1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Строго говоря, под 5 и р в этом выражении следовало бы понимать значения этих величин для нееозмущенного стержня. Однако в пределах принятой здесь точности расчета в соотношениях подобного рода нет необходимости учитывать разницу между значениями р, 5 и аналогичных величин в возмущенном и невозмущенном состояниях. Это необходимо делать только при рассмотрении сильных возмущений. Подставив в формулу (81.1) т = р5с(, Р = РЕ, где Р— давление в возмущенной области стержня, получим (81.2) с= )/ —. (81.5) Этой формулой и определяется скорость распространения упругих возмущений в рассматриваемом случае.
4. Работа, совершаемая силой Р за время 1, равна А = Ро( = =- РЗвс! = Ре)т, где )т — объем возмущенной части стержня. *) Если раскрыть производную, то получится оо т(т лз- -=то — о - —, ку Ш' (81.1а) Это соотношение является частным случаем уравнения (21,2).
Достаточно заме- тить, что воамушенную часть стержня можно рассматривать как тела с переменной массой, причем о„,„= — о. Формулу (81.2), которая выводится ниже, можно получить и из уравнения (81.1а), заметив, что в рассматриваемом случае Давление Р связано с относительным сжатием стержня соотношением Р = Ев.
Для нахождения в заметим, что к моменту времени т' правый конец сжатой области стержня В еще не успел переместиться, тогда как левый свободный конец его А' двигался в течение времени 1 и переместился на расстояние о(. В результате длина возмущенной области стержня по сравнению со своей исходной длиной укоротится на ст( = пй Поэтому о( о (81.3) с Р=Š—.. (8!.4) Исключая Р из формул (8!.2) и (81.4), получим $811 СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В СТЕРЖНЯХ 413 С другой стороны, потенциальная энергия, запасенная при сжатии, (7 =- т!ТРИ. Таким образом, (7 = т!,А, Только половина работы идет на увеличение потенциальной энергии стержня. Другая половина тратится на приращение кинетической энергии.
В каждый момент времени кинетическая энергия равни потенциальной. Этим свойством, как будет показано в следующем параграфе, обладает любое малое возмущение, распространяющееся в одном направлении. 5. Если в некоторый момен~ времени сила Р прекратит свое действие, то в стержне образуется возмущенная область, ограниченная с обеих сторон. Это нетрудно понять„воспользовавшись прежней моделью из прямолинейного ряда соприкасающихся упругих шаров (рис. 217) и выполнив затем предельный переход к сплошному стержню. Таким же путем нетрудно убедиться, что обе границы возмущенной области должны распространяться в одном направлении и с одной и той же скоростью.
Последняя определяется формулой (81.5). Для доказатель- Г ства достаточно в возмущен- л в ной области провести произвольное сечение (рис. 220), Рис. 220. все время состоящее из одних и тех же частиц. Очевидно, такое сечение будет двигаться вправо со скоростью вещества и. Оно играет роль свободного конца стержня. На него оставшаяся часть деформированного стержня, расположенная левее, давит с силой Р =- Р5. Поэтому к части стержня, расположенной правее рассматриваемого сечения, полностью применимо наше прежнее рассуждение. Из него следует, что граница возмущений области В будет распространяться вправо со скоростью с, определяемой формулой (81.5). 6. Рассуждение не меняется существенно, если вместо постоянной силы давления к концу стержня приложить в некоторый момент времени постоянную силу натяжения.
Разница состоит только в том, что по стержню вместо возмущения сжатия побежит воаиуи4ение разрежения. Скорость распространения такого возмущения по-и режнему будет определяться формулой (8!.5). Модель, состоящая из соприкасающихся упругих шаров, в этом случае, конечно, неприменима.
Но ее можно заменить моделью, в которой соприкасающиеся шары связаны между собой бесконечно короткими пружинками пренебрежимо малой массы. 7. В предыдущих рассуждениях предполагалось, что возмущение в стержне вызывается постоянной силой, приложенной к его концу в какой-то момент времени. Обобщение на случай п'еременной силы не представляет труда. Обратимся к нашей прежней модели, состоящей из ряда упругих шаров, но скрепленных пружинками пренебрежимо малой массы. Если по первому шару наносить удары различной силы В определенные моменты времени, то и сообщаемые 414 мехАникА упРуГих тел [ГЛ. Х ему скорости будут различными.
В соответствии с этим распределение скоростей можно представить прежними схематическими рисунками (рис. 2!?). Однако скорость о будет меняться от шара к шару. Выполнив предельный переход к непрерывному стержню, получим возмущение, распространяющееся в определенном направлении, в котором скорость вещества непрерывно меняется от точки к точке. Может изменяться даже направление скорости о, если сила, приложенная к концу стержня, меняет свое направление. Возмущенная область будет ограничена с обеих сторон, если возбуждающая сила действует ограниченное время. Докажем, что для рассматриваемого возмущения остаются справедливыми формулы (81,2) и (81.3), а следовательно, и формула (8!.5). На рис. 221 возмущенная область заштрихована и представлена в два бесконечно близких момента времени 1 и Г + [1[.
За время Ш возмущенная область пере- А~У В В вЂ” юс В' Рис. 221. мешается на расстояние ей. Проведем в возмущенной области, произвольное сечение А„состоящее из одних и тех же частиц вещества. Оно перемещается вправо со скоростью о, которую имеют частицы вещества в сечении А в момент времени 1. За время с(1 частицы переместятся в А', пройдя малое расстояние и с(1, которым мы пренебрегаем. Само возмущение переместится на много большее расстояние с с(б Найдем приращение количества движения вещества, расположенного правее выделенного сечения А.
Возмущение из точки А переместится в точку О, пройдя расстояние с с(Г. Вещество, расположенное правее 1), в момент Г + й будет обладать в точности таким же движением, каким обладало в момент 1 вещество, расположенное правее А. Поэтому ясно, что искомое приращение количества движения будет равно количеству движения, локализованному между сечениями А' и Р, т. е. Яс [1[ ро. Оно равно импульсу сил давления РЗ [(1, действующих в течение времени Г(1 в сечении А. Приравнивая оба выражения, получаем формулу (81.2). Так же легко получить формулу (81.3). Рассмотрим бесконечно малую возмущенную область А'0 (рис. 221). Ее первоначальная длина была равна 1 = с с(1.
Но возмущение достигло сечения А' на время й раньше, чем сечения О. Благодаря этому путь, пройденный веществом, связанным с сечением А ', будет на о с(Г длиннее пути, пройденного веществом, связанным с сечением В. Значит, укорочение пвимвнвния пгинципл сгпвгпозиции 415 $821 области А'0 в результате деформации равно М = о Ж. Разделив а! на 1, получим формулу (8!.3). Плотность кинетической энергии в возмущенной области и1„2„= 1 2 = ",,1ю .
Плотность потенциальной энергии юа„= '?8 Ее'= — —, Подставив сюда выражение для с из формулы (8!.5), получим и1„„= =- 1?арса. Таким образом, и1„2„= и12„,. Во всяком бегущем упругом возмущении, т. е. возмущении, распространяющемся в определенном направлении, полная энергия распределяется поровну между кинетической и потенциальной. 8 82.
Применения принципа суперпозиции 1. Мы пользовались уже принципом суперпозиции в статике. Но этому принципу подчиняется также распространение малых возмуи1ений. Пусть в среде распространяется какое-либо возмущение. Смещение какой-либо частицы среды из положения равновесия в этом возмущении обозначим з, (е„?). Вектор еа означает радиус- вектор рассматриваемой точки в состоянии покоя, т. е.
до того момента, когда до нее дошло возмущение. Пусты, (е„1) — смещение во втором возмущении в той же среде. Какое возмущение возникнет в среде, если в ней возбудить оба эти возмущения? Принцип супер- позиции утверждает, что результирующее смещение будет з( а 1) =з1(ка г)+за(ка 1). Это означает, что всякое возмущение, существующее в среде, не влияет на распространение другого возмущения. Каждое возмущение распространяется так, как если бы других возмущений в среде не было. Примером могут служить волны на поверхности воды. Если на спокойную поверхность пруда бросить два камня, то из точек падения будут распространяться круговые волны. Там, где они накладываются одна на другую, возникает довольно сложное результирующее движение.
Но каждая волна после прохождения через область наложения остается в точности такой же, какой она была бы при отсутствии другой волны. Разумеется, принцип суперпозиции справедлив не только для двух, но для произвольного числа возмущений, накладывающихся друг на друга. Принцип суперпозицни в том виде, в каком он сформулирован выше, следовало бы назвать принципом суперпозиции смещений. Но он справедлив и для скоростей частиц, поскольку скорости получаются дифференцированием смещений по времени. Он верен и для упругих напряжений, поскольку последние линейно выражаются через деформации, т. е.
смещения. Принцип суперпозиции можно рассматривать как опытный факт. Он является также следствием линейности уравнений (относительно смещений), которым описываются малые возмущения, Для сильных возмущений принцип суперпозиции не справедлив. 416 игл. х МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ 2. В предыдущем параграфе было показано, что полная энергия бегущего возмущения распределяется поровну между кинетической и потенциальной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
