1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Пусть и величин хм х>, ..., х„в этой системе имеют размерности соответственно ~,"М'Т", БР'МФТ", ..., БР"М««Т'". Требуется составить из них безразмерную комбинацию. На основа- нии теоремы, доказанной в п. 2, искомая комбинация должна иметь вид х",' х",' ... х"„". Ее размерность будет (Б'М" Т"'))' (Б>-'М'Т'')"*... (БРРМ««Т'" ))', т. е. БРМ«Т', где р = р,а, + р>а»+... + р„а„, д = о,«»>+ д а«+...+ д„а„, (87.3) г =-г,а,+г,а»+...+ г„а„. Для того чтобы комбинация была безразмерной, необходимо и достаточно, чтобы р = д = г = О. Это приводит к системе трех однородных уравнений р а +р,а,+...+р„а„=О, д,а, + д«а«+... + д„а„= О, (8?.4) г»а, + г,а, +... + г„а„= О с неизвестными а,, а«, ..., а„. Од>ю из этих неизвестных всегда можно выбрать произвольно, так как безразмерная комбинация останется безразмерной, если ее возвести в произвольную степень.
Фиксируем, например, а,. Тогда 4Э6 [ГЛ. Х1 МЕТОДЫ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ получится три уравнения для Определения п — 1 неизвестных, за которые удобно принять отношения — "', -"', ..., — ". Если эти уравнеа,' а,' '''' аг ' ния независимы, то (и — 1) — 3 = п — 4 отношений можно выбрать произвольно. Три остальные определятся из уравнений (87.4).
В результате найдутся п — 4 независимых безразмерных комбинаций. Всякая функция этих безразмерных комбинаций будет также безразмерной комбинацией. Если же три уравнения (87.4) не независимы, то число независимых безразмерных комбинаций увеличится. Например, если в системе (87.4) независимы только два уравнения, то независимых безразмерных комбинаций будет и — 3 и т. д. й 88. Правило размерности 1. Все применения теории размерностей основаны на двух теоремах. Одна из них выражается формулой (87.2), устанавливающей общий вид размерности физических величин.
Другая теорема утверждает, что всякое количественное соотношение между различными физическими величинами может быть выражено в виде функциональной связи между беэраэмерными комбинациями этих величин. Для доказательства предположим, что между величинами а, Ь, с, х„х„х„... имеется функциональная связь | (а, Ь, с, х„х„х„...) == = О. Примем величины а, Ь, с за основные, а остальные величины х„х„х„... — за производные. (Мы взяли число основных величин равным трем, но это несущественно.) Пусть размерности производных величин будут [х,) —.= [ОР Ьч с' [, [х,[ = [аэ Ьч с'*), ... Уменьшим единицы основных величин в а, [1, у раз соответственно, Тогда оии примут значения гга, 13Ь, ус, а производные величины — значения ям[)э у' х„ ссл[)чуох„ ...
Рассматриваемая функциональная связь запишется в виде )(аа, рЬ, ус, итрэ у'-х„, гсэ [)4"-уох„...) =О, причем а, р„у можно выбрать произвольно. Выберем их так, чтобы аа = — ()Ь:-- ус = 1. Это означает переход от жестко фиксированных единиц к меняющейся системе единиц, в которой численные значения основных физических величин в рассматриваемом нопросе принимаются равными единице. При таком выборе 1('1, 1, 1, " „, — ™ —, ...) =О. атьтс ' ал.[,ч НО это уравнение в качестве переменных аргументов содержит только безразмерные комбинации физических величин. Его можно записать в виде (88.
1) 'аг'Ф'сп ' аг'Ьтс'-' где с — новая функция. Теорема доказана. ПРАВИЛО РАЗМЕРНОСТИ 437 В ЗЗ1 2. Доказанной теореме можно придать другую форму. Разрешим уравнение (88.1) относительно одного из аргументов, например первого, и результат умножим на знаменатель этого аргумента. Получим (88.2) где ф — какая-то функция безразмерных аргументов. Зто означает, что во всяком физическом законе типа А = В размерности обеих частей равенства должны быть одинаковы.
В таком виде доказанная теорема получила название правила размерностей. В равенство типа А = — В могут входить в качестве множителей либо постоянные коэффициенты, либо безразмерные комбинации физических величия. Над размерными величинами правило размерности допускает выполнение только степенных математических операций.
Все прочие математические операции (з)п х, е, 1и х и т. п.) могут выполняться только над безразмерными величинами. Правило размерности очень полезно для проверки формул. Если вычисления проводятся в какой-то одной системе единиц, то размерности обеих частей всех полученных равенств должны быть одинаковы.
Несовпадение размерностей указывает на наличие ошибки, допущенной при вычислениях. Из доказанного отнюдь не следует, что невозможны физические законы, выражающиеся в виде равенств между величинами разной размерности. Равенства подобного рода встречаются в физике сплошь и рядом. Например, скорость свободного падения можно выразить приближенной формулой о = 1Ог (если начальная скорость равна нулю), а гидростатическое давление слоя воды — формулой Р = =- 1/1Ой. Однако подобные формулы справедливы только тогда, ко~да точно фиксированы единицы входящих в них физических величин. В приведенных примерах предполагается, что время 1 измеряется в секундах, скорость о — в метрах в секунду, толщина слоя воды й — в метрах, давление Р— в атмосферах. Изменения масштабов единиц такие формулы пе допускают. Е!о в таком случае нет смысла говорить и о размерности входящих в них физических величин. 3.
Теория размерности сама по себе, т. е. без использования добавочных данных, не может привести ни к каким конкретным физическим выводам, поскольку в ее основах не заложены никакие физические законы. Для того чтобы извлечь из этой теории конкретные выводы, нужно установить, между какал>и физи>ескими величинами существуют количественные связи. На этот счет теория размерности не может дать никаких указаний. Зто можно сделать ~олька либо опытным путем, либо с помощью каких-то физических законов. Приводимые ниже примеры могут служить иллюстрацией высказанных утверждений. 438 МЕТОДЫ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ ЗЛДАЧИ [Гд.
х! 1. Составить все независимые безразмерные комбинации из величин 1, т, 1, о, а, р, Е, гр (! — длина, т — масса 1 — время, о — скорость, а — уснорение, р — плотность вещества, Š— модучь Юнга, ф — угол, измеренный в радианах). Р е ш е в и е. Проще всего поступить следующим образоы. Из перечисленных величин угол гр уже является безразмерной ведичиной. Далее замечаем, что о( имеет размерность длины, а1 — раамерность скорости, р!" — размерность массы, оз — размерность давления, а следовательно, и размерность модуля Юнга. оэтому сразу можно написать следующие безразмерные комбинации: а1 рИ оса — % (88.
3) о' гп' Е' Эгот способ обладает, однако, тем недостатком, что он не дает ответа на вопрос, нсчерпываотся ли рядом (88.3) все независимые безразмерные комбинации рассматриваемых физических величин. Общий метод, изложенный в 4 87, и. О, свободен от этого недостатка. Поэтому мы приведем решение также по этому методу. При отыскании безразмерных комбинаций угол ф, нак величину безразмерну[о, можно не принимать во внимание.
Из оставшихся семи величин составим комбинацию вида 1отй(тоаа! рвЕ». Если выразить размерности о, а, р, Е через размерности основных величин 1, т,1, то эта комбинация перейдет в 1отй(т!Ь1-Ь!Л зхлн[-знт»1-»1-з т. е. в номбинацию Для того чтобы эта комбинация была безразмерной, должно быть а+6+Л вЂ” Зр — »=О, 6+И+» =О, у — 6 — 2Л вЂ” 2» =О. Из этих трех уравнений три неизвестных параметра можно выразить через остав. шиеся четыре. За независимые параметры проще всего принять 6, Л, р, », так как уравнения фактически уже разрешевы относительно оставшихся неизвестных а () у: а= — 6 — Л+Зр+», 5= — р— у = 6+ 2Л+ 2».
получим 1) а= — 1, 3) а= — 3, () ()=О, Т=-[, 2) а= — 1, !)=О, 7=.2, =- — 1, у = О, 4) а = 1, [3 = — 1, у = 2. соответствуют следующие безразмерные комбинации: 1) ™-, 2) - -., 3) [— , 4) — . Зтим значениям Параметры 6, Л, р, » могут независимо принимать любые значения. Полагая последовательно 1) 6=1, Л=р=»=0, 2) Л=1, 6=Я=»=0, 3) р=[, 6=.Л=»=0, 4)»=1, 6=Л=-И=О, 439 ПРАВИЛО РАЗМЕРНОСТИ з аз! Присоединив к ним угол гр, получим всего пять независимых безразмерных комбинаций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
