1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 106
Текст из файла (страница 106)
(85.3) Вместо объема тела $' удобнее ввести плотность р. Величина 1/р есть масса тела, остающаяся постоянной при всех изменениях. Из соотношения 1/р =- сопз1 путем дифференцирования находим дк и а потому Е=р „ (85.4) Подставляя это выражение в формулу (81.5), получаем для скорости звука в газах и жидкостях с= ~/ -„—. (85.5) 2. Применим формулу (85.5) к вычислению скорости звука в газах. Впервые это было сделано Ньютоном. Он принял, что изменения давления и плотности газа в звуковой волне подчиняются л' заяояд Бойля — Мариотта: Р = Ар, где А = сопз1.
Отс|ода — - = йо Р =А = —. В результате получается 4юрмула Ньютона р .УР сн= у р Здесь скорость звука обозначена сн, чтобы подчеркнуть, что речь идет о скорости звука, вычисляемои по формуле Ньютона. 428 мехАникА упРуГих тел ~ГЛ. Х Преобразуем формулу (85.6) к другому виду, более удобному в численных расчетах. Как известно, объем, давление и абсолютная температура Т идеальных газов связаны соотношением Р$'=- КТ, (85.
7) (85.8) си= ~/ — —. (85. 9) Вычислим по этой формуле скорость звука в воздухе при 0 С (7' = 273 К). Воздух есть смесь различных газов, основными частями которой являются азот (1А = 28) и кислород (р =- 32). Средний молекулярный вес такой смеси примем равным р = 28,8. Подставляя в формулу (85.9) численные значения, получим си —— -= 280 и!с. Опыт дает с =- 330 м!с. Налицо значительное расхождение между теорией и опытом. Причина этого расхождения долгое время оставалась непонятной.
Оиа была установлена Лапласом (1749 — 1827) лишь в начале Х1Х века. Закон Бойля — Мариотта относится к таким изменениям давления и объема газа, при которых его температура остается постоянной. Между тем звуковая волна состоит из следукицих друг за другом сжатий и разрежений газа.
Над сжатыми областями производится внешняя работа, которая идет на повышение их температуры. Разреженные области сами совершают внешнюю работу и благодаря этому охлаждаются. Так как сжатия и разрежения совершаются очень быстро, то температуры между ними не успевают выравниваться: сжатые области всегда теплее разреженных.
Наличие этой разности температур повышает перепад давления между сжатиями и разрежениями и ведет к увеличению скорости звука в газах. Это обстоятельство и не было учтено формулой Ньютона. Ньютон при вычислении скорости звука подставил в формулу (81.5) изотермический модуль упругости Е, а надо было пользоваться адиабатичесним модулем (см. 2 79). Количественное исследование вопроса будет дано в томе П нашего курса. где (с — постоянная. Если газ взят в количестве одного моля, то постоянная (с будет иметь одно и то же численное значение для всех газов. Она называется универсальной газовой постоянной и равна )с = 8,31 10'эрг К '.моль '.
Напомним, чтомолем называется количество вещества, масса которого в граммах численно равна молекулярному весу этого вещества р. Отсюда следует, что плотность р связана с объемом )Г моля идеального газа соотношением р = рг'. В результате получаем ГЛАВА Х! МЕТОДЫ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ й 86. Размерность и системы единиц Е До сих пор мы ничего не говорили о размерности физических величин. Мы пользовались этим понятием, предполагая, что читатель имеет некоторое представление об относящихся сюда вопросах. В задачах, которые мы рассматривали, этого было достаточно. Метод размерности весьма эффективен в более сложных вопросах, например в гидродинамике, где полная теоретическая трактовка затруднительна.
С привлечением добавочных соображений весьма общего характера или опытных данных он приводит, и притом быстро и просто, к важным результатам, дающим предварительну1о, хотя и неполную, ориентировку в рассматриваемом круге явлений. Поэтому необходимо познакомиться с этим методом. Понятие размерности возникает в связи с построением систем единиц. В принципе можно было бы (так и поступали раньше) для каждой физической величины установить свою единицу, никак не связанную с единицами других величин.
Но тогда в уравнения, выражающие физические законы, вошло бы множество численных коэффициентов. Их значения не укладывались бы ни в какую простую и легко запоминаемую схему, а определялись бы случайным выбором единиц, Такое множество численных коэффициентов весьма сильно усложняло бы формулы. Запоминание их было бы нелегкой и в сущности бесполезной нагрузкой для памяти.
Во избежание этого в физике уже давно отказались от независимого выбора единиц для всех физических величин, а стали применять системы единиц, построенные по определенному принципу. 2. Принцип этот заключается в следующем. Некоторые физические величины условно принимаются за основные или первичные, т. е, такие, для которых единицы устанавливаются произвольно и независимо. Так, например, в механике применяется система ЕМТ, в которой за основные величины принимаются длина (Е), масса (М) и время (Т). Выбор основных величин и их число произвольны, Зто — вопрос соглашения. Например, в технической механике до недавнего времени применялась система (.г'Т.
Основными величинами в ней были длина (Е), сила (Р) и время (Т). В так называемой международной системе единиц (сокращенно СИ) за основные МЕТОДЫ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ [Гл. х! приняты шесть величин: длина, масса, время, температура, сила электрического тока и сила света. Величины, не являющиеся основными, называются производными или вторичными. Для них единицы устанавливаются из требования, чтобы численные коэффициенты, входящие в физические законы или формулы, служащие определениел! рассматриваемых величин, принимали определенные, заранее выбранные значения. Например, скорость равномерно движущейся материальной точки есть величина особого рода, пропорциональная пройденному пути з и обратно пропорциональная времени г, затрачиваемому на прохождение этого пути.
При независимом выборе единиц для з, [ и о.следует писать о = С зг[, где С— численный коэффициент, значение которого определяется выбором единиц. Если фиксировать значение этого коэффициента, то единицы для з, ! и о перестанут быть независимыми. Для простоты полагают С = 1 и пишут о = ЗД. Если за основные величины принять путь з и время А то скорость о становится величиной производной. За единицу скорости мы обязаны принять скорость такого равномерного движения, когда за единицу времени проходится единица длины. Говорят, что скорость имеет размерность длины, деленной на время. Символически это записывается так: !о! = ЕТ '.
Аналогично пока единицы выбираются независимо, для ускорения а можно написать ль а = С вЂ”. Полагая С =- 1, мы делаем ускорение а величиной произ![! ' водной, имеющей размерность скорости, деленной на время, или размерность длины, деленной иа квадрат времени. После этого за единицу ускорения мы обязаны принять ускорение такого равномерно ускоренного движения, когда за каждую единицу времени скорость возрастает на единицу.
В произвольных единицах второй закон Ньютона пишется в виде Р = Ста. Фиксируя численный коэффициент С, мы делаем силу Р величиной производной и устанавливаем для нее единицу. Например, при С = 1 получаем Р = та. После этого сила получает размерность массы, умноженной на ускорение: !Р! = !та! — — МАТ '. Формула Р = та обязывает нас за единицу силы принять такую силу, которая массе в одну единицу сообщает ускорение, равное единице. 3.
Размерность физической величины еще не определяет, как велика ее единица. Она устанавливает только связь между единицами различных физических величии. Размерность дает правило, позволяющее определить, как меняется единица производной физической величины при изменении масштабов основных ве,гичин. Это правило, выраженное в виде математической формулы, называется форму гой размерности.
Допустим, например, что за единицу длины принят километр, а за единицу времени — минута. Единицей ускорения в такой системе единиц будет км!мин!. Спрашивается, как изменится единица ускорения, если за единицу длины принять сантиметр, а за единицу времени — секунду. Формула размерности 461 ФОРМУЛА РАЗМЕРНОСТИ « 87] позволяет быстро ответить на этот вопрос. Мы пишем прежде всего 1 км = 108 см, 1 мин = 80 с и далее 76 ., 7666 1 кьумин«=,,', = — см!с». =60» с- = 36 Отсюда видно, что единица ускорения 1 кмlмин« крупнее единицы см7с« в 100073б раз. В соответствии с этим численное значение ускорения, измеренное в км7мин», окажется меньп7е численного значения того же ускорения в 1000736 раз, гели его измерить в см7с». $87. Формула размерности 1.
Термин «система единиц» употребляется в двух смыслах. В широком смысле система единиц характеризуется выбором основных величин и формулами, определяющими производные величины через основные, причем масштабы основных величин не фиксируются. Примером может служить система ЕМ Т, в которой основными величинами являются длина, масса и время.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
