1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 112
Текст из файла (страница 112)
чести в положении равновесия. Величина а считается положительной, если точка С лежит выше А, и отрицательной, если она лежит ниже А. Величина момента Л!, конечно, не зависит от того, в какой точке линии А'М выбрана точка приложения выталкивающей силы Р. Разложим силу тт на составляющую Р;, параллельную осн корабля АМ, и составляющую Рц, к ней перпендикулярную. Если точку приложения силы гт поместить в А', то составляющая Н не даст момента относительно центра плавучести А, и вычисления упростятся. Тогда полный момент У будет создаваться только составляющей 1т.
Понятно, что момент этой составляющей будет одним и тем же относительно всех точек, лежащих на оси АМ. Из изложенного следует, что величину Л' == Я (й + а) ф можно рассматривать как момент выталкивающих сил давления относительно произвольной точки оси АМ, если из этих сил вычесть их составляющие, перпендикулярные к той же оси. Поэтому момент Л! можно вычислить иначе. Если корабль наклонен на угол ф, то выталкивающие силы давления с правой стороны увеличатся, а с левой— уменьшатся. При этом мы имеем в виду не полные силы, а только их составляющие, параллельные АМ.
Пусть х — расстояние (координата) произвольной точки плоскости НН от оси т', проходящей через О перпендикулярно к плоскости рисунка. Тогда увеличение давления в соответствующей точке дна будет рдхф, а момент Л' представится выражением ЛТ = р аф ~ Х' Т(Ч = рд 1ф, где 1 — момент инерции поперечного сечения корабля вдоль ватерлинии относительно оси )':1=') х9 9(3 (ср. З 80, п. 1). Сравнивая оба выражения для Л', получаем й = -„—, — а, (91 А) где )т =- Я1р0) — водоизмещение корабля, т. е.
объем вытесняемой им воды. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 1гл. хи 5. Рассмотрим теперь жидкость в сосуде, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью щ. Будем предполагать, что жидкость вращается вместе с сосудом, а сам сосуд обладает осевой симметрией, например имеет цилиндрическую форму. Зта задача сводится к статической, если перейти во вращающуюся систему отсчета, в которой жидкость покоится. Теперь в уравнении (90.5) у слагается из силы тяжести рп и центробежной силы ргозг, где г — радиус-вектор, проведенный от оси врагцения к рассматриваемой точке и перпендикулярный оси. Если поместить начало координат на оси вращения так, чтобы ось Л совпала с осью вращения, то уравнения (90.6) примут вид дР дР з дР д-='щ' д =Р" Р (91.5) Считая р постоянной и интегрируя, получим 1 Р = --рщ'(х'+у') — рдг+Ро (91.6) или (91.6а) Р = -- ргохгз — рйг+ Р,.
2 Уравнение свободной поверхности Р =- сонэ( принимает вид т)з юз (х' -1- дз) — дг =- сопз1. Зто — параболоид вращения, обращенный своей выпуклостью вниз. Если начало координат поместить в вершину параболоида, то постоянная Р, будет иметь смысл наружного атмосферного давления. Уравнение свободной поверхности жидкости бУдет г)з гоз (х' + У') = дг.
Конечно, рассмотренную задачу можно трактовать и как чисто динамическую. Если жидкость вращается как целое, то при таком движении н ней ие возникают силы внутреннего трения. Единственные поверхностные силы, дейстаующне а жидкости, сводятся к силам нормального данлсния. Поэтому а этом случае можно пользоваться уравнением Эйлера (90.7) независимо от того, является лн до жидкость идеальной или вязкой.
При равномерном аращении производная сводится к центростремительному ускорению — ызг. Поэтому, полагая н ураннении (90.7) )'= ра', получим — рызг=рй' — ягад Р, а зто некторное уравнение экниаалентно трем ураанениям а яроекцнях (91.6). Если сосуд имеет плоское дно, то для определения давления на дно надо в формуле (91. ба) положить г = — )т, где и — высота уровня жидкости над дном на оси вращения (напомним, что ось 2 направлена вверх). Получим Р— Р, = рйй+ — ргозгз. ! (91.7) Данление в центре, таким образом, минимально и монотонно возрастает к краям. С этим связано, например, следующее явление, ГидпостАтикА несжимаемой жидкости 453 $ м! Если чайной ложкой привести во вращение воду в стакане, то после прекращения помешивания чаинки и песчинки, имеющиеся в ней, собираются в центре дна.
Дело в том, что эти частицы тяжелее воды и опускаются на дно. Здесь их вращение замедляется благодаря силам трения о дно стакана, и под влиянием разности гидростатических давлений частицы перемещаются к центру даа. Вычислим теперь полную силу давления жидкости на дно сосуда. С этой целью воспользуемся уравнением свободной поверхности жидкости г/з шзгз =- Агг и перепишем формулу (91.7) в виде Р— Р, =- Ре'(А+ г). Интегрируя по площади дна, найдем искомую силу Р = рд ~ (й -1- г) сьз = рд )г, (9!.8) где )г — объем жидкости в сосуде. Как и следовало ожидать, пол- ная сила давления равна весу этого объема жидкости.
ЗАДАЧИ !. Жидкость налита в сосуд, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда. Вычислить момент сил гидростатического давления, действуюших на боко. вую стенку сосуда, относительно ее нижнего основания. ! О т в е т. М= рйаа5, где А — высота уровня жидкости относительно 3 дна, 5 — плошадь рассматриваемой боковой стенки сосуда. 2. Гидросшатический парадокс. Сила давления жидкости на дно сосуда не зависит от формы сосуда, а только от площади дна, разности уровней поверхности жидности и дна, а танже от плотности жидкости. Так, зта сила будет одной и той же для всех трех сосудов, изображенных на рис.
235, если онн имеют одинаковое дно, а жидкость налита до одного и того же уровня. Ири взвешивании сосудов с жидкостью весы долнгны показать один и тот же вес, поскольку показание весов зависит от силы, с ноторой дно сосуда Рис 235. Рис. 236. давит на чашку весов. Указать, н чем ошибочность приведенного рассуждения. Что в действительности покажут весы? 3. г!епосредственныы вычислением результирующей сил давления жидкости на поверхность погруженного тела и их моиентов убедиться в справелливости закона Архимеда. Р е ш е н и е. Мысленно разобьем погруженное тело на бесконечно тонкие вертикальные столбики (рис, 236) Допустим для простоты, что каждый столбик мвхлиикв жидкостпи и газов (гл хи пересекает поверхность тела только два раза.
(Случай, когда это условие не соблюдается, читателю предлагается разобрать самостоятельно.) Пусть г(5, н п5э — элементарные площадки, вырезаемые одним из столбиков на поверхности тела. Силы, лействующие на эти площадки, нормальны к ним и равны соответственно Р, г(5, и Р, о5х. Их вертикальные составляющие будут Р, В5, сова, и Р, ц5е соха„ нли Р, по н Р, оо, где Ла = в5, соз ц, = п5э соз аэ — плогцадь нормального сечения столбика.
Результирующая этих двух сил, направленная вверх, равна оГ, —— = (Рэ — Рт)г(а =- рР)к(о = руЛг, где й — высота столбика, а б)г = дцо — его объем. Инзегрнруя по всему объему тела, находим ныталкиваюшую силу Р, =- = рй)г. Теперь надо найти момент вертикальных выталкивающих снл, действующих иа столбики, относительно произвольной оси. Если ось вертикальна, то момент, очевидно, равен нулю, Поэтому достаточно ограничиться вычислением момента относительно произвольной горизонтальной оси. Примем таковую за координатную ось Х. Искомый момент будет М = ~ у цР, = й ~ ру г()Г = й ') у йп, где г(ш — масса жидкости, вытесненная соответствующим столбиком тела.
Анапе. гично, для момента относительно оси г': Ма — — д ~ х г(вь й!омент обратится в нуль, когда ~ х с(гл = ~ у от=О, т. е. когда начало координат помещено на вертикальной оси, проходящей через центр плавучести тела. Тем самым доказано, что линия действия выталкивающей силы проходит через центр плавучести тела.
Для завершения доказательства надо было бы еще исследовать, какие силы давления действуют на поверхность погруженного тела в горизонтальных направлениях. Однако этот вопрос не нуждается в специальном исследовании. Например, когда речь идет о силах, действующих параллельно оси Х, то достаточно разбить тело на бесконечно малые столбики, параллсльныс этой оси, а затем повторить все сказанное выше, с той тольно разнипвй, что величину й надо положить равной нулю. Отсюда следует, что равнодействующая горизонтальных сил давления, действующих на погруженное тело, и их момент равны нулю.
4. Найти условие устойчивости однородного прямоугольного параллеле. пинеда, плавающего на поверхности жидкости в положении, когда одно из оснований его горизонтально. Длины сторон горизонтального основания А и В, высота С (А > В). Плотность материала тела относительно жидкости р < 1.
О т в е т. В' > бр (! — р) С'. 5. Та же задача для однородного цилиндра радиуса г и высоты 1, плавающего в вертикальном положении. О т в е т. гз > 2 р (! — р) и. 6. Та же задача для однородного цилиндра радиуса г и длины 1, плавающего в горизонтальном положении. а '1з От не т. — >!2 ап . ), где угол сг определяется из трансцендентного г ', 2г' уравнения а — з)пи = 2пр. Например, при р — "- Нэ нз него получаем а =- и, и условие устойчивое~и принимает вид 1 > 4г. При других значениях р равновесие может быть устойчивым н при меньших значениях 1. Так, при а =-л(2 ни = = Зп(2 получаем соответственно р = !14 — 11(2п) 0,09! и р =- 314 + 1'(2п) 0,84!. При таких значениях р равновесие устойчиво, есле 1 > 2г. Прн 1 > 4г равновесие устойчиво, каково бы ни было р < !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
