1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 95
Текст из файла (страница 95)
197). Так как тело ! деформировано, то оно действует на тело П с некоторой силой. По той же причине тело П действует на тело 1 с такой же, но противоположно направленной силой. Однако для определения возникающих деформаций недостаточно знать суммарные силы, действующие в сечении АВ. Надо еще указать, как эти силы распределены по этому сечению. Возьмем на поверхности АВ бесконечно малую площадку с)5.
Пусть с!Гт — сила, с которой на этой площадке тело П действует на тело !. Сила, отнесенная к единице площади, т. с. „, назыое !1, вается напряжением, действующим в соответ- л ствующей точке на границе АВ тела !. Напря- д жение, действующее в той же точке на границе тела П, будет таким же, по его направление противоположно.
А 2. Ориентацию площадки с!В можно задать, указав направление нормали к ней, Условимся эту нормаль проводить наружу от поверхности тела, на которое действует сила аР. Обозначим и единичный вектор такой нормали, а а, — соответствующее напряжение. Тогда а „будет означать напряжение на поверхности АВ тела П, с которым граничит тело !. В силу равенства действия и противодействия а„= — а „.
Вектор а, можно разложить на составляющую вдоль нормали и и составляющую, лежащую в касательной плоскости к площадке с)5. Первая составляющая называется нормальным, а вторая — тангенциальным напряжениями, действующими на площадке с)В. Как и всякий вектор, напряжение а„можно характеризовать тремя составляющими его вдоль координатных осей Х, Г', 2 прямоугольной системы координат. Эти составляющие будем обозначать соответственно о„„, о„„, о„,. Первый индекс указывает направление внешней нормали к поверхности тела, па которой лежит площадка с!5, а второй— направление оси, на которую проектируется напряжение а„.
В частности, и, означает напряжение на площадке, внешняя нормаль к которой параллельна положительному направлению оси Х. Величины а,, о„.а, о,. означают проекции вектора а,. на координатные оси. 3. Для того чтобы определить напряжение в среде на произвольно ориентированной площадке в какой-либо точке ее, достаточно МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ !ГЛ. Х 5. 5п 51 5пв 5 5п Учтем далее, что о „= — — о„о „=- — о„, о, = — о,. Тогда в результате предельного перехода получится о„=о,п +о,п„+о,п,.
(74.!) Так как координатные осн Х, У, 2 можно выбрать произвольно, то это соотношение и доказывает теорему. Таким образом, напряжение в каждой точке упруго деформированного тела можно харакпмривовать тремя векторами о„, о„, о, или девятью их проекциями о.». о„, о»„ о„», о»,, о„», о»». о», о», (74.2) задать напряжение на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через эту точку. Это справедливо как для покоящейся среды, так и для среды, движущейся с произвольным ускорением.
Для доказательства поместим начало координат в рассматриваемую точку среды и выделим из нее бесконечно малый элемент объема ОАВС, ограниченный координатными плоскостями и пересекающей их плоскостью АВС (рис. 198). Пусть и — внешняя нормаль к плоскости треугольника АВС. Тогда сила, действующая на грани АВС на выделенный элемент со стороны окружающей среды, будет о„5, где 5 — площадь этой грани.
Аналогично, силы, действующие на трех боковых гранях, будут о 5„, о »5„, о,5„где 5„5„5,— площади этих граней. Помимо этих сил на выделенный элемент могут действовать массовые илн объемные силы, например, сила тяжести. Обозначим равнодействующую таких сил посредством 7". Сила 7" пропорциональна объему выделенного элемента. Если масса элемента т, а ускорение а, то та=у»+о„5+о „5„+о „5л+ А + о- »5» Х Выполним в этом соотношении преРис. 198. дельный переход, стягивая элемент ОАВС в точку.
При таком предельном переходе члены та и 7' можно отбросить. Они пропорциональны объему элемента ОАВС и, следовательно, являются бесконечно малыми выело порядка по сравнению с остальными членами, пропорциональными поверхности элемента. Как известно из геометрии, проекции площади 5 на координатные плоскости выражаются соотношениями УПРУГИЕ НАПРЯЖЕНИЯ 4 74! Совокупность этих девяти величин называется тензором упругих напряжении.
Вообще говоря, эти величины меняются от точки к точке среды, т. е. являются функциями координат. Только в статике в отсутствие массовых сил тензор упругих напряжений остается одним и тем же во всех точках среды. 4. Тензор упругих налрлжений является симмеп4ричным тензором, т. е. (74.3) о;,=ор (4, )'=х, У, г). Для доказательства рассмотрим элементарный параллелепипед вещества со сторонами йх, йу, йг (рис. 199). Момент сил М. относительно оси 2, действующии на этот параллелепипед, равен М, =(о,„йуйг) йх — (о, йхс1г) йу= = (о,„— о„„) Л'„ где Л' — объем рассматриваемого элементарного параллелепипеда.
По уран- г нению моментов О (..„— „.) йР=7,— '", т Рис. 199. где 7, и ь4, — момент инерции и угловая скорость относительно оси с. Но момент инерции 1, пропорционален произведению массы на квадрат линейных размеров рассматриваемого параллелепипеда, т. е. является бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем объем параллелепипеда йК Поэтому при стягивании параллелепипеда в точку правая часть 1, †„ будет быстрее обращаться й444 в нуль, чем левая. В пределе мы получим о„„= о„„. Аналогично доказываются и остальные два соотношения: о„, = о,„и о, =о,. 5. Можно доказать, что координатную систему Х, У, л мозкно выбрать так, чтобы в этой сиапеме обратить в нуль все недиагональные элементы тензора упругих налрлзсений, т. е. о„= 0 при 4' ~ 7'. Не останавливаясь на доказательстве, заметим только, что это можно сделать потому, что тензор упругих напряжений оу является симметричным.
Таким образом, в этой системе координат упругие напряжения в каждой точке тела характеризуются только тремя величинами о„„, оз„и о„. В целях краткости их можно обозначать с помощью одного индекса, т. е. о„о, и о,. Соответствующие координатные оси называют главными осями тензора упругих напряжений. 384 мехлникА упРуГих тел 2 75. Растяжение и сжатие стержней ~ГЛ, Х а) 6) где 5 — площадь поперечного сечения стержня. Если ясе стержень сжат, то напряжение называется давлением и численно определяется той же формулой (75.2) Давление можно рассматривать как отрицательное натяжение и наоборот, т. е. Р = — Т.
(75.3) Это замечание освобождает нас от необкодимости рассматривать отдельно растяжение и сжатие. 2. Пусть 1„— длина недеформнрованпого стержня. После приложения силы Р его длина получает приращение Л1 и делается равной 1 =- 1, + И. Отношение а=в ЗГ (75.4) 0 1.
Возьмем однородный стержень н приложнм к его основаниям растягивающие нли сжимающие силы Р (рис. 200, а и б). Стержень будет деформирован, т. е. растянут или сжат. Мысленно проведем произвольное сечение С, перпендикулярное к оси стержня. Для равновесия стержня АС необходимо, чтобы на его нижнее основание С действовала сила Е, == Р. Это есть сила, с которой нижняя часть стержня ВС тянет верхнюю нли давит на нее. Такая сила возникает потому, что нижняя часть стержня дехрормирована. Верхняя часть стержня также деформирована и действует на нижнюю с силой, равной Е, н противоположно направленр ной.
Такие силы действуют в любом попе- речном сечении растянутого или сжатого А д стержня. Таким образом, деформация стержня связана с возникновением упругих сил, с которыми каждая часть стержня действует на другую, с которой она граничит. Силу, отнесенную к единице площади поперечного сечения стержня, мы назвали напря,с~ А: жением. В рассматриваемом случае напряжение перпендикулярно к поперечному сечению стержня. Если стерясень растя- Ю а нут, то зто напряжение называется на- Р 'с тязкением и определяется выражением т = -Р—, (?5.1) РАСТЯЖЕНИЯ И СЖАТИЯ СТЕРЖНЕЙ % си называется относительным удлинением стержня.
В случае растягивающих сил оно положительно, в случае сжимающих сил — отрицательно. Относительное удлинение, взятое с противоположным знаком, называется относительным сжавшем. Таким образом, по определвнию относительным сжатием называется величина — (М)Ль. Она положительна в случае сжимающих сил и отрицательна — в случае растягнвающих.
Опыт показывает, что для не слишком больших упругих деформаций натяжение Т (или давление Р) пропорцион льна относительному удлинению (или относительному сжатию) Л! Л! Т=Š— или Р= — Š—, !о !о (75.5) Т = Ее + А е'+ Ве'+..., причем коэффициенты Е, А, В, ... являются постоянными, зависящими только от материала стержня и его физического состояния. Если относительное удлинение е мало, то высшими степенями е можно пренебречь. Тогда мы придем к закону Гука (75.5). При этом мы Ав' делаем относительную ошибку порядка — е. Зти общие сообраЕь жения показывают, что закон Тука и основанные на нем расчеты верны с относительной ошибкой порядка в. Поэтому во всех таких где Š— постоянная, зависящая только от материала стержня и его физического состояния. Она называется модулем Юнга (1773— 1829).
Формулы (75.5) выражают закон Гука (1635 — 1703) для деформаций растяжения и сжатия стержней. Зто — приближенный закон. Для больших деформаций он может не оправдываться. Деформации, для которых приближенно выполняется закон Гука, называются малыми деформациями. Если в формуле (75.3) положить й( = 1„, то получится Т = — Е.
Поэтому модуль Юнга часто определяют как натяжение, которое надо приложить к стержню, чтобы его длина удвоилась, если бы при такой деформации закон Гука оставался еще верным. Недостаток этого определения состоит в том, что при таких больших деформациях закон Гука почти для всех тел становится недействительным: тело либо разрушается, либо нарушается пропорциональность между деформацией и приложенным напряжением. 3. Более общим, чем закон Гука, является утверждение, что в случае упругих деформаций натяжение Т является однозначной функцией относительного удлинения е: Т = — Т (е).
Зта функция должна обращаться в нуль при е = О, так как с исчезновением деформации е исчезает и напряжение Т. Поэтому в разложении функции Т (е) в ряд по степеням е должен отсутствовать нулевой член. Зто разложение должно иметь вид МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ 1ГЛ. Х расчетах мы не только можем, но и должны отбросить слагаемые, которые по сравнению с основными членами являются величинами порядка е, во и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
