1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 103

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 103)

Необходимость такого результата выступает особенно отчетливо, если к вопросу подойти с точки зрения принципа суперпозиции. Для определенности рассмотрим возмущения, распространяющиеся вдоль стержня, хотя наши рассуждения имеют общий характер. Пусть в начальный момент времени некоторая область стержня деформирована, но все вещество внутри этой области находится в покое. Вся начальная энергия стержня будет чисто потенциальной. Обозначим ее Е.

Если убрать внешние силы, создавшие начальную деформацию, то из возмущенной области вдоль стержня в противоположных направлениях побегут два возмущения. Если первоначальное возмущение было симметрично, то, очевидно, полная энергия Е разделится поровну между обоими возмущениями, возникшими из него. Покажем теперь, что в каждом из этих двух бегущих возмущений кинетическая энергия равна потенциальной.

Для этого рассмотрим оба возмущения в начальный момент времени, когда они полностью перекрываются. Если Р, и Р, — давления, а о, и о, — скорости вещества в обоих возмущениях, то по принципу суперпозиции в начальный момент Р, + + Р, = Р, и, + и, = О, где Р— давление в возмущенной области в тот же момент времени. В силу симметрии Р, =-= Р, = Ч,Р. Такое же соотношение между давлением в соответствующих точках сохранится и в каждый последующий момент времени. В частности, оно останется справедливым и тогда, когда оба возмущения разойдутся, т.

е. перестанут накладываться друг на друга. Тогда уже имеет смысл говорить о разделении полной энергии между возмущениями, возникшими из начальной возмущенной области. Так как потенциальная энергия пропорциональна квадрату давления, то потенциальная энергия в каждом из бегущих возмущений будет Е~4, а потенциальная энергия обоих возмущений вместе Е(2. Для сохранения энергии необходимо, чтобы другая половина полной энергии перешла в кинетическую. Понятно, что и кинетическая энергия распределится поровну между обоими бегущими возмущениями. Таким образом, в каждом бегущем возмущении кинетическая и потенциальная энергии будут одинаковы и равны Е~4. 3.

Приведенное рассуждение, поскольку оно основано на соображениях симметрии, не вызывает возражений, если начальное распределение деформации само обладает требуемой симметрией. Но рассуждение остается применимым и в тех случаях, когда это условие не выполняется. Чтобы убедиться в этом, достаточно мысленно разбить начальную возмущенную область на бесконечно малые области. Внутри каждой из таких бесконечно малых областей давление можно считать постоянным, а его распределение можно изобразить в виде бесконечно узкого прямоугольника. Таким образом, начальное распределение давления в каждой из бесконечно 4]7 пвимвнвния пвинципх стпвьпозипии ] 82] малых возмущенных областей будет обладать требуемой симметрией, По принципу суперпозиции возмущения, исходящие из каждой бесконечно малой области, совершенно не зависят от того, возмущены или нет другие бесконечно малые области, Поэтому к этим возмущениям полностью применимы рассуждения, приведенные выше.

За время г' возмущения из рассматриваемой бесконечно малой области распространятся на расстояние сб Если возмущения, возникшие из всей возмущенной области, в момент ] уже не перекрываются, то не будут перекрываться и возмущения, возникшие из отдельных бесконечно малых возмущенных областей (рис. 222). Для них остается справедливым соотношение Р, = Р, = Ч,Р. Отсюда следует, что в каждом из бегущих возмущений, возникших из возмущенной области, равны не только полные кинетические и потенциальные энергии, но и их плотности. Рис.

222. 4. В приведенном рассуждении предполагалось, что оба бегущих возмущения возникли из начальной деформированной области, находившейся в состоянии покоя. Те жс рассуждения, понятно, можно было бы провести и для возмущений, возникающих из не- деформированных областей, частицам которых в начальный момент времени сообщены скорости, произвольным образом распределенные по этим областям. б.

Итак, для того чтобы возмущение было бегущим, необходимо, чтобы плотности кинетической и потенциальной энергий в нем были одинаковы. Вопрос о том, в какую сторону будет распростра. няться возмущение, легко решается с помощью энергетических соображений. Пусть, например, возмущенная область АВ распространяется вправо (рис.

221). Проведем в ней произвольное сечение 5. Чтобы возмущение распространялось вправо, необходимо, чтобы часть стержня А5 совершала положительную работу над частью 5В, т. е. должно быть Ро ) О, если условнтьсясчитатьскорости частиц стержня положительными, когда они направлены вправо. Если о ) О, то должно быть Р ) О, т. е.

напряжение в сечении 5 должно иметь характер давления. Если же и ( О, то должно быть Р ~ О, т. е. напряжение в сечении 5 должно сводиться к натяжению Т = — Р. Чтобы возмущение распространялось влево, необходимо выполнение условия Ро ( О. Если равенство кинетической и потенциальной энергий в возмущении не имеет места, то возмущение разделится на два возмущения, 418 ,гл х МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ распространяющиеся в противоположных направлениях.

В общем случае этн возмущения будут уносить разные энергии. Например, если всюду в начальной возмущенной области Ро) О, то энергия, уносимая вправо, будет больше энергии, уходящей влево. При Ро ( О соотношение между этими энергиями будет обратным. Если же Ро = О, то оба возмущения унесут одинаковые энергии. 6. Из изложенного следует, что в бегущей волне сжатия частицы стержня движутся в пюм же направлении, в каком распространяется само возмущение.

Если же возмущение носит характер растяжения, то этн направления противоположны. Предположим сначала, что возмущение является сжатием и распространяется вдоль стержня слева направо. Исследуем, что произойдет, когда оно достигнет правого конца стержня. Будем предполагать, что правый конец стержня свободен, т. е. не закреплен. Тогда с приходом возмущения Слеамле РЕЛМЯЗСЕГЛЕ РваглглГелее' Рис. 223. СЛЕЕЛГЕЕ Рис. 224. частицы на конце стержня приобретут скорости, направленные вправо. Так как конец стержня свободен, то остановиться эти частицы могут лишь тогда, когда со стороны стержня на них подействуют силы, направленные влево.

А для этого стержень у правого конца должен оказаться растянутым. Сжатие на конце стержня переходит в растяжение. Последнее вызовет в стержне возмущение растяжения, которое будет распространяться в нем влево (рис. 223). Все происходит так, как если бы в некоторый момент времени был оттянут свободный конец стержня и в нем создана деформация растяжения. В возмущении, распространяющемся налево, поскольку оно является возмущением растяжения, частицы среды должны иметь скорости, направленные вправо. Зтн скорости частицы приобретают под влиянием сил натяжения, с которыми на них действуют растянутые части стержня, лежащие правее, Мы видим, что от свободного конца стержня возмущение сжатия отражается и переходит в возмущение растяжения.

Аналогично ведет себя и возмущение распяжения, Оно также отражается от свободного конца и переходит в возмущение сжатия (рис. 224). В обоих случаях при отражении от свободного конца стержня знак деформации меняется на противоположный, тогда как знак скорости вещества о сохраняется неизменным. Иначе ведет себя возмущение при отражении от закрепленного конца стержня. В общем случае возмущение распадается на два: 419 применения принципа снпврпозиции э ат! задачи !.

В упругом стержне создана такая начальная деформация сжатия, что скорости всех частиц в деформированной области направлены в одну сторону (например, вправо), причем в каждой точке плотность потенциальной энергии в а раз превосходит плотность кинетической энергии. Определитгч какая доля первона. чальной энергии будет унесена возмущением, распространяющимся вправо, а какая доля — возмущением, распространяющимся влево. Р е ш е н и е, Для простоты внедем такие единицы, чтобы плотности кинети.

Характеристики

Список файлов книги