1611143573-8e94d034ccd828efcd3c13ed070577fb (825037), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Р е ш е а и е. Обозначим ускорение груза глз через а, ускорение подставки Ь, угловое ускорение цилиндра р, натяжение нити Т, коэффициент трения Ь. 1) Уравнения движения: Т(( =- — тз)(зб. 1 2 Р— Т=тза, Т=(т,+тз)Ь, Условие, связывающее ускорения, а=Ь+рй. Отсюда определяем а= =(р+пчз)-'Г, где р=(пи-г шз) (3 ! 2 — ~ ~, Ь= ( 3 Р2 — т 1 а, ~ =2~1+ — '1 —, 2) Первые два уравнения движения Р— Т вЂ” Ьпд=-шза, Т вЂ” (т,+тз)йй=(ш,+тз)Ь, третье такое же, как и в случае 1), и такая же связь между ускорениями, Отсюда получаем: т — з Ь=(3+2 — '~ — 2)2 1', () шз - шз а = (тз+ !ь) — т Т вЂ” йп, 3) а=(шгттз)-'г в отсутствие трения; а=(ш;(-тз)-'р — йй при наличви трения, 2=2Е((глз)7]. 378. Пока движение совершается без рывка, диск опускается и подииьщется с одним и тем же ускорением, направленным вниз: 2ге )тз+ 2г' ~' Натяжение нити при опускании к поднятии диска такзье одно и то же н равно Те = — ( 1--) = 4,83 Н.
Мд l а) — е) Во время рывка нить испьпъшает дополнительное натяжение ЬТ вЂ” — Мл ш 3,14 Н. ! 2а ЙГ Д Полнее натяжение нити во время рывка Т=Те+ЛТ .8,0 Н. 212 Для оценки среднего натяжения нити во время рывка Т „„обозначим через о максимальную скорость диска в нижнем положении. За время полоборота диска бт=пг)о количество движения диска изменяется из 2Мо.
Эю изменение равно импульсу силы, действующей иа диск, за то же время, т. е. (2Тр„,— Мд)бб Вычисления дают 379. Т— Мй .. МгэН | | М;зд4 )ээ — 0,99То Трив™й+ Мйг + —.т ж 1,42Т„где У вЂ” момент инерции системы, Т вЂ” натяжеятЛз э— нне нити прн неподвижном грузе. йз — Ь' 380. а) а=,, з 8з|п а, где р — радиус инерции шарика, )эз 23 — ширина желоба; б) а= йз|пм. 4рз+Лз Згз+ ра 381.
Н= '„)с. Для сплошного шара Н=зт/эр)г, для полого 2ге Н= г/а гэ -|-рз 382. 19 а > я, где р — радиус инерции катящегося тела. рэ Дла сплошного шаРа 19 а > т/з/П Дла полого 18 а > з/эа. ДлЯ сплошного цилиндра 19 и > Зй, для полого !9 а > 2й. 383. Положение точки В, в которой шарик отрывается от сферы и начинает свободно двигаться под действием силы тяжести, определяется углом я, косинус которого равен соз Я=2гй/(Згз+рэ), где р — радиус инерции шарика. Результат не зависит от радиуса сферы.
Для сп.тошного шарика сов и='з/тг, для полого сов м='~'и. 384. Будем рассматривать все движения в системе отсчета, в которой наклонная плоскость аепадвижна. Так как центр масс системы и мгновенная ось вращения А (см. рис. 104) дважутся параллельно, то уравнение моментов относительно этой движущейся осн илреет вид I Аы/л(=М (см.
задачу 433). Момент количества движения системы й слагается из момента количества двнженвя цилиндра !ы и момента количества движения собаки тгоп, где Ь=г(!+сов а) — длина перпендикуляра, опущенного на наклонную плоскость из точки 5. Итак, (.=/а+т,го(!+сов а), причем нод У следует понимать момент инерции цилиндра относительно мгновенной оси, т. е.
величину 2л~гз. Из-за отсутствия скольжения о= =юг, а потому 1.=(2т+ш,(!+сов и)]го. Так как центр масс системы и мпювенная ось А движутся параллельно, то производная й по времени должна равняться люменту внешних сил относительно мгновенной оси А, т. е. (гл+|п,)йт ып м. Приравнивая оба выражения, получим ш+т, 2гл + тг (! + соз и) 213 Рт =(М+т) а, 2М+т аэ М+т а= л а!п а. 2М+ т гпй'з!и я 2М+т(!+сова) ' Рмзкс (2М+т) а' 388. Р е ш е н и е. При отсутствии трения между жидкостью и стенками бочки вращение бочки не передается жидкости.
Жидкость движется поступательно как целое со скоростью п, равной скорости движения центра масс. Момент количества движения системы относителыю мгновенной оси А равен Ь=/лы+тйо, где )т — внешний радиус бочки, 1 л — момент инерции ее относительно мгновенной оси А, т — лхасса жидкости. Из-за отсутствия скольженвя о=о)1, так что (.=( — "+ Р).. Центр масс бочки движется параллельно мгновенной осн, а потому Н /)л ~ да — = ~ — + тгс 1 — = (М+ т) Лй а!и пь Ш (Л /бг— где М вЂ” масса бочки (см.
решение задачи 433). Отюдэ (М+ т) )(г а= '' ',, а а|п а. (л+тгса При этом мы не учитывали моменты инерции днищ бочки, считая их пренебрежимо малыми. Можно решить ту же задачу с помощью уравнення моментов относительно центра масс, а также с помощью уравнения сохранения энергии. 337. Р е ш е н н е. Допустим, что требуемое положение шарика сущести вует. 1-1а основании теоремы о движе~т "Рдад нин центра масс ! (М+т)а=(Д!+т)й з!п и — Р где Г' р — сила трения, с которой нактя лонная плоскость действует на цилиндр (рис. 230).
Уравнение вращения цилиндра (без шарика) будет Рнс. 230. ~тэ где (=Мгэ — момент инерции цилиндра относительно его геометрической оси. Сила давления шарика на цилиндр в это уравнение не входит, так как она нормальна к поверхности цилиндра н ие дает момента атно. сительно его оси. Ввиду отсутствия скольжения а=г ам(г(д Из написан- ных уравнений находим Найдем теперь то же ускорение из уравнения движения шарика Фп=шя з(п я Раза з1п ~р, глав соз~р=тясоа а, где Тдзз — сила, действующая со стороны цилиндра на шарик.
Отсюда а=я(з!п а — соз сс !й гр). Путем сравнения с ранее найденным выражением получаем М (игр = (и а. чальнзя скорость. 390. Р е ш е н и е. На цилиндр, имеющий вначале момент колнчества движения!шэ, действует сила Т=0,! Р. Эта сила сообщает цилиндру углосое и линейное ускорения: ьв р'А' я — = — — = — 0,2— А' оо Е и — =я — =О,!я с(Г Р таким образом, шз шр — 0,2 — ! и о=б,)ят. Время Т определятся Ы Я вз условия о=в!г или ыэК вЂ” 0,29Т=0,14(Т. Отсюда Т - 2,!4 с. При Г > Т ускорение равно нулю.
391. Движение после перехода границы будет сначала разнозамедленное, а затем с постоянной скоростью; 1!3 энергии превратится в тепло, 219 — во вращательную энергию и 4(9 останется в аиде энергии поступательного движения. Р е ш е н и е. Пусть масса цилиндра т, момент инерции 1, сила трения !' и начальная скорость оэ. Тогда т Пиьйс= — (, )г=! г(и(г(й откуда )гг о=па — ! ы= —. т ' г' После перехода границы шероховатости скорость скольжения будет 1 г' 3 о„=о — юг=ос — а!У, где се= — + — = — (так как ! = гпгз(2).
ш ! т Через время Т э,(сг! скорость скольжения обратится в нуль, н дальше начнется чистое качение без скольжения. Скорость Из полученного результата следует, что требуемое положение шарика существует, причем ~рч,щ Если т((М, то 13 ~р="з!и и. Если сверх того оса!, то гр=Чза. 333. яйцо, сваренное вкрутую, вращается как твердое тело, сырое — как сосуд, наполненный жидкостью; сообщая скорлупе вращение, мы еще не сообщаем вращения всем частицам жидкости. 389, ( гЬ/й = — 2праз(а/б, где / — момент инерции ротора н !в 2п!газ! ! ~ длина подшипннков. Отсюда ы=ыэ ехр ~ — ), где сэ,— на- и поступательного движения прн чистом качении будет Фа / ! ! 2"а пв = пр — = оа ~ ! — — ~ — —, тса/ 2т ти,/ 3 ' / "о Угловая скорость качения ып = — =по — .
Следовательно, ги/ !и ' лшр 2 2 2вэвт 2 ти'! в тепло превращается энергия тор пшр 1 2 2 Г)талл !!паст евро 2 ш= 2 ти Можно также независимо подсчитать работу снл трения и показать, тсо ! 2 что она равна — — . 2 ти 392. Р е ш е н и е. Напишем ураввенне движения центра масс и уравнение моментов (относительно центра шара): т с!и/с!!= — Г, ! Йога)г=-гГ, где г" — сила трения, действующая в точке касания шара с плоскостью, Исключая почленным делением силу Е, находим моща= — !'(тг). Интегрирование этого уравнения дает о= — !ы то+С.
Постоянная интегрирования С найдется нз условия, что при о=ор шар не вращается (ы=б). Это приводит к соотношению ! по — и= — ы сп г Когда наступит чистое качение, должно выполняться второе соотноше. нне и= ыг, Из этих двух соотношений находим тг 5 по ш= "а= !+по!2 о — ! Вычислив кинетические энергии в начале и в конце, найдем потерю кинетической энергии на трение: 2 !пор 2 ЬК=— спор = — ° 2 у+тго 7 !г 2 г 393. и =!, ыа — — у ™ыо, ЛК= — „' !ы~ —— -у гагар!о с+она 7 ' 2 !-)-тга Р 7 394.
о, > У (М/т+4т/М-,З] я)22 =8,! м/с. 395. Скорость первого шара о, =2/,и, вто, ого оо — — а/ао. Потеря кинетической энергии на трение составляет 2'/ш на |ального значении кинетической энергии. 396. Шар будет двигаться равномерно, если точка удара лежит выше его центра на расстоянии 2/5 радиуса.
Такие удары называкпся нор- 2!5 мальными. Если она лежит еще выше, то движение шара будет ускоренным. Если же точка удара лежит ниже, то шар будет двигаться замедленно. Соответствующие удары называют высокими н низкимн. Решение получено в предположении, что сила трения шара о плоскость стола пренебреншмо мала по сраниению с силой, с которой 5 на шар действует кий во время удара. 397. Случай 1) реализуется при высоких ударах, случай 2) — при нормальных, случай аэ 3) — при низких. 398. Р е ш е н и е.
Пусть Р— сила трения, действующая на цилиндр, в месте соприкосно- лу пения его с наклонной плоскостыа (рнс. 231) а Ока заставляет цилиндр подниматься по наклонной плоскости. Сначала, пока не установилос~ Рис. 231. чистое качение, Р является силой трения скольжения. После перехода двшксния в чистое качение Р становится силой трения покоя (сцепления).
Однако, независимо от характера движония, оно всегда подчиняется уравнению движения центра масс ш г(оЩ= =г' †ып а и уравнению моментов (относительно геометрической оси цилиндра) ! пытб(= — Рг. Исключая !) получим г(о вы шг — = — ! — — — щ «г з1п а. г(! Интегрирование этого уравнения с ) четом начального условяя (ыэ ыэ при (=О) дает шю= ! (ыр — О\) — пгниг! з1п й.
Это соотношение справедливо в течение всего времени движения, нева. висимо от того, пронсходит ли оно со скольжением или является чистым качением. В наивысшей точке должно быть о=О. Отсюда следует, что в той же точке ы= — О. В противном случае цилиндр продолжал бы вкаты. ваться, и рассматриваемая точка не была бы наивысшей. Поэтому время подъема ! найдется, если в предыдущем уравнении положять о=ы=О. Это дает 7ыа гыа шаг з)п и 2я Ып а' Любопытно, что время поднятия ! не зависит от коэффициента трения между цилиндром н наклонной плоскостью. Результат не изменился бы даже тогда, ногда коэффициент трения стал переменным. Решение предполагает, однако, что трение достаточно велико, чтобы цилиндр мог вкатываться на наклонную плоскость. При недостаточном трении будет проэгсходить лишь замедление скорости вращения цилиндра. Нетрудно подсчитать, что время замедления определяется прежней формулой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
