1611143573-8e94d034ccd828efcd3c13ed070577fb (825037), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Таким образом, искомая ска. рость о определяется выражением При х/ В (прямолинейное движение по направлению к центру Солнца) схорость з максимальна н равна о~а~с=1~~к + 2"з» яз 31,8 км/с. Ракета упадет в передней точке Солнца. Прн х=г (г — радиус Солнца) 235 скорость минимальна: )/ в„(в у в' ) В ы„~ вГ' ,и ' у„~ вь. — 29,2 км/с. Ракета упадет в задней точке Солнца, двигаясь по касательной к его поверхности. 491.
Р е ш е н и с. Обозначим через Е„ полную энергию спутнина при движении по круговой орбите, тогда Е„= — К, У = — 2К. После тога как отработал двигашль, скорость спутника возросла в и рав, а кинетическая энергия К вЂ” в из раз. Потенциальная энергия ие изменилась, так как за время работы двигателя спутник переместился пренебрежимо мало. Такам образом, полвая энергия спутника на эллиптической орбите будет Е,=ивК+(/ =-(из — 2) К =(2 — из) Е, Большие оси эллиптических орбит обратно пропорциональны полным энергиям (см.
решение задачи 464). Поэтому и/й= 1/(2 — иэ), о= й (2 — ив). Орбита будет эллиптической, если изи2. Максимальное расстояние спутника от центра Земан (в апогее) йменв = 2п — й = ивй/(2 — и'). Период обращения Т, найдется из третьего закона Кеплера и равен Т, = Тв/(2 — ) Ю'. 492. Р е ш е н н е. Изменением потенциальной энергии корабля во время кратковременной рабаты двигателя в пернселении (илн апоселении) можно пренебречь.
Поэтому бе= 6(оэ/2)=обо. С другой стороны, ОМ 1 так как 2а= — ЙМ/е, бе= — ба= — д'ввп, где д' — ускорение сво2ав 2 бодного падения на Луне в пернселении. Приравнивая оба выражения, после некоторых преобразований получим бо = — ~, — ба = — 42 м/с. й./й 2п Эв о 499. "" ш=(~ 2 1) )/йй = О,(У. внв а 2пй / 2й 494.
э= — "тв — ш 60 км/с. Т 495. Р е ш е н и е. Движение спутника почти крутовое, а потому К=- — Е (см. задачу 469). Сопротивление среды уменьшает полную энергию спутника, а следовательно, увеличивает кинетическую энергию его. Момент количества движения скутннка уменьшаегся. Перепишем предыдущее соотношение в виде лпд= — У н дяфференцнруем по времени: 2тодо/Ф= — ч(У/вд Подсгавив сюда У=тй!тз/г (/7 — радиус Земли) н введя скорость снижения спутника и= Ы/пд получим оо й /7 й — = — — в ж — ш щ 8.10-з см/сз. лг 2о гз уо Здесь можно считать, что о 8 км/с (первая космнческая скорость).
Тангенцнальное ускорение яаправлено по движению спутника. Сила сопротнвлевня среды может быть найдена из уравненнз знергнн н равна г'=и ЙАЙ~80 див. 490. Посереднне между центром Ремня н начальным положением корабля. 497. Р еще н не. Так как энергия корабля азвнснт только от длнны 2а большой осн его орбнты, то переход на круговую орбиту произойдет на расстоянии а, т. е. в точке пересечения эллнпса с его малой осью.
Направление скоростн корабля надо повернуть на такой угол, чтобы оно оказалось перпендикулярным к линии, соединяющей корабль с центром Земли. 498. Увелнчнть в г' 2 раз. 499. из=огд/1 =54,6 км/с. 600. и„=)7 у —,.Прн !=2/7 и )/з/зй/7 ш ббям/с. / 2у~ У (з — ((з. 601. Ггр/Гэз = бшз/ез, где э= 4,8 1О™ СГСЭ вЂ” элемевтврный заряд. Подставляя в формулу массу электрона т,=9,!! ° 10-'з г я массу протона шр — — 1,67 10-зч г, нолучнм для электрона ггр/Рэз =2,4 !О-чз, для протона ггр/газ=8 1О-з'.
602. Р е ш е и я е. Соединим центр сферы О с точкой А, в которой помещена точечная масса ш (рнс. 237). Из точки О. как нз вершины. Рнс. 237. опишем два круговых конуса с общей осью ОА, образующие которыя наклонены к этой осн под угламн О н О+об. Они вырежут на поверхности сферы элементарный поясок с площадью 85 = 2нг' з!п 6 пб, где г — радиус 237 а(3 сферы. Масса этого пояска йИ=М вЂ” = М в1п дсЮ, Так как точки пояс- 4пга ка равиоудэлеиы от точки А, то потенциальная энергия гравитанионного взаимодействия пояска н точечной массы лт равна Мт аи= — Π— ып 0дб, 2 Перейдем к новой переменной р — расстоянию между точечной массой гл и хакой-либо точкой пояска.
Вта переменная связана с д соотношением ра=)(а+та — 2)тг созб, где ас — расстояние ОА между центром сферы и точечной массой аь Прн перемещении вдоль поверхности сферы величины )с н г остаются постоянными, поэтому рдр=В з1пдд0 а, следовательно, В макс Мт ли = — а — йр, 2Ю Мгл и —.— а — ( лр. 2ь'г Омам Если точка А лежит вне сферы (рис. 237, а), то максимальное и минимальное значенна Р Равны соответственно Рм,„— )7+г " Рмвк И вЂ” г. В этом случае интегрирование дает и= — вм (7(.
(502.1) Потенциальная энергия такая же, как если бы вся масса сферы была сосредоточена в одной точке, а именно в центре сферы. То же справедливо и для силы взаимодействия 5= — д()Ма(= — 6Мпа,')са. Можно сказать, чта сфера притягивает материальную точку так, как сслн бы вся ее масса была сосредоточена в ее центре. Можно сказать и иначе: точечная лаасса притягивает сферу так, как если бы зся масса последней была сосредоточена в ее центре. Если же точка А лежит внутри сферической полости (рис.
237, б), та рм,„с =г + )к, рмю, —— г — К, и интегрирование дает и= — амат. (502.2) 238 На границе полости выражения (502.1) и (502.2) совпадают. Согласно (о02.2) потенциальная энергия матервзльной точки внутри полости пе зависит от )к, она постоянна. Сила г, действующая на материальную точку в этом случае, равна нулю, так кзк ()=сопз1, а потому г= = — биМЯ=-0. 503. Д о к а з а т е л ь с та о. Как показано в предыдущей задаче, гравитационное поле первой сферы пе изменится, если всю массу этой сферы сосредоточить в ее центре. Поэтому не изменится н сила, с которой это поле действует на вторую сферу. Задача свелась к нахождению силы, с которой точечная масса действует на сферу.
Но в предыдущей задаче показано, что эта сила не изменится, если и массу второй сферы сконцентрировать в ее центре. Этим и завершается доказательство. 606. Р е ш е н и е. Поле вне шара равно й=ОМ/гз, где М вЂ” масса шара. Для вычисления поля в точке А (рис. 238), лежащей внутри шара на расстоянии г от центра, проведем через зту точну вспомогательную сферу с центром в точке О, Вещество шара, расположенное вне вспомогательной сферы, не влияет на поле внутри нее. В частности, оно не влияет нз поле в точке А. Гравитационное поле в точке А создается только веществом, сосредоточенным внутри вспомогательяой сферы. Оно равно От!гз, где и — масса вещества, ограниченного вспо.
могательной сферой. Таким образом, М 4пΠΠ— = — — р, если г ))с, гз 3 гз д= лт 4 О (505.!) Π— = — рг, если г ~Я. ,з= 3 Рис. 238 При г=)2 оба выражения совпадают, 508. Р е ш е н н е. Гравитационная энергия шара есть потенциальная энергия, обусловленная силами тяготения, действующими между материальными точками, на которые можно мысленно разбить шар.
Она равна взятой с противоположным знаком работе, которую должны затратить внешние силы, чтобы привести вещество шара в бесковечно разрозненное состояние, когда иаждая частица вещества удалена в бесконечность. Эта работа не зависит от способа, каким шар переводится из начального состояния в конечное. Поэтому при вычислении можно поступить следующим образом. Разделим мысленно весь шар на бесконечно тонкие концентрические слои и будем последовательно удалять з бесконечность каждый из таких слоев, начиная с самого крайнего. Напряженность поля тяготения в любой точке выделенного слоя, создаваемая веществом, внешним по отношению к этому слою, равна нулю.
Поле создается только веществом, которое окрузкено рассматриваемым слоем. Если ш — масса этого вещества, а Пт — масса слоя, то работа, затрачиваемая на удаление слоя в бесконечность, равна ПА=Ош Фл!г. Но для однородного шара ш=М(гЯ)з, где М вЂ” масса всего шара. Поэтому Мз АА=ЗΠ— г4 ог. Учитывая, что бА=ч(ьГ н интегрируя, получим )(з ОМ' Г 3 ОМз и= — 3 — " гзй.= — — —.
Из ~ 5 О За нуль потенциальной энергии мы приняли энергию шара в беснонечно разрозненном состоянии. 239 607. 1 = — — ш 5,9. 1О" с ш 1,9 !0' лет. 3 ОД(» 5 РР 608. Р е ш е н и е. Вообразим, что полость заполнена веществом, плотность которого равна плотностн шара. Тогда искомое гравитационное поле дг представится разностью гравитационных полей двух сплошных «паров с центрами в О и О, соответственно. Точка наблюдения А расположена внутри каждого из этих шаров. Поэтому можно воспользоваться формулой (505.1) н написать 4п / 4п ') 4я ж= — — рг — ( — — рг«1= — — рР, 3 (, 3 ') 3 где Р— радиус-вектор, проведенный из центра шара О к центру полости Ом Поле однородво, т.
е. во всех точках полости одинаково по величине и направлению. трг«3 509. (/ (г) = — — л«дР, где э« — масса тела к г — расстоя- 2Р«2 иие его от центра Земли. Р е ш е н н е. Внутри шахты (см. задачу 505) сила твготевия г /=л«5 —, поэтому Р« 1 з » (/(г«) — (/(О)= /из= 2Р', или (/(г,)=(/(О)+ нли (/ (О) = — — АР» 3 2 610. э = )' РР « = 7,2 км/с. У к а з а н и е. См.
задачу 509. 511. Все тела в снаряде, находясь в том же поле тяготения, что и снаряд, испытывают такое же, как снаряд, ускорение, поэтому тело, подвешенное к неподвижным относительно снаряда пружинным ассам, не вызовет нх растяжения. Массу тела можно измерить, например, так. С помощью пружины можно сообщить телу некоторое ускорение относительно снаряда, н по отношению силы (отсчитываемой по растяжению пружины) к ускорению можно найти массу тела (предполагается, что масса снаряда много больше измеряемой массы). 612. Весы покажут «вес» р=та.
Подвешенные а снаряде пружинные весы будут в этом случае растягиватьса в направлении. противоположном ускорению снаряда (вызванному сопротивлением атмосферы планеты). Можно выбрать величину (/(О) так, чтобы значение потенциальной энергии по формуле, приведенной в задаче 452, совпадало с полученным на поверхности Земли при г,=Р», тогда и (Р»)-(/(0)+ = — аР,.
ЯДР« 2 5!3. Если бы не было сопротивления воздуха, то приборы в снаряде перестали бы регистрировать наличие силы тяжести прн выхоле снаряда из жерла орудия. Вследствие сопротивления воздуха снаряд получает дополнительное отрицательное ускорение, а приборы, находящиеся в снаряде, регистрируют силу «тяжести», направленную в сторону, противоположную испытываемому снарядом ускорению, т. е. в сторонУ движения снаряда. 514. Линейная скорость движения любого спутника по орбите обратно пропорциональна квадратному корню из расстояния спутника от центрального тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
