1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 97
Текст из файла (страница 97)
а. Резиновый цилиндр с высотой й, весом Р и плошадью основания 5 поставлен на горизонтальную плоскость. Найти энергию упругой деформации цилиндра, возникающей под действием его собственного веса. Во сколько раз изменится энергия упругой деформации рассматриваемого цилиндра, если на верхнее основание его поставить второй такой же цилиндр? Рсй О т в е т.
!?= —. Во втором случае упругая энергия увеличится в 7 раз. 6ЕЗ ' й 76. Деформации прямоугольного параллелепипеда под действием трех взаимно перпендикулярных сил 1. Допустим, что однородное изотроппое тело имеет форму прямоугольного параллелепипеда, к противоположным граням кото- рого приложены силы Р„Рю Р„ у нормальные к этим граням. Соответствующие им натяжения обозначим Т„, Т, Т, (рис. 201). Определим деформации, которые возникнут под действием этих сил. Будем предполагать деформации малыми. Тогда для реше- /Т/ 1 Т ния задачи можно воспользоз ваться принципом суперпозиции малых деформаций. г У Направим координатные оси Рис.
20!. параллельно ребрам параллелепипеда. Пусть х, д, г — длины этих ребер. Если бы действовала только сила Р„то ребро х получило бы приращение сзвх, определяе- Ь,х Тх мое соотношением — — = —.". Если бы действовала только сила Р, то х Е' з $76] ДЕФОРМАЦНН ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПНПЕДА Зэ] размеры параллелепипеда, перпендикулярные к оси У,пжратились бы, В частности, ребро х при этом получило бы отрицательное прираА2х Ту щение Аьх, которое можно вычислить по формуле — = — у —.
х Е' Наконец, относительное приращение ребра х под действием одной только силы Р, было бы равно — = — р -- . Если все силы дей- Л, Т, к Ё' ствуют одновременно, то согласно принципу суперпозиции малых деформаций результирующее удлинение ребра х будет равно бх = =- А,х + Аэх + Аьх.
Аналогично вычисляются удлинения параллеле- пипеда и вдоль остальных двух направлений У и 2. В результате для удлинений всех трех ребер параллелепипеда можно написать Дх Т„ Е„= — = —" — Ё — (Т„+ Т,), к Е (76.1) у Е Е пк Тх е, = -- = е' —  — (Тх+ Т„). 2. При квазистатическом растяжении параллелепипеда вдоль оси Х совершается работа А, = ",, Я„Тхбх, где 52 = уе — площадь грани, перпендикулярной к оси Х. Эту работу можно представить в виде А, = Ч, хуг Т„-- = '/2 ]7Т„ех, где ]7 = хуг †объ параллеАх лепипеда.
Аналогично запишутся работы при квазистатических растяжениях в направлениях координатных осей 1" и Л. Сложив эти три работы и разделив результат на объем параллелепипеда, получим следующее выражение для плотности упругой энергии в рассматриваемом случае: и =-- 2 (Тхех+ Т„в„+ Т.е,).
(76.2) С помощью формул (?6.1) это выражение приводится в виду и = Е (Тх+ Тхь+ Т27 — 2]к (ТхТР+ 7 РТх+ ТхТкЬ (76.3) Если из трех натяжений Т„Т„, Т, только одно отлично от нуля, то эти формулы переходят в более простые формулы (75.10) и (75.11). Согласно формулам (75,11) плотность упругой энергии и пропорциональна квадрату натязеения Т (или давления Р). В общем случае, как показывает формула (76.3), плотность упругой энергии является квадратичной однородной функцией Т, Т„Т, (или Р„, Р„Р,).
При заданных натяжениях (или давлениях) она обратно пропорциональна модулю упругости Е. Чем жестче пружина, тем меньше при неизменном натяжении ее упругая энергия. Идеально твердые тела (дпя КОтОрЫХ Е = ьо) СОВЕРШЕННО НЕ ОбЛадаЮт унруГОй ЭНЕрГИЕй, какие бы силы натяжения и давления на них ни действовали. 392 МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ !ГЛ. Х Натяжения Т„, Т„, Т, выражаются через е,, е„, е, линейно, как это следует из формул (76.1). Поэтому плотность упругой энергии является квадратичной однородной функцией деформаций е„ е, е,.
В частном случае (е„ == е, е„ = е, =- 0) она пропорциональна кеадРатУ де4орлгаЦии. ПРН заданных дефоРмациЯх ез, в„, е, плотность упругой энергии и пропорциональна модулю упругости Е. Чем жестче пружина, тем больше ее упругая энергия (при неизменной деформации). злдлчл й 77. Всестороннее н одностороннее растяжение и сжатие 1. Рассмотрим частный случай, когда все натяжения Т, Тон Т, равны и отрицательны. В этом случае иа параллелепипед со всех сторон действует постоянное давление Р = — Т, = — Т„ =- — Т, Как видно из формул (76.1), все три относительные деформации е„, е„, е, равны между собой и определяются выражением е = е =е,= — — (1 — 2р).
(77.1) Их легко выразить через относительное изменение объема параллелепипеда при деформации. Действительно, взяв логарифмические производные от обеих частей равенства )г = хуг, получим ЛР Лх ЛУ Лг — = — + — +— У х у а или ЛР 1' — = е„+е„+е,, (?7.2) Определить относительное изменение объема полого латунного шара радиуса Й = Б см, в который накачан воздух до давления 11 атм (наружное давление 1 атм). Толщина сферической оболочки д = 1 мм.
Модуль Юнга латуни Е = = 1О" дин1смз, коэффициент Пуассона и = 0,3. Р е ш е н и е. В силу симметрии касательное напряжение т, действующее в оболочке, одно и то же и одинаково во всех направлениях. Возьмем малый элемент оболочки, из1еюнгий форму прямоугольника. При вычислении относительного изменения площади этого элемента под действием касательных напрягкений т можно отвлечься от кривизны элемента, приняв его за плоскую прямоугольную пластинку. Тогда вычисление дает Л5 т — =2 (1 — р)— 5 Е (изменением площади, вызванным нормадьным давлением, пренебрегаем). Поскольку площадь 5 пропорциональна г'!', относительное изменение объема будет Л!' 3 Л5 Р 25' — = — — —, Так как поверхность искривлена, то натяжевие т создаст разность нормальных давлений.
Для нее нетрудно получить 2тб!)! (см. форлулу Лапласа в учении о поверхностном натяжении, том П). Зга разность должна быть уравно. венгена разностью давлений газа ЛР по разные стороны оболочки, В результате получим Л) 3 (1 Р) )! Лр 3 ц !' 2 Еб з 771 всестОРОннее и ОднОстОРОннее РАстяжение и сжлтие 393 Поэтому формулу (77,1) можно представить в виде Л'7' Р р к' (77.3) где постоянная К определяется выражением Е 3 (! — 2Р) ' (77.4) Зта постоянная называется модулем всестороннего сжатия.
Формула (77.3) применима к телам произвольной, а не только прямоугольной формы. Для доказательства достаточно заметить, что произвольное тело можно мысленно разделить на малые части, каждая из которых имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Зти части находятся под постоянным внешним давлением. Относительные изменения их объемов, а следовательно, и относительное изменение объема всего тела одинаковы и определяются формулой (?7.13). Выражение (76.3) для плотности упругой энергии в случае деформации всестороннего сжатия переходит в 26 2К' (77.6) Так как величина и существенно положительна, то должно быть 1 — 2)»>0, т.е.
РС2. (77.6) 2. Рассмотрим другой важный случай — деформацию одностороннего растяжения или сжатия. Пусть однородный стержень может свободно растягиваться или сжиматься в направлении его оси (которую мы примем за координатную ось Х), а его поперечные размеры изменяться не могут. Этот случай имеет важное значение в теории распрос»ранения продольных волн в неограниченной упругой среде (см. 3 83).
Можно мысленно вырезать часть среды, имеющую форму стержня, направленного вдоль распространения волны. Такой «стержень» может сжиматься или расширяться в продолыюм направлении. Однако изменениям его поперечных размеров препятствует окружающая среда. Форма поперечного сечения стержня не имеет значения. Возьмем стержень с прямоугольным поперечным сечением, чтобы можно было воспользоваться формулами (76.1). Пусть вдоль стержня действуег постоянное натяжение Т„. Поперечные напряжения Т„и Т, найдутся из условия неизменности размеров стержня в направлениях координатных осей У и 2. Полагая в формулах (76.1) Лу = Лг =- О, получим Т вЂ” р(7;+7',)=6, Т» — р(Т„+7'„)=(). 394 (гл.
х МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ Отсюда т„= т,= — т„, У (77. 7) (77.8) Введем обозначение Е'=Е ' — р =Е— ! — р — 2не (!+р) (! — 2И) (77.9) или (77. 1О) Тогда ух х Е'' (77. 11) Это соотношение аналогично соотношениям (75.7). Постоянная Е' называется модулем одностороннего растяжения. ЗАДАЧА $ 78. Сдвиг 1.
Возьмем куб из однородного и изотропного вещества. Приложим к Рис. 202. противоположным граням его АО и ВС равные и противоположно направленные касательные силы (рис. 203, а). Они образуют пару сил, под действием которой куб начнет вращаться. Для устранения вращения приложим такие же касательные силы к граням АВ и СВ. Тогда куб вращаться не будет, а будет только деформироваться. Необходимость приложения касательных напряжений к граням АВ и С() непосредственно следует также из симметрии тензора упругих напряжений (см. 9 74).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
