1611143573-8e94d034ccd828efcd3c13ed070577fb (825037), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Линейная же скорость элементов сплошного кольна, наоборот, прямо пропорциональна их расстоянию от центрального тела. д г г 0 я Рис. 239. 515. Р е ш е н и е. Пусть центр масс тел А и В находится в точке О (рнс. 239), Неизменное расстояние между телами А н В будет сохраняться только при вращении нх с угловой скоростью ы = — — йг " вокруг точки О. Условия равновесия тел С и О во вращающейся (связанвой с телами А и В) системе координат запишутся так: Мс( — а шз()( — а — г)+ — ) +рс=б, 6МА ОМв ) (д — г)з ") 6МА ОМв) Мв( — +юз Я вЂ” а+г) — — г+гв=б, (В+ г) .з где положительное направление выбрано от А к В, Вс и Вгг- искомые силы, 6 — постоянная тяготения. Исключая гз, принимая во внимание соотношение аюз=ОМвЖз и пренебрегая членами высших порядков относительно гЯ, получаем окончательно: Гс=ОМс( — —,, + з (3МА+Мв)) ° Мв (Мв г ВО= ОМΠ— — — (3МА+ Мв) ~, ,з )зв т.
е. при Мс — — Мв обе силы меньше силы притяжения этих масс телом В на одинаковую величину. 515. Р е ш е и и е. В задаче 515 можно рассматрнватьА как центр Солнца и Мл как его массу,  — как центр Земли и Мв — как ее массу, С и Π— как два положения одного н того же тела массы Мс=МВ на 241 поверхности Земли (С вЂ” днем,(7 — ночью) (см. рис.
239). Из решения втой задачи следует, что все тела будут в полночь и в полдень весить немного меньше, чем утром и вечером, Но эта разница в весе, как легко видеть, гораздо меньше, чем сила притяжения Солнца, так как сила притяжения Солнца ОМОМА//«»умножается на очень малую величину Зг//7. (/Аассой Земли Мл по сравнению с ЗМА, где Мл — масса Солнца, прн оценке изменений веса, конечно, можно пренебречь.) 517. Схему задачи 5!5 можно применить к объяснению происхождения приливов, вызываемых Луной. Луна А и Земля В вращаются вокруг общего центра масс О (см.
рис. 239). В точках С и /7 на поверхности Земли, где вода «весит» меньше, чем во всех других точках, образуются водяные «горбы». Лля расчета прнливообразующей силы подставим вместо Мл и Мп соответственно массы Луны н Земли. Тогда из формул, полученных в задаче 515 (так как массой Луны по сравнению с массой Земли можно пренебречь), найдем приближенно вес тела массы М в ближайшей к Луне н в наиболее удаленной от нее точках земной поверхности Мй = Мйо ~! — 3 ( — ') где д« вЂ” ускорение, сообщаемое Землей, г — радиус Земли,  — расстояние от центра Земли до центра Луны.
б18. Точна, в которой 2=0, делит отрезок прямой линии между центрами этих планет в отношении 9: ! и, следовательно, лежит на расстоянии ж36,7 1Оз км ог поверхности Луны. 519. А»з6,!2.10«кгс м. Р е ш е н н е. Минимальная работа по перемещению массы гл с Земли на Луну может быть записана следующим образом: А гл/«экэ— — т/7лдл, где /(з и /7л — радиусы Земли и Луны, дэ и йл, соответственно, ускорения свободного падения на поверхности этих планет, вызванные силами тяготения самих планет (см. решение задачи 473). 5 9, Упругие деформации 520. р=2450 кгс/смз. 521.
Нет. Ллина цилиндра, который не выдержит собственного веса, равна 1=р/рй, где р — напряжение разрыва, а р — плотность материала; 1=175 м. 522. р/ Ег» (/г — /»); рз«н ж +!000 кгс/см» (растяжение) и ра„= — 375 кгс/см' (сжатие). 523. !7=27 мм. ! — 2р 524. 5У = — 1Р, где Š— ьюдуль Юнга, )« — коэффициент Е Пуассона. ЬУ ( 0 прн сжатии, /«У > 0 прн растяжении. 525. Я = — пзр 11,7 !Оз кгс. 3 3 2 апряженне и Ее дл Е сова ' каждого троса, Š— модуль Юнга матеРиала. ПозтомУ от=из=о,созга 633.
Силы натшкепня среднего троса Р,, бокового гроса Р;. Р соз'а 1+2 соз" а' 61;' '616 Рис. 240. Р Р,= 1+2 сааза Э а и е ч а н и е. Полезно рассмотреть случай, когда сечение среднего троса в два раза меньше, чем крайних. 626. Ы рйР/2Е, где р — плотность вещества стержня, 1 — его 1 — 2И длина, Š— модуль Юнга; объем увеличивается иа Л)г= — Уерй 25Е где Ре — первоначальный объем, р — коэффициент Пуассона, 5 — поперечное сечение, 627. а=46', т4 Р/25. 628. (/= Рзй/(655). Упругая энергия увеличится в 7 раз. 629.
Р е ш е н и е. В силу симметрии касательное напргжение т, действующее в оболочке, одно я то же и одинаково во всех направлениях. Возьмем малый элемент оболочки, имеющий форму прямоугольника. При вычислении относительного изменения площади этого элемента под действием касательных напряжений т можно отвлечься от кривизны элемента, приняв его за плоскую прямоугольную пластинку. Тогда вычн. слепне дает /г5/5=2(! — Р)т/Е (изменением плошади, вызванным нор.
мальным давлением, пренебрегаем). Поскольку площадь 5 пропорционзльна !ж', относительное изменение объема будет Ь)г/)/=-з/т 35/5. Так кзк поверхность искривлена, то натяжение т создаст разность нор. мальных давлений. /(ля иее нетрудно получить 2то//7 (см. формулу Ла. пласа в учении о поверхностном натяжении). Зта разность должна быть уравновешена разностью давлений газа ЬР по разные стороны оболочки. В результате получим — — пР га б ° 10-'.
йу 3 (! — Р)/7 'т' 2 Ег( йд РР Лз 630. Р„= РР, = — (! + р), — = — —, (1 — Р') у Е ' з Е .= '(1 — „). 2 2Е 631. Л1г=2/Г!з=, 1'г= /, '/, /', /'т= 44 й +4й, ' ' й„+46, ' ' й,+4йг 632. Лаформацни (удлинения) тросов показаны на рис. 240 в увеличенном виде, Если длина среднего троса Е, то относительные удлипения верного н третьего тросов в,=е,= — соз а, второго е,=-— 1= 3= Л/, РР— я 1 г 6 634. Силы натяжения: Р, = — па+из р Зит+па Р 5 Р 2 а,+4аз+аа' ' 2 аг4-4гг 4 сг ' Ра= —, где а~=1/3» па=)/Зз аз=1/Зз.
Все тяги 2пз — пч 2 а,+4из-)-а ' растянуты прн 3, > 3„/2. Р е ш е н н е. Если удлинение первой тяги Л«» а третьей — д«а, то можно составить следукнцие уравнения: Рт= АЗ,5«» Рэ=АЗз —, Ра=АЗ,йхз, 5«г+ Л«а 2 где А — определенная постоянная величина. Добавим еще два уравнения: Р,+Р,+Р; — Р— уравнение равновесия сил нР,=Р,+3Р,— следствие уравнения моментов. Решая эти пять уравнений, найдем ответ. 636.
Р=125 кгс, Х=б мм. У к а з а н и е. 1) Если максимальное напряжение в поперечном сечении стержня у места заделки будет равно о, то распределение нор- 2п мальных напряжений в этом сечении опмсывается выражением — з, а где а — высота поперечного сечения и з — расстояние от середины сечения. Тогда равенство мо. ментов внешних сил Р1 и внутренних снл в сечении заделки можно записать так: а/2 4оь Г оЬа' Р!= — ~ зала= —, и 3 5 а Рис. 241, где Ь вЂ” ширина сечения стержня. 2) Кривая прогибов коисольно закрепленного стержня д(х) (рис.
241) определяется дифференциальным уравнением ") Р (1 — «)= Е/ дзр/Л«з, где Р(! — «) — момент внешних снл относительно сечения балки, имеющего координату «, ! — момент инерции площади поперечного сечения стержня относительно горизонтальной оси, проходящей через центр масс сечения.
Для прямоугольника высотой а и шириной Ь /=азЬ/!2, Уравнение, определяющее прогибы, можно диа раза проиитегрироватгь в учесть, что р(0)= — (О) = О, пр и« г) См., например, С. П. Серел«оа, Механнка, «Наука», 1975, 588, 89. 244 Тогда к с!у Р с" Р / хэт — = — ) (! — $) с(6=- — ~ 1х— сгх е! 6 Е1 ~ о к Е1,) ~ 2 ) 2Е1 ~ 3 ) ' 0 отсюда л=уЯ=РР!(3Е1); подставляя значение /, получаем для стрелы прогиба 6=4РР1(оэЬЕ)=5 мм. 636. 'л= РР1 (46Е1). У к а з а н и е. Стрелу прогиба можно подсчмтать по формуле, указанной в ответе предыдушей задачи, если учесть, что поперечное сеченое в середине балки не Рг повернулось при деформации.
Поэтому прогиб будет 6! такой же, наи н прогиб кон- а сольно закрепленной половины балки под действием реакции опоры монца балки, равной Р12. Р 637. Р е ш е и и е. Пусть Рнс. 242. смешение конца стержня 66 Под действием силы Р, средней пружины стермсень выгнется вверх и стрела прогиба будет 6.
Тогда стержень будет находиться в равновесви под действием сил, показанных на рис. 242, где Р, = й»51, Рк = 1 61 = йэ ~ —,— 6) . Считая 6! очень малым, можно определить 6 по ~ 2 (Р Р,) 1» формуле, указанной в ответе предыдущей задачи, или 6= ! Условие равенства моментов сил: Р,— +Р,г=р(.
Из этих уравнений находим 4+2и Р 4-6()+2а 1»т ' й Р ( жесткость средней пружины где а— ) ий4 61й. 24Е1 с,чмсесткость» половины стержня на изгиб) Исключая 61 и 6, получим ответ: 4+2а 2() 61 2 Р 4+6+2а ' э 44-6+2и 2 4+()+2а 1»»' Проверьте случай абсолютно жесткого стержня (а О) и случай идеального гибного стержня (и= со). 638. л=рр!(2ау»Е))см0,03 мм (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
