1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 110
Текст из файла (страница 110)
По этой причине и можно положить Р, = О. В случае же газов конкретизация значения Р, существенна. Приравнивать Р, нулю в этом случае нельзя. Так, если воспользоваться законом Бойля— Мариотта Р - 1Ф (при Т =- сопз(), то из (89.3) легко получить К=Р. Отсюда видно, что о модуле упругости газа можно говорить лишь тогда, когда указано его давление (при заданной температуре). 4. Малую сжимаемость капельиых жидкостей можно демонстрировать с помощью следующего эффектного опыта. Сосуд из пластмассы наполовину наполняется водой.
Если произнести выстрел из мелкокалиберной винтовки, чтобы пуля пролетела выше уровня жидкости, то она оставляет лишь отверстия в стенках сосуда, а самый сосуд остается целым. Если же пуля попадает в сосуд иа несколько сантиметров ниже уровня жидкости, то сосуд разлетается вдребезги. Дело в том, что для проникновения пули в воду оиа должна либо сжать ее на величину своего объема, либо вытеснить наверх. Для вытеснения недостаточно времени. Происходит сжатие — в жидкости развиваются большие давления, которые и разрывают стенки сосуда. Для опыта годятся также деревянные ящики или бумажные коробки, наполненные водой. В последнем случае опыт удается уже с духовым ружьем. Аналогичные явления возникают при разрывах глубинных бомб, применяемых против подводных лодок.
Вследствие малой сжимаемости воды при взрыве в воде развиваются громадные давления, которые и разрушают лодку. » 8»1 ОБщие сВОЙстВА жидкостеи и ГАЭОВ Малая сжимаемость жидкостей позволяет во многих случаях вообще полностью пренебречь изменениями их Объема. Тогда вводят представление об абсолютно несжимаемой жидкости. Это— идеализация, которой постоянно пользуются. Конечно, и в несжимаемой жидкости давление определяется степенью ее сжатия. Однако даже при очень больших давлениях изменения объема «несжимаемых жидкостей» столь ничтожны, что с ними можно не считаться.
Можно сказать, что несжимаемая жидкость — это предельный случай сжимаемой жидкости, когда для получения бесконечно больших давлений уже достаточны бесконечно малые сжатия. Несжимаемая жидкость является такой же абстракцией, как н твердое тело. Деформации твердых тел существенны для выяснения механизма возникновения внутренних напряжений.
Но когда деформации малы, можно в ряде случаев заменить реальное тело идеализированным твердым телом. Твердое тело — это предельный случай реального тела, когда для получения бесконечно больших напряжений достаточны бесконечно малые деформации. Можно или нельзя реальную жидкость заменять идеальной— это зависит не.столько от того, насколько мала сжимаемость жидкости, сколько от содержания тех вопросов, на которые надо получить ответы. Так, при рассмотрении звуковых волн, вообще говоря, принципиально невозможно отвлечься от сжимаемости жидкостей.
А при рассмотрении воздушных течений, если только перепады давления не слишком велики, воздух часто можно рассматривать как несжимаемую жидкость (см. 4 94, и. 5). 5. В состоянии равновесия давление жидкости (или газа) Р меняется с изменением ее плотности р и температуры Т. Оно однозначно определяется значениями этих параметров. Соотношение Р=((р, Т) (89,4) между давлением, плотностью н температурой в состоянии равновесия называется уравнением состояния. Оно имеет разный вид для разных веществ и особой простотой отличается в случае разреженных газов.
Вопросы, связанные с уравнением состояния, подробно разбираются во втором томе нашего курса. Здесь мы ограничимся замечанием, что, зная уравнение состояния, изотермическнй модуль упругости КГ можно вычислить простым дифференцированием. Он в общем случае является функцией плотности и температуры или давления и температуры. 6. Если жидкость находится в движении, то наряду с нормальными напряжениял«и в ней могут возникать и касательные вильи Однако последние определяются не самими деформациями жидкости (сдвигами), а их скоростями, т. е, производными деформаций по времени. Поэтому их следует относить к классу сил трения или вязкости.
Они называются касательными или сдвиговыми силами 444 МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ [ГЛ. Х11 внутреннего трения. Наряду с касательными могут существовать и нормальные или объемные силы внутреннего трения. От обычных сил давления Р эти силы отличаются тем, что они также определяются не степенью сжатия жидкости, а скоростью изменения сжатия во времени.
Эти силы играют существенную роль в быстрых процессах, например при распространении предельно коротких ультразвуковых волн (длина которых приближается к молекулярным размерам и межмолекулярным расстояниям). В предельном случае, когда скорость изменения деформаций в жидкости стремится к нулю, в ней исчезают все силы внутренне~о трения, как сдвиговые, так и обусловленные сжатием. Жидкость, в которой при любых движениях не возникают силы внутреннего трения (как касательные, так н нормальные), называется идеальной.
Иными словами, идеальной называют жидкость, в которой могут существовать только силы нормального давления Р, однозначно определяемого степенью сжатия и температурой жидкости. Такие силы могут быть вычислены с помощью уравнения состояния жидкости (89.4) не только тогда, когда жидкость покоится, но и тогда, когда она движется произвольным образом. Конечно, строго идеальных жидкостей не существует.
Это — абстракции, которыми можно пользоваться, когда скорости изменения деформаций в жидкости не очень велики. 7. Если к жидкости приложить касательные напряжения, то возникнет движение. Оно в конце концов прекращается и переходит в состояние покоя, в котором касательные напряжения отсутствуют. Скорости изменения деформаций жидкости могут меняться в широких пределах. Для таких жидкостей, как вода или спирт, зти изменения происходят весьма быстро; для очень вязких жидкостей, как мед или патока, — весьма медленно. Наконец, есть вещества, которые при быстрых воздействиях на них ведут себя, как твердые тела, а при медленных — как очень вязкие жидкости.
Сюда относятся так называемые аморфные твердые тела. Например, кусок сапожного вара или асфальта разбивается на мелкие части, если его ударить молотком. На асфальте можно стоять и по нему можно ходить. Но асфальт вытекает из бочки в течение недель или месяцев. Скорость вытекания сильно увеличивается с температурой. Стеклянная палочка, положенная своими концами на две опоры, прогибается, если подождать достаточно длительное время (месяцы или годы), причем ее прогиб не исчезает по прекращении действия силы тяжести.
Эти примеры показывают, что нельзя провести резкое разграничение между жидкостями и аморфными твердыми телами. Истинно твердыми телами являются только кристалльс, Впрочем, говоря о жидкостях, мы будем всегда иметь в виду жидкости, не обладающие аномалыю большой вязкостью, когда отличие их от аморфных твердых тел выступает вполне отчетливо. эгьвнвнпя пьвноввсия и движении жидиоствй 44ь $ 901 $ 90. Основные уравнения равновесия и движения жидкостей 1. Силы, действующие в жидкости, как и во всякой другой сплошной среде, обычно разделяются па силы массовые (объемные) и силы поаерхностные. Массовая сила пропорциональна массе дт, а с ней и обьему дг' элемента жидкости, на который она действует.
Вту силу можно обозначить как аде', называя у объемной плотностью массовых сил. Важнейшими примерами массовых сил являются сила тяжести и силы инерции (когда движение рассматривают в неннерциальных системах отсчета). В случае силы тяжести у =- рп'„где р — плотность жидкости, а и' — ускорение силы тяжести. Поверхностные силы — это такие силы, которым подвергается каждый объем жидкости благодаря нормальным и касательным напряжениям, действующим на его поверхности со стороны окружающих частей жидкости. 2. Рассмотрим случай, когда касательных напряжений нет, а есть только силы нормального давления. В идеальной жидкости это будет всегда, т, е, прп любых движениях.
В остальных Р случаях — тогда, когда жид- л > кость покоится, т. е. в гидро- статике. Определим равнодействующую сил давления, действующих на бесконечно малый элемент объема жидкости дг'. Сначала найдем проекцию этой равнодействующей на направление координатной оси Х. Возьмем в качестве элемента дГ бесконечно малый цилиндр с площадью оснований д5 и длиной дх (рис.
230), ориентированный вдоль оси Х. Абсциссы оснований цилиндра обозначим соответственно х и х + дх. Сила давления, действующая на первое осно. ванне, равна Р (х) д5, на второе — Р (х -~- дх) д5. В скобках у Р указано значение аргумента х, от которого Р зависит.
Конечно, Р может зависеть и от координат у, г, а также от времени й Но все эти аргументы не меняются при переходе от одного основания цилиндра к другому, а потому в рассматриваемом нами вопросе могут считаться постоянными. При желании поперечные размеры цилиндра можно взять бесконечно малыми высшего порядка по сравнению с длиной дх.
А тогда у и г могут рассматриваться постоянными не только при смещениях вдоль цилиндра, но и поперек. Силы давления, действующие на боковую поверхность цилиндра, перпендикулярны к осп Х„а потому при вычислении составляющих вдоль этой оси роли не играют. Итак, проекция сил давления на ось Х, действующих на рассматриваемый элемент объема жидкости, равна (Р (х) — Р (х+ дхД д5. 446 МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ «ГЛ.
ХН Бесконечно малую разность в квадратных скобках можно заменить дифференциалом функции Р: Р (х+ йх) — Р(х) = йРу=сопа = ') йх. «'дР '«=.сопу1 ~вг у=оопп« 1 — ооп51 г=ооп51 1=сопу1 Дополнительные условия у =- сопз«, г = сопз(, « = сопз«указы- ЛР вают на то, что при взятии производной — и дифференциала йР лг координаты у, г и время 1 должны рассматриваться как постоянные. Производная функции Р (х, у, г, «), взятая при таких дополнительных условиях, как известно, называется частной производной и дР обозначается посредством — -.
Используя это обозначение, полудк чаем для вычисляемой проекции силы — д-дай = — дулl дР дР в = — —, 3 ду' г дг Сам вектор в равен дР . дР ° дР в= — -- г' — --т' — — гг, дг ду дг (90.2) или сокращенно в = — агай Р. Мы ввели обозначение (90.3) игаб Р = — г+ —,у+ — )г. дР. дР . дР дх ду дг (90.4) Этот вектор называется градиентом скаляра Р (см. также 5 29). Таким образом, объемная плотность в результируюи«рй сил давления, действующих на элементы объема жидкости, равна гради- так как йЯ йх = йу'.
Зта проекция, таким образом, пропорциональна величине элемента объема й)г, и ее можно обозначить как з„сЛ/. Величина з, есть х-составляющая силы, действующей на единицу объема жидкости, которая возникает из-за изменения нормального давления Р в пространстве. По самому смыслу она не может зависеть от формы элемента Л'. Мы взяли Л' в виде цилиндра только потому, что таким путем достигается наибольшая простота и наглядность вычисления. Можно таким же путем найти проекции зу и з„выбирая в качестве дуг элементарные цилиндры, ориентированные параллельно координатным осям У' и 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
