1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 104
Текст из файла (страница 104)
ческой и потенциальной энергий выражались формулами ш„„„=о', ш„е, = Р'. Представим начальные значения Р н о в виде Р=Р1+Ра о=ог+оз Пусть каждое из начальных возмущений Р,, ог и Р„оз порождает возмущение, бегущее в одном направлении. Тогда Р; '= о', Р! = о,'. Если первое возмущение бежит вправо, а второе — влево, то Р,и, > О, Р,и, < О. Учитывая это, получаем Р,= — о,, Р,= — о, Р— о Ре = — от 2 .' и далее Р + о Р,= — о,= 2 Отношение энергий, уносимых возмущениями, равно !+2--+, — 1 о 1оУ илн Е, 1 ос 2 г а+а (') а+ 1 )~ Еа 1 — 2 г~атсг () гх — ! 7 2. Стальной цилиндр длиной ! = 10 см, движущийся вдоль своей оси со скоростью о, сталкивается торцом с таким же неподвижным цилиндром, ось которого является продолжением оси первого цилиндра.
Рассматривая упругие возмущения, возбуждаемые при ударе, определить время соударения цилиндров. При каких значениях скорости о наступают пластические деформации цилиндров или их раз. рушениеэ Для стали Е = 2 10" дин(смт, р = 7,8 г!сма, предел упругости Р, = = 2 10ь дин!сма. одно возвращается назад в виде отраженного возмущения, другое проходит в среду, с которой граничит закрепленный конец стержня. Только в предельном случае, когда эта среда бесконечно жесткая, возмущение отражается целиком. Рассмотрим этот предельный случай. Когда возмущение достигает границы, то сжатие (растяжение) продолжает оставаться сжатием (растяжением), так как конец стержня закреплен и смещаться не может.
гто силы, действующие на этот конец со стороны среды, с которой он граничит, меняют направление скоростей частиц на противоположные. Знаки деформаций при отражении сохраняются, а знаки скоростей изменяются. В результате возмущение сжатия отражается также в виде возмущения сжатия, а возмущение растяжения — в виде возмущения растяжения. мехАникА упРуГих тел (ГЛ. Х с с Рис. 225 т(о Лз т ги,,',з гпиз, 2(2 ) 2(2 У 4 ™ Но эта величина должна быть равна тиЧ2. Отсюда следует, что и' = иЧ4, а потому и' = и(2. Таким образом, когда обе волны разрежения сойдутся в центре, первый цилиндр остановится и деформирован нс будет, второй будет двигаться вправо со скоростью и также в недеформированном состоянии (положение 3) Как и следовало ожидать, цилиндры обменялись скоростями Начиная с этого момента, контакт между цилиндрами прекратится. Поэтому время соударения Р е т е н и е.
В момент соприкосновения цилиндр Л движется со скоростью и, цилиндр  — покоится, оба цилиндра не деформированы (рис. 225, положение 1). После того как произойдет удар, от места удара в обе стороны побегут волны сжатия со скоростью с относительно цилиндров (положенне 2). Частицы обоих цнл нндров в области сжатия движутся в одну и ту же сторону со скоростью гг2. Это следует нз закона сохранения импульса. Когда возмущения дойдут до концов цилиндров, все вещество будет двигаться с общей скоростью Ы2 (положение 3).
Масса движущегося вещества удвоилась, скорость умеиьщнлась вдвое, так что захон сохранения импульса соблюдается. Кинетическая энергия по сравнению с началь. ной уменьшилась вдное. Половина энергии перешла в потенциальную — оба цилиндра равномерно сжаты и прижимаются друг к другу. Затем начинается отражение возмущений от своболных концов цилиндров (положенне 4). Возму- щения сжатия переходят в воз- ы и и-й мущения разрежения.
Прн этом д на левом конце давление со сто. роны смежных областей останавливает частицы вещества, з г г на правом — ускоряет. Слева возникает недеформированная с с область, в которой вещество покоится, справа — недеформи- 2 и г рованная область, в которой вещество движется вправо со скоростью и. Чтобы убедиться в этом, перейдем в систему ото-гт д м. в р счета, движущуюся вправо со г скоростью и)2. В начальный мо. 4 мент(положение 3) оба пилиндра в этой сисгеме отсчета покоятся и равномерно сжаты.
При отраи-й ~ женин на обоих концах возникают возмущения разрежения: от левого конца разрежение пойдет вправо со скоростью с, от правого — влево с той же скоросгью. У свободных концов стержней образуются недеформнрованные области, Скорости вегцества в этик областях (относительно движущейся системы отсчета) должны быть направлены наружу, так как движение в них возникает под лействием сил сжатия, направленных в те же стороны. В силу симметрии скорости вещества в обеих недеформированных областях одинаковы по величине, но направлены противоположно. Обозначим и' сиорость вещества в правой недеформированной области. (Очевидно, она положительна.) Тогда скорость вещества в левой недеформировапной области буден — и'.
Чтобы найти и', перейдем снова в неподвижную систему отсчета. Относительно этой системы скорости вещества н недеформированных областях будут и)2 — и' н и)2+ и'. Когда возмущения встретятся в месте соприкосновения цилиндров, деформации исчезнут, и оба цилиндра будут двигаться как целые со скоростямн и)2 — и' н и)2+ и'. Кинетическая энергия этого движения будет 4 зз! скорости упвргих возмгщвнип в неогрлнич.
сиада 42! т„= — =2! у — 4 !0» с. с г' Е Найдем теперь относительное сжатие цилиндров при деформации После соприкосновения левый конец цилиндра В приобрел скоросгь о)2, правый конец продолжал покоиться втечение времени пот д. За это время левый конец переместился на расс юяние к = Ч«т о. Относительное сжатие цилиндра будет л о ! 2с' о а давление Р=Š—. Чтобы не возникало пластических деформаций илн разру2с' щений, должно быть Р с' Ро, т.
е. 2сро 2Р« о ( —. = =. — ! О м/с. Е Уяр $ 83. Скорости распространения продольных и поперечных возмущений в неограниченной среде 1. Возмущения в стержне, рассмотренные в 2 81, мы назвали продольными. Это не совсем точно. Каждая деформация сжатия стержня сопровождается увеличением поперечных размеров его. В случае деформации растяжения поперечные размеры стержня сокращаются.
Для количественного описания этих явлений был введен коэффициент Пуассона. Следовательно, частицы в стержне движутся не совсем параллельно его оси: наряду с продольной составляющей скорости они имекп и поперечную составляющую. Чтобы сделать возмущение чисто продольным, надо лишить частицы стержня возможности перемещаться в поперечных направлениях, т. е.
«закрепить» боковую поверхность стержня. Такой случай осуществляется в неограниченной среде при распространении в ней продольных возмущений. Если в такой среде мысленно вырезать произвольный «стержень» с осью, параллельной направлению распространения возмущения (которое в случае продочьных возмущений параллельно смещениям частиц), то частицы, находящиеся на боковой поверхности его, удерживаемые соседними частями среды, не будут претерпевать никаких боковых смешений. Все смещения будут происходить только параллельно оси «стержняж Рассуждения, проведенные в предыдущих параграфах, применимы и в рассматриваемом случае.
Надо только модуль Юнга Е заменить модулем адно- стороннего растяжения Е'. В результате для скорости распространения продольных возмущений в неограниченной среде получится выражение сн = ~уг— (83.1) цилиндров найдется как промежуток времени, затрачиваемый на прохождение возмущения по одному из цилиндров (л~обого) туда и обратно 422 мехлникА упРу! их тел [Гл. х или в силу соотношений (77.9) и (78.5) ! — и е .» Гк+",»6 ()+И) (! — 2и) О )' р (83.2) 2. В неограниченной твердой среде, наряду с продольными, могут распространяться также поперечные возмущения.
Так называются возмущения, в которых частицы среды смещаются перпендикулярно к направлению распространения возмущения. Скорость распространения поперечных возмущений может быть найдена совершенно так же, как и соответствующая скорость для продольных возмущений. Лля этого в среде мысленно вырежем произвольный «стержень», ось которого параллельна направлению распространения возмущения, т.
е. перпендикулярна к направлениям смещения частиц (рис. 22б). Если к основанию такого «стержня» в начальный момент времени приложить постоянное касательное напряжение т, то в стержне возникнет деформация сдвига, Рис. 226. распространяющаяся со скоростью, которую мы обозначим с). Рассуждая так же, как и в 2 81, найдем, что касательное напряжение т связано с с) и скоростью частиц стержня о соотношением (83.3) т=рсьо Здесь т = Сг)!, где у — угол сдвига. Последний легко найти из следующих соображений.
За время Г свободный конец стержня перемещается на расстояние ог, а то время как само возмущение проходит путь сьй Поскольку о.с, с(, отсюда следует у= (83.4) Из этих соотношений легко получить с~= ~/ —. (83.5) 3. Поперечные возмущения, если они малы, подчиняются принципу суперпозиции. Поэтому в поперечном возмущении, распространяющемся в определенном направлении, плотности кинетической и потенциальной энергий одинаковы. Вопрос о направлении распространения поперечного возмущения решается с помощью энергетических соображений совершенно так же, как и для продольных возмущений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
