1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 111
Текст из файла (страница 111)
В результате найдем, что на единицу объема жидкости действует сила в, обусловленная поверхностными силами давления, точнее, их изменениями в пространстве. Бе проекции равны в д дР (90. «) й ЗО) УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ 447 р „— -- =). — етаг[ Р, 0о (90.7) ео где Π— скорость, а „вЂ” — ускорение жидкости в рассматриваемой точке. Уравнение (90.7) называется уравнением Эйлера, 4.
Уравнение (90.5) показывает, что при равновесии жидкости сила 7"(точнее, плотность силы или сила, действующая на единицу объема жидкости) должна выражаться градиентом Однозначной скалярной функции. Это есть необходимое и достаточное условие того, чтобы сила убыла консервативной (см. 9 39). Таким образом, для равновесия жидкости необходимо, чтобы силовое поле, в катарам она находится, было консервативным.
В иеконсервативных силовых полях равновесие невозможно, Примером может служить проводящая жидность, помещенная в магнитное поле, когда через нее проходит электрический ток. В этом случае со стороны магнитного поля на жидкость действует сила у = С [/В], где  — напряженность [точнее, индукция) магнитного поля, у — плотность тока, а С вЂ” численный коэффициент, значение которого зависит от выбора единиц, Поместим цилиндриче- Рис.
231 ский сосуд с раствором электролита (например, Сц30ч) над однил1 из полюсов силыюго электромагнита (рис. 23!). Вдоль оси цилиндра расположен цилиндрический проводнин. Между ним и боковой стенкой сосуда наложим электрическое напряжение в несколько вольт. В электролите вдоль радиусов цилиндра потечет электрический ток. Силву =- С [)В] будет направлена ио касательным к окружностям с центрами на оси цилиндра. 0на вызовет вращение жидкости вокруг указанной осн.
Вращение будет ускоряться до тех пор, пока силы, детютвующие со стороны магнитного поля, не уравновесятся силами внутреннего и внешнего трения. енту Р, взятому с противоположным знаком. Мы видим, что сила а обусловлена не величиной давления Р, а его ггространственными изменениями. Величина Р также существенна. Она определяет степень сжатия жидкости в рассматриваемой точке пространства. 3. В состоянии равновесия сила в должна уравновешиваться массовой силой ~. Это приводит к уравнению ига с[ Р = у, (90.5) которое является основным уравнением гидростатики. В координатной форме оно имеет вид дР дР дР дх ~*' ду 7а' да (90.6) Можно написать и основное уравнение гидродинамики идеальной жидкости.
В этом случае формула (90.3) также применима, а потому мы получаем 448 1гл. хп МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 9 91. Гидростатика несжимаемой жидкости 1. Если нет массовых сил (т. е. Г == 0), то уравнения (90.8) ВР дР дР сводятся к — = - - = в — — -О. Отсюда следует, что в этом случае дх ду вг при равновесии давление Р одно и то же по всему объему жидкости. Если жидкость находится в поле тяжести, то у = рд.
Направим Ось Л вертикально вверх. Тогда основные уравнения равновесия жидкости примут вид (9!.1) Из ннх следует, что при механическом равновесии давление не может зависеть от х и у. Оно должно оставаться постоянным в каждой горизонтальной плоскости г == сопз(. Горизонтальные плоскости суть плоскости равного давления. В частности, свободная поверхность жидкости горизонтальна, поскольку она находится под постоянным давлением атмосферы. Таким образом, при механическом равновесии давление может зависеть лишь От координаты г.
Из третьего уравнения (91.1) следует поэтому, что для механического равновесия необходимо, чтобы произведение ра было функцией только г. Так как д не зависит от х и у (зависимостью д от географической широты и долготы места мы пренебрегаем), то, следовательно, и плотность р может меняться только с высотой. В силу уравнения состояния (89.4) давлением Р и плотностью р определяется температура жидкости Т, Итак, при механическом равновесии давление, температура и тготность жидкости являютея функциями только г и не могут зависеть от х и у. 2. Допустим теперь, что жидкость однородна и ее можно рассматривать как несжимаемую (р — сопз1).
Кроме того, будем считать постоянным ускорение силы тяжести д, пренебрегая его зависимостью от высоты г. Тогда легко интегрируется и последнее уравнение системы (91.1). В результате такого интегрирования получим (91. 2) Р =- Ро — раг Постоянная интегрирования Р„есть давление жидкости на высоте г .= О, т. е. атмосферное давление, если начало координат поместить на свободной поверхности жидкости.
Формула (91.2) определяет также давление жидкости на дно и стенку сосуда, а также на поверхность всякого тела, погруженного в жидкость. Ока охватывает всю гидростатику, излагаемую в школьных курсах физики. 3. Остановимся теперь на законе Архимеда (ок. 287 — 212 г, до н. э.) и связанных с пим вопросах. Выделим мысленно из жидкости произвольный обьем, ограниченный замкнутой поверхностью 5 (рис.
232). Если жидкость находится и механическом равнове- $9Ц ГИДРОСТАТНКА НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 449 сии, то, разумеется, должен находиться в равновесии и выделенный объем. Поэтому должны обращаться в нуль равнодействующая и момент всех внешних сил, действующих на рассматриваемый объем жидкости.
Внешние силь1 — это вес Я выделенного объема жидкости и давление на поверхность 5 со стороны окружающей жидкости. Значит, равнодействующая Р сил гидростатического давления, действующих на поверхность 5, должна равняться Я— весу жидкости в обьеме, ограниченном поверхностью 5.
Эта равнодействую1цая должна быть направлена вверх и проходить через центр масс А выделенного объема жидкости, чтобы полный момент внешних сил, действующих на него, был равен нулю. Допустим теперь, что жидкость из выделенного нами объема удалена, и на ее место помещено любое твердое тело. Если это тело удерживается в равновесии, то в состоянии окружающей жидкости никаких излсгнений нг произойдет.
Не изменится и давление, оказываемое жидкостью на поверхность 5. В результате мы приходим к закону л Архимеда. Если тело, погруженное в жидкость, удерживается в механическом равно- е весии, то со стороны окружающей жидкости оно подвергается выталкиваюсцей силе гидро- статического давления, численно равной весу жидкости в объеме, вытесненном телом. Эта вьапалкиваюшая сила направлена вверх и проходит через центр мисс А жидкости, вытесненной телом. Точку А будем называть центролс плавучести тела.
Ее положением, как будет показано ниже, определя1отся равновесие и устойчивость плавающего тела. 4. С помощью закона Архимеда решается вопрос о равновесии тел, плавающих в жидкости. Для равновесия необходимо, чтобы вгс тела был равен весу вытесненной им жидкости, а центр плавучести А лежал на одной вертикали с центром масс самого тела. Что касается устойчивости равновесия, то при решении этого вопроса надо различать два случая.
С л у ч а й 1. Плавающее тело погружено в жидкость целиком. В этом случае при любых смещениях и поворотах тела его центр масс С и центр плавучести А сохраняют свое положение относительно тела. Равновесие устойчиво, если центр ласс тела С лежит ниже его центра плавучести А, и нгустой сиво, если оп лежит выше А. Действительно, если тело слегка повернуть относительно положения равновесия вокруг горизонтальной оси, то в обоих случаях момент пары сил С1 и Р будет стремиться опустить точку С и поднять точку А (рис. 233). В результате этого тело приходит в положение устойчивого равновесия, в котором точка С расположена ниже точки А.
МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ ~ГЛ. ХП С л у ч а й 2. Плавающее тело погружено в жидкость не целиком, а частично выступает над ее свободной поверхностью. По сравнению с предыдущим этот случай является более сложным, так как при смещении тела из положения равновесия меняется форма вытесняемого им объема жидкости. Вследствие этого положение центра плавучести относительно плавающего тела изменяется, что и усложняет исследование.
Рассматриваемый случай представляет основной интерес при исследовании устойчивости плавающих ! р кораблей. На рис. 234, а схема- с~ тически изображен корпус ко- А А рабля в «килевом» положении, когда центр масс корабля С и центр плавучести А лежат на одной вертикали, совпадающей с вертикальной осью симметрии корабля. При наклоне корабля на малый угол «р (рис. 234, б) центр плавучести смещается относительно корабля в точку А', оставаясь практически на прежней высоте.
Выталкивающая сила теперь проходит через точку А', и линия ее действия пересекает вертикальную ось симметрии корабля в точке М, называемой мета- центром. Если метацентр лежит выше центра масс корабля, то л/ Рис. 234. момент пары сил Я, л«' будет возвращать корабль в исходное положение. В этом случае равновесие корабля устойчивое. Если же метацентр М лежит ниже центра масс корабля, то пара сил АЕ, Р будет еще болыпе отклонять корабль от исходного положения. В этом случае равновесие неустойчиво.
Расстояние Ь между точками С и М называется метацентрической высотой. Если метацентрическая высота положительна, то равновесие устойчиво, если отрицательна, то неустойчиво. Чем больше й, тем устойчи- 4я! ГИДРОСТАТИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 9 9!! вее равновесие. Момент пары сил О и г', возвращающий корабль в исходное положение, называется выпрямляюи4им моментом.
Он, очевидно, равен М = Яй з !'и ф. (91.3) Величина й сама зависит от ф, так как при изменении наклона ф меняется и положение метацентра относительно корабля. Найдем это положение и вычислим метацентрическую высоту й в предельном случае бесконечно малых углов наклона ф. Так как выталкивающая сила проходит через точку А' и направлена вертикально вверх, то ее момент относительно точки А будет Л' = — Я АМ ейп ф или (при малых ф) У =- Я (й + а) ф, где ав расстояние между центром масс корабля С и его центром плаву.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
