1611143573-8e94d034ccd828efcd3c13ed070577fb (825037), страница 41
Текст из файла (страница 41)
При г=50 см и рабочей скорости 1 об/с (й=2п рад/с) получаем х/атй'гютй=Р. Следовательно, Еа„шйР. Заметим, что полныи момент импульса Е не направлен вдоль оси фигуры бегуна, так как имеется еще момент, возникаюпр«й из-за вращения вокруг вертикальной оси. Однако последний момент остается неизменным при вращении катка, а потому при решении задачи его можно не принимать во внимание.
Зпезг 3 шзгз 429. Т вЂ” 1па, /с= — — 1йа. д ' 2 д 430. Р е шеи и е, Разделим мысленно кольцо на беснонечно малые элементы — материальные точки с массами от. Рассмотрим движение одной нз таких материальных точек. Так как рь „=[юг], то по теореме Корнолнса действующая на точку сила дУ= — Йп шзг+ Йи [() [1)гЦ+ от [И [шгЦ. Ято выражение меняет знак при изменении знака г, а потому при интегрировании по всему кольцу дает нуль.
Отсюда следует, что результирующая сила, действующая на кольцо, должна равняться нулю. Для вычисления момента пМ силы од введем прямоугольную систему координат с ортами /,,/, й, направив ось Х вдоль ш, а ось У вЂ” вдоль (). После простых вычислений получим уМ = 2 [() го] уз Ыт+ 1) (2а)[ — й/) уз, При интегрировании по всему кольцу последнее слагаемоедает нуль, а потому М=2 [/)ю) /з=[()м] /к где /з и /„— моменты инерции кольца относительно осей 2 и Х соответственно. Таким образом, искомый момент М дол>лен быть перпендикулярен как к ю, так и к Г/. Результат верен и в том случае, когда векторы ю и Й не взаимно перпендикулярны, 431.
Согласно закону динамики, г///г(/=М, где Š— вектор момента количества дважения, а М вЂ” момент силы, действующей на тело. В рассматриваемом случае лшмент силы, действующей на планету (рассчитанный относительно Солнца), М= [гг], где г — радиус- вектор планеты, а Р— сила тяготения, действующая со стороны Солнца па планету. Так как векторы г и г" направлены по одной прямой, то М=О и, следовательно, /.= сопл(. Это утверждение справедднво для всех движений под действием центральных сил, 432, Р е ш е н и е.
Для доказательства можно воспользоваться следующими соотношениями: / = [г (ти)) = [тг [шгЦ = ~тг ~ — „г~ ~, Г Иа где ш =г/а/и/ — угловая снорость планеты, а а — угол понорота ее радиуса-вектора. Учитывая, что ~тг ~ д г1 ~= — — 2т — =2тп, патучаем искомое равенство. В самом деле, по правилам векторной алгебры, последнее векторное произведение может быть представлено 223 так: [к[юг[[=ага — г(гш)=юг', так как г [ ек Но югэй=гэг(м есть удвоенная площадь, описываемая радиус-векторолэ и за время й1. Из ранее доказанного (см. предыдущую задачу) следует, что а =сонэ[. Последнее соотношение представляет содержание второго закона Кеплера.
433. Р еш е н и е. В случае одной материальной точки ь = = [(и †),Р[, где и — радиус-веитор материальной точки относительно неподвижного начала, гэ — радиус-вектор движущейся точки О относительно того же неподвижного начала, р = то — количество движения материальной точки. Дифференцированием по времени получаем б=[(г — гэ)Р[+[(Ф вЂ” вэ)Р[.
ПеРвое слагаемое в пРаной части есть момент М силы Р=р относительно движущегося начала. Слагаемое [яр[ обращается в нуль ввиду иоллинеарнссти векторов в и р. В результате получается д =М+[)эвэ[= М+ и [е не!. Для обобщения полученного результата на случай системы материальных точек напишем последнее соотношение для каждой материальной точки, а затем такие соотношения слоэиим.
Введя при этом скорость движения центра масс системы во=~~э~ т!и!1т, найдем б.=Мл т [вова[, где т, й и М теперь оаначают массу, момент количествз движения и момент внешних снл для всей системы материальных точек. Если скорости пс и вэ коллинеарны, то 1.=М. В частности, это имеет место, когда начало О помещено в центре масс системы. 434. Главная полуось эллипсоида инерции направлена по диагонали, соединяющей противоположные вершины куба, и равна а= — 1,' г' Тэ; две другие полуоси равны между собои: 6=с=а/ Р' й,б, где )э = =э)э тР— момент иверци ~ для любой оси, проходящей через центр масс куба. Р е ш е н и е. Эллипсоид инерции для центра куба — шар радиуса а=1! )Г!э, Для точки А осээ совпадающая с диагональю куба, остается главной с моментом инерции 1э.
Для любой оси, перпендикулярной к диагонали в точке А, момент инерции определяется по теореме Штейнера 1 л = 1э+ ш ( !2) где и'= — Г 3 — диагональ куба. Отсюда следует приведенный выше 2 ответ. М !эта+ !элэ*глэлэ 435. ! = —,+ Р еш е н и е. Главные моменты инерции для центра масс: 1,= — (т'+л'), 1,=' — (!'+л'), 1,= — (! +т')! 12 ' !2 ' !2 направляющие косинусы лля оси вращения относительно системы координат, связанной с главными направлениями и с началом в центре масс. равны сова=(/п', сов()=шЫ, сову=а(с(, где вв=(в+та+па (а — диагональ параллелепипеда), Момент инерции для оси любого направления представляется через главные моменты инерции следующей формулой: 1= 1,соь'а+ 1зсозв()+ 1эсозэу, Подстаковка в эту формулу значений величаи приводит к ланному ответу.
й 8. Тяготение 438. п=4л)76с(/звв974 см/сэ. ( )7 437. и Яо ( — ) оа 975 см/сэ. о,)() й) 438. Н„ж (62 см/сэ. 439. а=4лэ)(в/(7чгв)вв288, где 8 — ускорение свободного паэения на поверхности Земли. 440. Такое жс, как и самой Земле (если пренебречь размерами Земле по сравнению с расстоянием до Солнца), т. е. ускорение а=4лв)7/Тэ ~0,6 си/св, где /7 — радиус земной орбиты, а Т вЂ” период обращения Земли вокруг Солнца. 441. Веса обоих тел одинаковы. 442. Р е ш е н н е.
Веса тел в диаметрально противоположных точках земного шара 1 (день) и 2 (ночь) будут соответственно равны 1т=-Рз Рсы~ г) шы г+жюо ДЬь ь юга"'г зф с( + 8Р йс (рис. 233). Здесь Рз и Рс — силы гравитацион. ного притяжения Земли и Солнца соответственно, )7 — расстояние между их центрами, г — радиус Земли, шв — ускорение центра Земли под действием гравитационного притяжения Солнца.
Очевидно, тш;=Р(И). Вычитая, находим 1'в — Рт — — (Рс(л+г) — Рс 07)1-',- + 1Р, (Н вЂ”.) — Р, (17)1. Разлагая обе разности в квадратных скобках по формуле Тейлора и ограничиваясь квадра- Ночь тичиыми членами по г, получим Р, — Р, = Рис. 283. = гзбвР ~8)7э. Преобразуем это выражение, используя соотношения Рс = 6 34т/Кв=элв)7/Твлг, Р=тй (М вЂ” масса Солнца, Т вЂ” период обращения Земли вокруг Солнца, щ — масса тела). 8 Гьод Нод. И. Л, Имоввввв После несложных преобразований найдем Р,— Р, 24ло го 12лзго Р йТ' /7 з/7 Здесь з=г/ойТ' означает расстояние, которое проходила бы Земля в течение года, если бы она двигалась равноускоренно с ускорением я.
Вычисляя зто расстояние, получим з=5 10'о км и далее (Р,— Р,)/Роч -6,5 !О" го. Р,— Р, Мл 24лог' 443. о г= — —,, оз 8 10-'о, где М и Мл — массы 3 г'з~ Земли и Луны, )7 — расстояние между их центрами, Т вЂ” период обращения Луны вокруг Земли, г — радиус Земли. Таким образом, влияние Луны на разность весов Р,— Р, примерно на два порядка больше, чем Солнца. 444. =Д (1+2аТ/7)=йьт (1+О'0008)' чений периодов Т колебаний маятника в Москве и Ленинграде. 445. Часы шли бы медленнее примерно в 2,5 раза, так как ал /дз = =0,16 (см.
задачу 438). 448. )7 785 10о км. 447. — =( — ) ( — ) =3,3 !Оо. 4лоР Г2'о 448. а ш — ( — ) 275 м/с'. Т' [л) н. -',гао Оь. 450. д = 4ло60зй/Т оа 985 см/со. 451. Решение. Используя приведенные данные, находим: мо. мент инерции Луны относительно оси вращения Земли ! =таз = = 1,08.10о' г см' (моментом инерции Луны относительно ее собственной оси пренебрегаем), угловую скорость вращения Луны по орбите ид— - 2,67 !О-о рад/с, момент количества движения Луны Е = /лыл — — 28,9 !0" г см'/с, полный момент количества движения системы Земля — Луна Е=Е + Е„=34,8 1О'о г смо/с. По закону 3 л сохранения момента количества движения (( +та') м=Е.
По захону Кеплера аоыо=аоом'ч. Из зтих двух уравнений можно получить неизвестные а н м. Пренебрегая моментом инерции /, пишем таою=Е и находим а=аз ао / =1 45ао=5,58 ° !Ого см, тоаоюло 'хЕл/ м/ез = (а 'а) Го=0,573, Т =27,3/0,573=47,7 суг.
452. (Г()7) — тй/7о/)7, где /7о — радиус Земли. Р е ш е н и е. Сила тяготения. действующая на тело, находящееся иа расстоянии г от центра Земли, равна /=-тй/75/гв. Тогда потенциальная энергия на расстоянии /7 будет ав М-)-т М Тв М 4пв' а' 6 Т (М+ га) 4яв -' I Г 7' Х' Мв-'-Мв 455 Я=/(о ~гг ( ~ в 2/7о=З,)Ов нч. 7о Мо 26М 456. г,= ( , — 1 г„о,= — о,. Звезда раси вдается, ),265! — г,о,' / гв если о, =- Р 26М/г,. 455 р, о 5,5 г/смв Зро 2— И вЂ” Юо и йо 456, )(инетическая энергия планеты К=то,/2+с'г(2!) где первый член представляет энергию радиального, а второй — вращательного лвигкения, причем момент импульса планеты Е относительно Солнца со- храняется.
Так как момент инерции планеты относнтелыю Солнца /= =тгв, то уравнение сохранения энергии запишется в виде ю„в, /в Лгш шог + —,— 6 — =Š—.-сопз(, где М вЂ” масса Солнца, а т — масса планеты. При г=со Е=пит/2. Это равенство может выполняться только прв Е)0. При Е(0 он выпол- няться не может. Отсюда следует, что при Е<0 движение будет финит- ным, а прв Е лΠ— инфинитным. 460. Если Е<0, то траектория планеты — эллипс, если Е)0— гвпербола. В промежуточном случае Е=О траектория — парабола.
6* 227 453. К ав/Тв=6М/4пв, 6 — гравитационная постоянная. У к а з а н и е. Рассмотреть круговое даян<ение планеты. 454. Р е ш е н и е. Когда масса планеты пренебрежимо мала, Солнце можно считать неподвижным и написать тг=Е. С учетом движения Солнца это уравнение заменится на рг = Г, гле р = = Мш/(М+т) — приведенная масса. Переписав его в форме пвг М-)- гп Г, видим, что учет движения Солнца формально эквивалентен увеличению гравитационной постоянной в (М+т)/М раз. Поэтому Эллипс может вырождаться в отрезок прямой, а гипербола — в пря.
мую, уходящую в бесконечность. 461. По гиперболической. 462. Оба осколка будут двигаться по параболам. 463. с — У щ с=-8 1О-'ас=2,4 !О-'т см/с; 2( РгЗ вЂ” 2 Р 2) Маса Кси/Кз = 2 ( У 2 — 1) с/в щ 8,3 1Оэ. 464. Р е ш е н и е. В перигелии Р и в афелви А (рис. 234) радиаль. ная скорость планеты равна нулю. Поэтому момент количества движения // 5 планеты в этих точках можно записать в виде тсг. Учтя уравнения сохранения момента количества движения и энергии, получим для этих точек Р А г'-(- Π— г —,= — О. (464.1) Мт /.э Е 2тЕ При Е<0 зто квадратное уравнение имеет два вещественных положитель.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
