1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 113
Текст из файла (страница 113)
7. Найти распределение давления внутри земного шара, считая его состоящим из однородной несжимаемой жидкости и пренебрегая осевым вращением Земли. Вычислить в том же приближении давление в центре Земли Р, (см. задачу 5 к 4 55). О т в е т. Р=- — Яз — г'), Р = — рд)(, г — расстояние от центра Земан, рй 2)Г 2 )1 — радиус Земли Если бы земной шар состоял из несжимаемой воды, то было бы 1 Р = - — )с (Р— в атмосферах, )7 — в метрах). С учетом плотности Земли 20 (р = 5,5) Рц — — 0,275(с — 1,?5 !О" атм.
гилРОстАтикА несжимАемОЙ жилкОсти 455 4 зз] 8. Оценить сплюснутость Земли, обусловленную ее осевым вращением, счн. тая Землю однородным несжимаемым жидким шаром. Р е ш е н и е. Так как фигура Земли мало отличается от шаровой, то ускорение силы тяжести внутри земного шара можно считать направленным к центру Земли и пропорциональным расстоянию до ее центра (см, задачу 5 к 4 55).
В этом приближении с учетом центробежной силы уравнения гидростатиии (90.6) принимают вид где й, — радиус Земли, ы — угловая скорость ее вращения. Начало координат мы поместили в центре Земли, а ось 2 направили вдоль осн ее вращения. Интегрируя зги уравнения, получим — — ---~ ( +уз) — — г'+С, й) рв 2( йо! 2йо где С вЂ” постоянная интегрирования, определяющаяся значением давления Р иа земной поверхности (его можно считать равным нулю, так как атмосферное давление пренебрежимо мало).
Сплюснутость Земли определится из требования постоянства давления на земной поверхности Выбрав сначата точку на экваторе, а затем на полюсе, пишем Р (йо, О, 0) = Р (О, О, й„), где й, и й„— экваториальный и полярный радиусы Землй. С учетом явного вида Р отсюда получаем ыг .й.')й» вЂ” й йо йог йо и далее йойо Ййо п Следовательно, для сплюснутости е земного шара получается йо й» ыгйо в= йо 2л 580 Действительное сжатие Земли заметно больше, а именна г(гог. Расхождение объясняется грубостью модели, положенной в основу рассуждений, а также несовершенством метода расчета. При строгой постановке задачи надо учитывать, что поле тяготения сплюснутого шара не является центральным *). Тем самым задача сильно усложняется, так как гравитационное поле уже неизвестно заранее, а само зависит от неизвестной формы поверхности Земли.
Подробное исследование показывает, что задача, сформулированная таким образом, не имеет однозначного решения. Возможно несиолько различных форм равновесной поверхности, в том числе и эллипсоид вращения с определенной степенью сжатии. ') С учетом этого обстоятельства расчет дает 5 оогйо 4 л 2Зг' дР— = — рй дх дР дд дР— = — ру дг х — -)- оыгх, йо +р гр г МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ Н ГАЗОВ $ 92. Барометрическая формула [гл, хы 1. Обратимся теперь к гидростотике сжимаемой жидкости.
Наибольший интерес представляет равновесие земной атмосферы. Зтот случай мы и рассмотрим. Дифференциальные уравнения (90.5) и (91.1) были выведены без использования предположения о несжимаемости жидкости, а потому мы воспользуемся имн и здесь. Первые два уравнения системы (91.1) можно не учитывать, так как из них следует лишь, что давление Р может зависеть только от г. Оставшееся третье уравнение можно переписать в виде — = — РЯ.
ВР д2 (92. 1) дР дР так как частная — и полная — „- производные теперь означают дг д2 одно и то же. Но одного уравнения (92.!) Недостаточно, поскольку в него входят две неизвестные функции — давление Р и плотность Р. Нужно дополнительное соотношение между ними. Будем предполагать, что состав атмосферы одни и тот же на всем ее протяжении.
Давление Р, плотность р и температура Т газа в состоянии равновесия связаны уравнением состояния. Если газ не слишком плотный, то таковым является уравнение Клапейрона (1799 — 1864) Р= р, КТ и где р — молекулярный вес газа, а Р— универсальная газовая постоянная. Ее численное значение равно приближенно )с=8,31 10' эрг К ' моль-'=8,31 Дж К-' моль-'. Соотношение (92.2) позволяет исключить из уравнения (92.1) плотность р. В результате получится — = — — Р. дР РЛ д2 нТ (92.3) Понятно, что таким путем мы еше не достигли цели, так как вл2есто неизвестной плотности р ввели новую неизвестную величину— температуру Т.
Однако последнюю легче измерить на различных высотах. Если Т известна как функция г, то уравнение (92.3) уже можно будет проинтегрировать. Следовательно, задача определения давления на различных высотах становится вполне определенной, если задать закон изменения температуры Т с высотой. 2. Если отсутствуют ветры и воздушные течения, т. е. атмосфера неподвижна, то говорят, что она находится в механическом равновесии. Такое состояние не является еще состоянием полного равновесия.
Для последнего, кроме того, необходимо, чтобы атмосфера находилась также и в тепловом равновесии. Тепловое равновесие означает, что температура 7 одна и та же на протяжении всей 457 БАРОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА 6 92» атмосферы. Если это имеет место, то атмосферу называют изотермической. Конечно, изотермическая атмосфера — это идеализация. Но рассмотрение этого идеализированного случая тем не менее представляет большой интерес.
При Т = сопз( уравнение (92.3) легко интегрируется. Для этого переписываем его в виде аР иа — = — — йе Р ГсТ и после интегрирования находим или РЕ» р р лг (92.4) По тому же закону меняется и плотность воздуха, а именно на» лг. (92.5) Соотношения (92.4) и (92.5) называются барометрическими формулами. Постоянные интегрирования Р, и р, имеют смысл давления и плотности воздуха на поверхности Земли. Давление и плотность воздуха убывают с высотой по экспоненциальному закону.
При поднятии на высоту 8=в (92.6) И' они убывают в е раз. Величина 6 называется высотой однородной атмосферы. Смысл этого названия станет ясным, если поставить следующий вопрос. Какую высоту Н должна была бы иметь воображаемая атмосфера постоянной плотности р„чтобы она производила на поверхность Земли такое же давление Р, как и действительная атмосфера? Очевидно, искомая величина определится из условия Р, = р»дН. Но из уравнения состояния (92.2), если его применить к слою воздуха, прилегающему к поверхности Земли, следует Р,= — р„. Используя это соотношение, получаем Н = г»т йт = —, т.
е. Н = Ь. Считая средний молекулярный вес воздуха Ре ' равным р = 28,8, находим для высоты однородной атмосферы при нуле градусов Цельсия (Т = 2?3 К): 6= 2 = 8000 м=8 км. 8,31 2?3 28,8 . 9,8 Подставляя Ь в барометрическую формулу (92.4), можно переписать ее в виде Р=Р»е- ~А. (92.7) В таком виде формула удобна для определения разностей высот двух или нескольких точек земной атмосферы.
Для этого нужно МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 1ГЛ. х11 знать давление воздуха в этих точках, а также температуру. Последняя в пределах рассматриваемых высот, разумеется, должна быть одной и той же. 3. Сделаем в заключение одно замечание относительно устойчивости механического равновесия атмосферы. Мы не будем вводить ограничения, что температура одна и та же на всех высотах, а будем предполагать, что она может меняться с высотой как угодно. Если нарушено состояние механического равновесия, в результате которого некоторая масса воздуха немного поднялась вверх, то в новом положении она будет подвергаться меньшему внешнему давлению.
В результате поднявшаяся масса воздуха расширится, а ее плотность уменьшится, так как вследствие малой теплопроводности воздуха во время поднятия рассматриваемая масса практически не будет получать и отдавать тепло. Если окажется, что в новом положении плотность поднявшейся массы больше плотности окружающего воздуха, то эта масса, как более тяжелая, опустится вниз, и равновесие восстановится.
Если же ее плотность окажется меньше плотности окружающего воздуха, то она будет подниматься еще выше, и механическое равновесие окажется неустойчивым. Аналогичные соображения справедливы и для случая, когда нарушение механического равновесия совершается путем небольшого опускания какой-либо массы воздуха. В этом случае опустившаяся масса сжимается внешним давлением. Если в новом положении ее плотность меньше плотности окружающего воздуха, то она начнет подниматься, и равновесие восстановится. Наоборот, если эта плотность окажется больше, то рассматриваемая масса начнет опускаться еще ниже, т. е. равновесие окажется неустойчивым. Эти рассуждения, разумеется, применимы не только к атмосфере, но и к любой неравномерно нагретой сжимаемой жидкости, находящейся в механическом равновесии в поле тяжести.
Что касается земной атмосферы, то исследования показали, что изотермическая атмосфера в рассматриваемом смысле устойчива. Еще большая устойчивость получается, когда температура воздуха возрастает с высотой. Если же температура убывает с высотой, то механическое равновесие воздуха возможно лишь тогда, когда это убывание происходит не слишком быстро. При убывании температуры с высотой более чем на один градус на каждые 100 метров высоты атмосфера теряет механическую устойчивость.
Появляются восходящие и нисходящие потоки воздуха (конвекция). Во втором томе эти вопросы будут рассмотрены более подробно. ЗАДАЧА На какую высоту Н, надо подняться, чтобы давление (иаотермической) Ч» атмосферы уменьшилось в 2 равау Ответ. И, =-Л!п2смо,оз км (при О'С).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
