерности, найти зависимость периода колебаний Т физического маятника от его приведенной длины 1, ускорения силы тяжести и и угловой амплитуды сс. О т в е т. Т=гр(а) )~11а. Вид функции гр (а) из теории размерности определить нельзя.
Если эту функцию разложигь в ряд Тейлора и сохранить в нем только нулевой член (что можно делать в случае малых колебаний), то получится Т=С У 1)я>, где С вЂ” постоянный численный коэффициент, значение которого из теории размерности определить также нельзя. То обстоятельство, что С ~ О, также не вьпекает из теории размерности, а должно быть установлено особо (например, опытным путем). 4.
Пользуясь соображениями размерности, определить зависимость скорости распространения о продольных упругих возмущений в стержне от модуля Юнга Е и плотности материала р. О т в е т. о =С ) Е(р. Численный коэффициент Сиз размерных соображений найти нельзя. 5, Две певааимодействующие материальные ючки, находящиеся в центратьном силовом поле, описывают геометрически подобные траектории.
Сила Т, действующая на каждую материальную точку, пропорциональна ее массе и меняется с расстоянием г до силового центра, как г", где и — постоянная. Как связаны длины 1, и 1, геометрически подобных дуг траекторий с временами Т, и Т„затрачиваемыми материальными точками на прохождение этих дуг? Р е ш е н и е. Должна существовать связь между длиной дуги траектории 1, временем Т, затрачиваемым материальной точкой иа прохождение этой дуги, а также ускорением а, направленным к силовому центру. Ускорения можно брать в произвольных, но обязательно подобно расположенных точках.
Из этих трех величин можно составить единственную независимую безразмерную комбинацию, за которую можно принять аТЧ1. Следовательно, должно быть аТзД = сопз!. Для ускорения можно написать а = Аг", где А — постоянная, одинаковая для обеих материалькых точек. В силу геометрического подобия траекторий, по которым движутся материальные точки, можно также написать а = ВР', где  — другая постоянная, также одинаковая для обеих точек.
В результате получим ТЧ" ' = = сопш, а потому Т'1>" ' = Т„-"(з" '. В частных случаях и = 1 и и = — 2 получаем Т = сопз! и ТИР =- сопз!. Первое соотношение означает, что а случае гармонического осциллятора период колебаний или период обращения вокруг силового центра не зависит от амплитуды или размеров орбиты. Второе соотношение выражает третий закон Кеплера. Однако этот закон доказан здесь не в общем виде, а только для частиц, движущихся по геометрически подобным траекториям.
гллвл хи МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 9 89. Общие свойства жидкостей и газов 1. В отличие от твердых тел жидкости и газы в состоянии равновесия не обладают упругостью формы "). Они обладают только объемной упругостью. В состоянии равновесия напряжение в жад«ости и газе всегда нормально к 1глощадкг, на которую оно действует. Касательные напряжения вызывают только изменения формы элементарных объемов тела (сдвиги), но не величину самих объемов. Для таких деформаций в жидкостях и газах усилий не требуется, а потому в этих средах при равновесии касательные напряжения не возникают. С точки зрения механики жидкости и газы могут быть определены как такие среды, в которых при равновесии касательные напряжения существовать не могут.
Из этого определения следует, что в состоянии равновесия величина нормального напряжения в жидкости или газе не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует. Для доказательства возьмем произвольно ориентированную площадку, внешнюю нормаль к которой будем характеризовать единичным вектором и. Так как напряжение нормально к площадке, то его можно представить в виде а„= — Рп.
Напряжения на площадках, перпендикулярных к координатным осям, запишутся как а„=- — Р„(, ак = — Р,Я а, = — Р,)г, где г',,у, й — ксюрдииатиые орты. Подставляя эти значения в формулу (74.1), получим Рп = Р„п„г'+ Р„пву+ Р,п,й. Умножая скалярно это соотношение последовательно на д', у, й, найдем (89. 1) Р = Р„= Ра = Р,. Отсюда заключаем, что в состоянии равновесия нормальное напряжение (давлгние Р) не зависит от ориентации площадки, на «вторую оно действует. Это — закон Паскаля (1623 — 1662).
2. В случае газов нормальное напряжение всегда направлено внутрь газа, т. е. имеет характер давления, В жидкостях, как *) Исключения составляют жидкие пленки и поверхностные слои жидкостей. Однако связанные с ними явления в настоящей главе не рассматриваются. Они будут рассмотрены в т. 11 нашего курса. 441 ОбЩИЕ СВОЙГТВА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 4 Вэ! 1 В!с 7= — 7йрс или обратной ему величиной — модулем всеспюроннего ~=- р~ур (89.2) сжатия (89.3) Предполагается„что температура жидкости при сжатии поддержи- вается постоянной.
При рассмотрении деформаций, сопровожда- ющихся изменениями температуры, вместо (89,2) и (89.3) предпоч- тительнее писать ! Я!с! 7т= — ! -! 1с 1ВР )т =сопи ' сир с Кт= сл!'с т= оопп! (89.2а) (89,3а) исключение, могут реализоваться и такие случаи, когда нормальное напряжение является натяжением (отрицательным давлением): жидкости Оказывают сопротивление па разрыв. Это сопротивление, вообще говоря, довольно значительно и в однородных жидкостях составляет несколько десятков ньютонов на квадратный миллиметр. Однако обычные жидкости неоднородны. Они содержат мельчайшие пузырьки газов, которые действуют подобно надрезам на натянутой веревке и сильно ослабляют прочность жидкости на разрыв.
Поэтому в подавляющем большинстве случаев в жидкостях напряжения также имеют характер давлений. Вот почему для обозначения нормального напряжения мы пользуемся символом — Рл (давление), а не -г Тл (натяжение). Если давление переходит в натяжение, т. е. становится отрицательным, то это, как правило, ведет к нарушению сплошности жидкости. С отмеченными особенностями связано и то обстоятельство„что газы обладают способностью к неограниченному расширению: газ всегда полностью заполняет объем сосуда, в котором он заключен.
Напротив, каждой жидкости свойствен определенный собственный объем, лишь незначительно меняющийся с изменением внешнего давления. Жидкости имеют свободную поверхность и могут собираться в капли. Чтобы отметить эти обстоятельства, жидкие среды называют также капельно-жидкими. В механике при рассмотрении движений капельных жидкостей и газов газ обычно рассматривают как частный случай жидкости. Таким образом, под жидкостью в обобщенном смысле слова понимают либо капельную жидкость, либо газ. Отдел механики, занимающийся изучением движения и равновесия жидкостей, называется гидродинамикой.
3. Давление, существующее в жидкости, обусловлено ее сжатием. А так как касательные напряжения не возникают, то упругие свойства жидкостей по отношению к малым деформациям характеризуются только одной упругой постоянной: козффиииентом сжимае- мости 442 ЫЕХАИИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ Ггл. хи и называть у и Кà — изотермическими коэффициентом и модулем всестороннего сжатия. В быстрых процессах, происходящих практически без теплообмена, особую роль играют адиабатические ковффиииенты и модули упругости (см. 3 78, п.
8). При рассмотрении деформаций твердых тел модуль всестороннего сжатия мы определили формулой (77.3), отличающейся от (89.3) тем, что вместо величины дР в ней стоит просто Р. Такое определение было возможно потому, что твердое тело обладает определенным объемом, когда внешнее давление Р обращается в нуль, и этот объем меняется мало даже при конечных изменениях Р. Формула (89.3) переходит в (77.3), если положить др =- Р— Р, и считать, что Р„= О. Так же можно было бы поступать и в случае капельных жидкостей.
Но в случае газов формула (77.3) пе годится. Надо пользоваться более общей формулой (89.3), так как при отсутствии внешнего давления объем газа становится бесконечно большим. Именно так мы поступали в Э 85 при рассмотрении вопроса о скорости звука в газах. Можно также сказать, что некоторое состояние тела с давлением Р, (и температурой Т) мы выбираем за нормальное и рассматриваем изменения объема тела по отношению к этому нормальному состоянию. В случае твердых и капельно-жидких тел модуль упругости (89.3) в широких пределах не зависит от величины Р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
