1611143572-9d260122e1f7b937cc263fb9b1cd060d (825035), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Долю времени, в течение которого частицы находятся в каком-либосостоянии, часто называют вероятностью этого состояния.а. В сосуде находятся две молекулы. Чему равна вероятность того, что обемолекулы будут находиться в левой половине сосуда? в любой из половин?б. Чему равна вероятность того, что молекулы будут находиться в разныхполовинах сосуда?в.
В сосуде находятся три молекулы. Чему равна вероятность того, что двемолекулы будут находиться в левой половине сосуда и что в левой половине сосуда не будет ни одной молекулы?5.8.3. В сосуде вместимостью V0 находятся N молекул.а. Определите вероятность того, что в объеме V , который представляет собойчасть объема V0 , не будет ни одной молекулы.б. Чему должен быть равен этот объем, чтобы вероятность такого событиябыла близка к 10−2 ?5.8.4∗ .
Оцените вероятность того, что плотность воздуха в объеме 0,1 мм3какого-нибудь участка вашей комнаты будет в два раза больше, чем обычнаяплотность. Каким должен быть объем этого участка, чтобы эта вероятность быладостаточно велика?♦ 5.8.5. Траектория атома, упруго отраженного от стенок куба, размеры которого a × a × a, — квадрат. Скорость атома v.а. С какой средней скоростью станет перемещаться по каждой стенке местоудара, если изменить угол падения в плоскости квадрата на ∆ 1? При какихзначениях ∆ траектория атома окажется замкнутой? не замкнутой? Определите140расстояние между соседними параллельными участками траекторий в первом иво втором случаях.б.
Почему можно считать, что траектория атома обычно не замкнута? Чемуравна вероятность обнаружить атом в квадрате площади S, расположенном вплоскости, по которой движется атом в случае незамкнутой траектории?в∗ . Как будет двигаться атом, если изменить угол его падения перпендикулярно плоскости квадрата на ∆ 1? Чему будет равна вероятность обнаружитьтакой атом в области внутри куба, объем которой равен V ?5.8.6∗ . Решите задачи 5.8.5 в случае, когда первоначально тангенс угла падения равен 1/m, где m — целое число.♦ 5.8.7. Атомы, имеющие одинаковую по модулю скорость v, одновременновлетают в цилиндр через небольшое отверстие, расположенное в центре дна цилиндра.
Направления скоростей атомов распределены равномерно внутри конусас небольшим углом ∆ при вершине. Конус скоростей соосен с цилиндром. Радиус цилиндра R, его высота H. Оцените время равномерного заполнения атомамипространства внутри цилиндра в случае упругого отражения атомов от его стенки и в случае, когда через время τ R/v, H/v после попадания на стенку атомуходит внутрь цилиндра под любым углом к его стенке со скоростью v.♦ 5.8.8∗ . При переходе частиц из области 1 в область 2 на границе этих областей над частицами совершается работа A. Докажите, что вероятность обнаружить в объеме ∆V частицу, имеющую скорость в интервале ∆v, везде одинакова,если частицы в области 1 равномерно распределены по скоростям.♦ 5.8.9.
Знание вероятности состояния системы в молекулярной физике позволяет предсказать дальнейшее поведение этой системы.Можно реализовать маловероятное событие. Например, в одной половине сосуда, разделенного на две одинаковые части перегородкой, находится газ. Перегородку очень быстро убирают. Осуществлено состояние газа, вероятность которого равна 2−N , где N — число частиц газа в сосуде. Этот результат можнополучить, решив задачу 5.8.1в. В последующие моменты времени в сосуде будутосуществляться другие состояния.
В начальное же состояние система не перейдет — слишком мала его вероятность! Следовательно, будет происходить необратимый переход в новые, более вероятные состояния, молекулы будут заполнятьвсе пространство сосуда.Этот пример показывает, что знание вероятности состояния новой системыявляется очень полезным.А как вычислить вероятность состояния для других систем? Не слишкомли сложными будут вычисления? Оказывается — нет, не очень. Вычислять, восколько раз вероятность одного состояния больше вероятности другого, нужноследующим образом. Если мы системе, находящейся в состоянии 1 при температуре T , сообщим количество теплоты Q, то она перейдет в другое состояние,вероятность которого в exp (Q/kT ) раз больше вероятности состояния 1 (k —постоянная Больцмана).141Приведем пример того, как проводятся такие вычисления.
Найдем, во сколько раз вероятность состояния, в котором все N молекул газа находятся в однойполовине сосуда (состояние 1), меньше вероятности состояния, в котором молекулы заполняют равномерно все пространство сосуда (состояние 2). Перегородимсосуд, в котором находятся молекулы, подвижным поршнем.
При перемещениипоршня влево на ∆x газ совершает работу ∆A и охлаждается. Для того чтобы сохранить температуру газа постоянной, мы должны сообщить молекуламгаза количество теплоты ∆Q = ∆A (для восполнения энергетических потерь вгазе). Следовательно, при перемещении поршня влево мы передадим газу притемпературе T количество теплоты Q = A. При изотермическом расширенииA = νRT ln (Vк /Vн ), где ν — количество газа (в молях), R = kNA — газовая постоянная, NA — постоянная Авогадро, Vн — начальный объем, Vк — конечныйобъем газа.В нашем случае N = νNA , Vк /Vн = 2.
Поэтому формулу для работы можно переписать в виде A = N kT ln 2. Следовательно, вероятность состояния 2в exp (A/kT ) = exp (N ln 2) = 2N раз больше вероятности состояния 1. Мы получили решение задачи 5.8.1в, рассматривая термодинамический процесс.Таким же способом определите вероятность того,что в области, имеющей объем V и являющейся частью пространства, объем которого V0 , соберутся всемолекулы, движущиеся в этом пространстве. Используя термодинамический процесс, решите задачу 5.8.3.Можно ли таким способом решить задачу 5.8.1?5.8.10.
Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы при комнатной температуре увеличить концентрацию золота в 1 кг породы от 10−6 до 10−2 ?5.8.11∗ . Докажите, что на полупроницаемую перегородку, находящуюся вразбавленном растворе, действует при температуре T давление P = nkT , где n —число молекул растворенного вещества в единице объема раствора. Почему этаформула верна только для разбавленного раствора?5.8.12∗ . В пространстве объема 2V0 движется 2N молекул.
Во сколько развероятность обнаружить N в области объема V0 − V меньше вероятности обнаружить N молекул во всем пространстве V0 ?5.8.13∗ . В сосуд с водой при температуре 20 ◦ C поместили 1 г льда, находящегося при температуре 0 ◦ C в герметичной коробке. Определите, во сколько развероятность процесса превращения льда в воду больше вероятности обратногопроцесса — растаявшая вода в коробке вдруг начнет отдавать тепло окружающей воде и превратится в лед. Температура воды в сосуде при таянии льдапрактически не меняется.♦ 5.8.14. С помощью термодинамическогопроцесса покажите, что при температуре T :а) давление идеального газа в ограниченнойобласти в exp (U/kT ) раз меньше, чем в остальном пространстве, если эта область отделена от остального пространства энергетическимпотенциальным барьером, равным для каждой частицы газа U ; б) концентрация молекулрастворенного вещества в ограниченной области в exp (U/kT ) раз меньше, чем в остальном пространстве, занятом растворителем, если эта область отделена от остальной части растворителя энергетическим потенциальным барьером, равным для каждой молекулы растворенноговещества U , а взаимодействием этих молекул друг с другом можно пренебречь.1425.8.15.
Поршень первоначально делит цилиндрический сосуд на две равныечасти, в которых находится идеальный газ одинаковой массы с одной и той жетемпературой. Реален ли процесс, в котором при движении поршня температураодной части увеличивается в два раза, а другой — уменьшается в два раза?Теплоемкостью поршня и цилиндра можно пренебречь, система изолирована.5.8.16.
Газодинамическое ружье представляет собой цилиндр, наполненныйодноатомным газом и закрытый подвижным поршнем. Газ, расширяясь, разгоняет поршень. Реален ли процесс, когда√ при увеличении объема газа в n раз еготемпература уменьшается в n раз? в n раз? Система изолирована.§ 5.9. Второе начало термодинамики5.9.1. Два одинаковых тела, нагретых до разных температур, приводятсяв тепловой контакт друг с другом. Температуры тел уравниваются. Покажите,что при этом процессе энтропия системы увеличивается.5.9.2. Найдите приращение энтропии 1 кг льда при его плавлении.5.9.3.
На сколько возрастет энтропия 1 кг воды, находящейся при температуре 293 K, при превращении ее в пар?5.9.4. Найдите приращение энтропии водорода при расширении его от объема V до 2V : а) в вакууме; б) при изотермическом процессе. Масса газа m.5.9.5. Вычислите приращение энтропии водорода массы m при переходе егоот объема V1 и температуры T1 к объему V2 и температуре T2 , если газ: а) нагревается при постоянном объеме V1 , а затем изотермически расширяется; б) расширяется при постоянной температуре T1 до объема V2 , затем нагревается припостоянном объеме; в) адиабатически расширяется до объема V2 , а затем нагревается при постоянном объеме.5.9.6∗ . Кусок льда массы 0,1 кг при температуре 0 ◦ C бросают в теплоизолированный сосуд, содержащий 2 кг бензола при 50 ◦ C.
Найдите приращение энтропии системы после установления равновесия. Удельная теплоемкость бензола1,75 кДж/(кг · K).♦ 5.9.7∗ . В теплоизолированном сосуде находится 0,5 кмоль гелия и 1 кг льда.В начальный момент температура льда 273 K, гелия 303 K. Сосуд закрыт подвижным поршнем. Найдите приращение энтропии системы при переходе к равновесию.♦ 5.9.8. Сосуд объема V разделен на две одинаковые части, в которых находятся разные газы, двумя перегородками. Перегородки проницаемы только для«своего» газа из той части сосуда, которую каждая из них изначально отделяет.Под действием газов перегородки движутся до стенок сосуда. Найдите приращение энтропии при этом движении, если первоначальное давление газов P , атемпература T .
Почему такой процесс невозможен, если газы с обеих сторон одинаковы или невозможно экспериментальным путем отличить один газ от другого(например, в прошлом веке невозможно было различить изотопы)?143♦ 5.9.9∗ . Тепловая машина, рабочее тело которой 1 моль идеального одноатомного газа, работает по замкнутым циклам, изображенным на рисунке. Найдитеприращение энтропии в машине за один цикл.♦ 5.9.10∗ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
