1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 96
Текст из файла (страница 96)
д. Например, относительное удлинение е можно определить не только выражением (75А), но и выражением (Л))!!. Дело в том, что разность этих двух выражений (1 — 1о) Д1 (Д1)о о 1о 1 1 1о 1 1о второго порядка малости по е, а потому ею следует пренебречь. Таким образом, закон Гука (75.5) можно также представить в виде Т=Š—, Р= — Š—, (75.6) или д1 т д1 1 Е' 1 Е' (75. 7) Это замечание, касающееся точности вычислений, разумеется, относится не только к деформациям растяжения и сжатия, но и ко всем малым деформациям, о которых будет идти речь ниже.
4. Пусть в стержне создано натяжение Т,. Оно вызовет относи- тельное удлинение — = —, и длина стержня сделается равной л,1 т, 1о ), = 1, + Л,1. Свойства материалов при деформациях, вообще говоря, изменяются. Поэтому можно было бы ожидать, что изменится и модуль Юнга. Однако если деформации малы (а только для таких деформаций и имеет смысл говорить о модуле Юнга), то с такими изменениями мои'но не считаться. Действительно, обозначим Е, модуль Юнга деформированного стержня. Если к деформированному стержню приложить дополнительное натяжение Т„то его длина получит дополнительное приращение Ьо), причем — — = —.
Принил,1 т, Е,' мая во внимание точность, с которой справедлив закон Гука, можно считать, что — = —. Имея еще в виду, что полное удлинение Л,1 Д,1 11 1а равно Л1 =Ь,(+Ло1, получим л1 т, + т, Е +Е ' Но Д1 не обязательно разлагать на составные части Л,( и Лой Эту величину можно рассматривать как единое удлинение под действием результирующего натяжения Т = Т, + Т,. Поступая так, можно написать на основании закона Гука л1 т т, „ т, $753 РАСТЯЖЕНИЯ И СЖАТИЯ СТЕРЖНЕЙ Сраввивая с предыдущим выражением, получим Е = Е„что и требовалось доказать. Приведенное рассуждение справедливо не только для деформаций растяжения и сжатия, но и для любых малых деформаций. Если деформации малы, то упругие посто нные тел не изменяются при деформациях.
Отсюда следует, что если на тело дейапвует несколько сил, то для вычисления результирующей деформации можно вычислить скача и деформации, вызываемые каждой силой в отдельности (как если бы остальных сил не было вовсе), а затем полученные деформации сложить. Это важное положение называется принципом суперпозиции малых деформаций. 6. Для того чтобы деформировать тело, над ним надо совершить работу. В свою очередь деформированное тело само может совершать работу.
Оно обладает запасом потенциальной энергии. Эта энергия называется упругой. Она равна работе сил, затраченной на деформацию тела, при том существенном условии, что вся эта работа тратится только на приращение упругой энергии тела и не расходуется на увеличение кинетической энергии. Для того чтобы кинетическая энергия при деформации не возникала, надо деформацию производить достаточно медленно, постепенно увеличивая внешние силы, чтобы в любой момент времени каждая часть тела практически находилась в состоянии равновесия. Иначе говоря, при деформации внешние силы все время должны уравновешиваться возникающими при этом силами внутренних напряжений. Если это условие выполнено, то говорят, что тело совершает квазистатический процесс.
Возьмем для иллюстрации спиральную пружину, которая может служить моделью деформируемого тела. Повесим ее за верхний конец. К нижнему концу подвесим груз, удерживая его рукой, чтобы пружина не растягивалась. Если груз внезапно отпустить, то возникнут колебания. Работа силы веса груза идет не тольио на растяжение пружины, но расходуется также на увеличение кинетической энергии груза и пружины. Это — процесс не квазистатический. Для вычисления упругой энергии пружины такой процесс не годится. Прнкрепим теперь к нижнему концу пружины легкую чашечку и будем очень медленно нагружать ее песком.
Колебания не возникают, пружина медленно и непрерывно удлиняется по мере увеличения нагрузки. Вся работа силы тяжести идет на увеличение потенциальной энергии деформируемой пружины. Такой процесс является квазистатическим, и им можно воспользоваться для вычисления упругой энергии пружины. 6. После этих замечаний легко вычислить упругую энергию растянутого стержня. Приложим к стержню растягивающую силу ((х) и будем непрерывно и медленно увеличивать ее от начального значения ) = О до конечного значения ) = Е. Прн этом удлинение стержня будет меняться от х = — О до конечного значения х .= а7'. По закону Гука ~ (х) = йх, где в — коэффициент упругости, ното- зав мехАникА упРуГих тел [ГЛ.
Х рый легко выразить через модуль Юнга. Вся работа в рассматриваемом процессе пойдет на приращение упругой энергии (/, а потому ьс Ы (7= ~ ~(х) дх=й ~ хйх=-2-й(Д1)'. (75.8) о Ь Так как в конечном состоянии х = Д[, то Е =- 1 (Д1) = яД1. Учитывая это, получим () = 2-Е Д1. (75.9) Если бы к недеформированпому стержню мы сразу приложили постоянную силу Е, то при удлинении его на Д[ была бы совершена вдвое большая работа А = ЕД1. Так как запас упругой потенциальной энергии в стержне получился бы тем же самым, то ясно, что только половина работы А расходуется на приращение упругой энергии стержня.
Вторая половина этой работы тратится на кинетическую энергию упругих колебаний и волн, которые всегда возбуждаются в стержне при неквазистатическом воздействии на него. При квази- статическом воздействии колебания и волны пе возникают. Вот почему в формулах (75.8) и (75.9) появился численный коэффициент Ч,. Найдем объемную плотность упругой энергии, т. е. упругую энергию и, приходящуюся на единицу объема расп[януп[ого (или сжапюго) апержня. Она найдется делением выражения (75.9) на объем стержня )Г = 88 Это дает (75.10) Если воспользоваться законом Гука, то эту формулу нетрудно привести к виду "= з Еа = йй = йе ' (75.
11) 7. Опыт Показывает, что под действием растягивающей или сжимающей силы Е изменяются не только продольные, но и поперечные размеры стержня. Если сила Š— рас ягивающая, то поперечные раанеры стержня уменьшаются. Если она сжимающая, то они увеличиваются. Пусть а, — толщина стержня до деформации, а — после деформации.
За толщину можно принять для круглого стержня его диаметр, для прямоугольного — одну из сторон его прямоугольного ла основания и т. д. Если сила Е растягивающая, то величина — — = оо Ла — — — называется относшпельным поперечным сжатием стержня и (Да = а — а,). Отношение относительного поперечного сжатия к соответствующему относительному продольному удлинению называется коэффициентом Пуассона (! 781 — ! 840): Ло Л[ Ла )[= а'[ Лр а' (75.12) РАстяжения и сжАтия стеРжней 1 75! Коэффициент Пуассона зависит только от материала тела и является одной из важных постоянных, характеризующих его упругие свойства.
Случай сжимающих снл не обязательно выделять особо, так как сжимающую силу можно рассматривать как растягивающую, взятую с противоположным знаком. Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона р полнощпыо характеризуют упругие свойства изотропного материала. Все прочие упругие постоянные могут бьипь выражены через Е и р.
8. Заметим, наконец, что все модули и коэффициенты упругости, с которыми мы имели и будем иметь дело, следовало бы для точности называть иэотермическими модулями и коэффициенпшми. Они характеризуют деформации тел в предположении, что температура их поддерживается постоянной. Это обычно имеет место в случае статических деформаций.
Но если деформации динамические (например, волны в упругих средах), то они могут происходить настолько быстро, что разности температур, возникшие при деформации, не успевают выравниваться в результате теплообмена. Важнейшим является предельный случай, когда между различно нагретыми частями среды теплообмен совсем не происходит.
Соответствующие процессы, модули и коэффициенты упругости называются адиабатическими. Соотношения между изотермическими и адиабатическими модулями упругости будут рассмотрены в т. 11. ЗАДА Ч И 1. Найти относительное удлинение вертикально подвешенного стержня под действием собственного веса Р. Площадь поперечного сечения стержня равна 5. 1 — 1„Р О т в е т. — о =- —. 1о 25Е ' 2. Упругий стержень массы т, длины 1 и площади поперечного сечения 5 движется в продольном направлении с ускорением и (одинаковым для всех точек стержня). Найти упругую энергию де4юрмацин, возникающую вследствие уско- ренного движения, глоаз1 Ответ. (7 = —. 6Е5 ' 3.
Какой максимальной кинетической энергией может обладать маховик, объем которого )7 = ! и'", если прочность материала на разрыв Т =- 1О'о динусмо. Всю массу маховика считать сосредоточенной в его ободе (тонком по сравнению с радиусом маховика). Показать, что при неизменной прочности материала махо- вика максимальная кинетическая энергия зависит только от обьема, но не от массы маховика. ! О т в е т. К = — ТУ = 5 10' Дж. 2 4. Тонкий стержень длины 21 равномерно вращается вокруг перпендикуляр- ной к нему оси, проходящей через центр стержня, с угловой скоростью го.
Пока- зюь, что натяжение Т, возникающее в стержне прн таком вращении, удовлетво- ряет уравнению аТ вЂ” = — рюо» о» мехАникА упругих тел !ГЛ. Х где р — плотность материала стержня, а х — расстояние от оси вращения. Интегрируя это уравнение, найти распределение натяжения в стержне.
В каком месте стержня натяжение максимально и чему оно равно? Показать, что мансимальная кинетическая энергия, которую можно сообщить стержню при неизменной прочности его материала, зависит только от объема стержня У, но не от его массы. Вычислить максимальную кинетическую энергию для У = 3 10' смв, если мансимальное натяжение, которое может выдержать стержень, равно Тм,„, = = !0вв дик/смв. 1 О т в е т. Т=.
— ревв (Н вЂ” х'). Натяжение максимально в центре и равно 2 Тмввс = ?в рю ! ° ! ?»мввс = УТмвмс =10 Дж. 3 !Ср. с задачей 3 к й 19.) б. Стержень поперечного сечения 5 растягивается силой Р, параллельной его оси. Под каким углом а к оси наклонено сечение, в котором тангеициальное напряжение т максимально. Найти это напряжение. Р Ответ. им 45', я=- —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
