1611141306-b2dfe4473ec9d5441f959e37a90314bc (824999), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

В плоском случае поворотпрямоугольнойсистемыкоординатсоответствуетследующему преобразованию:x = x′ cos α − y′ sin α ,y = x′ sin α + y′ cos α ,где α – это угол между векторами e1 , e1′ , отсчитываемый вположительном направлении от вектора e1 .Задачи1.Найти формулы преобразования аффинной системыкоординат на плоскости в каждом из следующих случаев, еслиданы старые координаты новых единичных векторов и старыекоординаты нового начала координат:a) O′ E1′ = { 2, 5} , O′ E2′ = { 7, 9} , O′ (3, 1) ;b) O′ E1′ = { 5, 0} , O′ E2′ = { 0, 4} , O′ (3, 5) ;c) O′ E1′ = { 0, 2} , O′ E2′ = { − 7, 0} , O′ (0, 2) .2.Найти формулы преобразования аффинной системыкоординат, если даны старые координаты концов новыхединичных векторов и нового начала координат:a) E1′ (2, 5), E2′ (− 3, 7), O′ (5, 4) ;b) E1′ (0, 0), E2′ (0, 1), O′ (1, 0) ;c) E1′ (a, 0), E2′ (0, b), O′ (a, b) .3.Даны две системы координат Oxy и O′ x′ y′ .

Координаты xи y произвольной точки относительно первой системыкоординат выражаются через ее координаты x′ и y ′относительно второй системы координат следующимиx = 2 x′ − 5 y′ + 3 ,y = − x′ − 5 y′ − 2 .формулами:Найтикоординаты начала второй системы и единичных векторов ееосей относительно первой системы.174.Новаясистема координат получена из старой переносомначала в точку O′ (3, − 4) и поворотом на угол α такой, чтоcos α = 12 13 , sin α = − 5 13 . Найти координаты точкиA(6, − 2) в новой системе.5.Написать формулы преобразования прямоугольнойсистемы координат на плоскости в прямоугольную систему,оси которой имеют направления биссектрис координатныхуглов первой системы.6.Даны две системы кординат Oxyz и O′ x′ y′ z ′ .

Поотношению к первой системе начало второй находится в точкеO′ (2, 1, 3) , а единичные векторы второй системы сутьe1′{ 2, 4, 1} , e2′ { 0, 4, 4} , e3′ {1, 1, 0} . При этих условиях:a)написать выражения координат точек относительнопервой системы через их координаты во второй;b)выразить координаты точек относительно второй системычерез их координаты в первой системе;c)найти координаты начала и единичных векторов первойсистемы относительно второй.7.Найти формулы перехода от одной прямоугольнойсистемы координат к другой при условии, что начала этихсистем различны, а концы базисных векторов совпадают.Семинар 6, 7.

ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИПрямая на плоскостиОпределение. r (t ) = r0 + ta – параметрическое уравнениепрямой в векторной форме. Здесь a = (ax , a y ) называетсянаправляющим вектором прямой, r0 = ( x0 , y0 ) – точка, черезкоторую проходит прямая.18 x(t ) = x0 + a x tОпределение. – параметрическое задание y (t ) = y0 + a y tпрямой в координатах.Ax + By + C = 0, A2 + B 2 ≠ 0Определение.–общееуравнение прямой.Определение. A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = 0 , A2 + B 2 ≠ 0 –уравнение прямой, проходящей через точку ( x0 , y0 ) .Определение. Ax + By + C = 0, A 2 + B 2 = 1 – нормальноеуравнение прямой в прямоугольной системе координат.Определение.

n = ( A, B ) – вектор, ортогональный прямой,a = (− B, A) – вектор, параллельный прямой (в прямоугольнойсистеме координат).x − x0y − y0=Определение.– уравнение прямой,x1 − x0 y1 − y0проходящей через две заданные точки.Ax + By + CТеорема. d =– расстояние от точки ( x, y ) доA2 + B 2прямой Ax + By + C = 0 в прямоугольной системе координат.Определение. Тангенс угла наклона прямой к оси Oxназывается угловым коэффициентом этой прямой: k = tgα .Определение.

y = kx + b – уравнение прямой с угловымкоэффициентом k .Определение. y − y1 = k ( x − x1 ) – уравнение прямой,проходящей через заданную точку и имеющей угловойкоэффициент k .k 2 − k1Определение. tgϕ =– угол между двумя прямыми.1 + k1k 2x y+ = 1 – уравнение прямой в отрезках,Определение.a b{ a, 0} – точка пересечения с осью Ох; { 0, b} – с осью Оу.19Задачи1.Напишите уравнение прямой, проходящей через точкуx + y + 1= 0 ,x + 14 y + 13 = 0пересеченияпрямыхперпендикулярно вектору a = {1, 1} . Компоненты матрицыГрама: g11 = g12 = g 21 = 1, g 22 = 2 .2.Написатьвпараметрическойформеуравненияследующих прямых:a) 3 x + 6 y + 5 = 0 ; b) x − 2 y − 4 = 0 ; c) y = − 3x + 5 ;d) x = 2; e) 2 x + 3 y = 0 .3.Написать общее уравнение прямой:a) x = t , y = 1 − 3t ;b) x = 2 + 5t , y = 4 − 7t .A(− 2, 3), B(4, 1), C (6, − 5) .ABC :4.ДантреугольникНаписатьуравнениемедианыэтоготреугольника,проведенной из вершины A .5.Дан треугольник ABC : A(4, 4), B (− 6, − 1), C (− 2, − 4) .Написатьуравнениебиссектрисывнутреннегоуглатреугольника, проведенной из вершины C .6.Установить какие из нижеследующих пар прямых будутперпендикулярны:a) x − 2 y + 3 = 0, 2 x + y − 5 = 0 ;b) 2 x + 3 y − 6 = 0, 2 x − 3 y + 4 = 0 ;c) 3 x + 7 y + 4 = 0, 7 x − 3 y + 2 = 0 ;d) 5 x + 6 y − 8 = 0, 6 x + 5 y + 2 = 0 ;е) x − y = 0, x + y = 0 ;f) x + 3, y − 2 = 0 .7.Даны две точки A(3, 3) и B (0, 2) .

На прямой x + y − 4 = 0найти точку, из которой отрезок AB виден под углом 45о.8.Найти длины высот треугольника, стороны которого3x − 4 y − 3 = 0 ,5 x + 12 y + 2 = 0 ,заданыуравнениями3 x + 4 y + 390 = 0 .20положение точек A(0, 0), B (2, 1), C (− 3, 1),D(3, − 1) , E (− 1, 1) , F (4, 2) , G (1, − 1) , H (− 6, 4) относительнопрямой 2 x + 3 y = 0 .3x − 2 y + 4 = 0 ,10.Через точку пересечения прямыхx + 4 y − 2 = 0 провести прямую, перпендикулярную к прямой2x + 7 y = 0 .9.ОпределитьПлоскость в пространствеОпределение. r (u, v) = r0 + ua + vb – параметрическоеуравнение плоскости, проходящей через точку r0 параллельновекторам a и b .Ax + By + Cz + D = 0, A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0Определение.–общее уравнение плоскости.Ax + By + Cz + D = 0, A 2 + B 2 + C 2 = 1Определение.–нормальное уравнение плоскости в прямоугольной системекоординат, D – расстояние от плоскости до началакоординат.A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 ,Определение.A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 – уравнение плоскости, проходящей черезточку ( x0 , y0 , z0 ) .Определение.

n = { A, B, C} – вектор, ортогональныйплоскости в прямоугольной системе координат.cAx + By + Cz + DТеорема. d =– расстояние от точкиA2 + B 2 + C 2( x, y, z ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 в прямоугольнойсистеме координат.  Определение. n ⋅ (r − r0 ) = 0 – уравнение плоскости,проходящей через точку r0 ортогонально вектору n .21 Определение. n ⋅ r + D = 0 – уравнение плоскости,ортогональной вектору n .   Определение.

(r − r0 , a , b ) = 0 – уравнение плоскости, проходящей через точку r0 параллельно векторам a и b .  Определение. r = r0 + u (r1 − r0 ) + va – уравнение плоскости, проходящей через точки r0 , r1 параллельно вектору a .    Определение. (r − r0 , r1 − r0 , a ) = 0 – уравнение плоскости, проходящей через точки r0 , r1 параллельно вектору a .     (r − r0 , r1 − r0 , r2 − r1 ) = 0Определение.–уравнение  плоскости, проходящей через точки r0 , r1 , r2 .   r = r0 + u (r1 − r0 ) + v (r2 − r1 )Определение.–параметрическое уравнение плоскости, проходящей через  точки r0 , r1 , r2 .x y z+ + = 1 – уравнение плоскости вОпределение.a b cотрезках; { a, 0, 0} – точка пересечения с осью Ох; { 0, b, 0} – сосью Оу; { 0, 0, c} – с осью Оz.n1n2cosϕ=± Определение.– угол между двумяn1 n2плоскостями.Задачи1.Составитьуравнение плоскости, проходящей через триA(2,3,1),B(3, 1, 4), C (2, 1, 5) .точки:2.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку(3, 5, 7) и отсекающей на осях координат равные отрезки.3.Определить отрезки, отсекаемые на осях координатплоскостью x − y + 7 z − 4 = 0 .224.Составитьуравнение плоскости, проходящей через точку(3, 7, 2) и параллельной двум векторам {4, 1, 2}, {5, 3, 1} .5.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки(4, 5, 2) , (6, 2, 4) , и параллельной вектору {1, 2, 1} .6.Даны четыре вершины тетраэдра A(3, 5, − 1) , B (7, 5, 3) ,C (9, − 1, 5) , D(5, 3, − 3) .

Написать уравнения плоскостей,равноудаленных от вершин тетраэдра.7.Написатьобщееуравнениеплоскостипоеепараметрическим уравнениям:a) x = 2 + 3u − 4v, y = 4 − v, z = 2 + 3u ;b) x = u + v, y = u − v, z = 5 + 6u − 4v .8.Составитьпараметрическоеуравнениеплоскости,проходящей через точку (3, − 5, 1) и параллельной плоскостиx − 2 y + 4z = 0 .9.Найти косинусы углов между двумя плоскостями:a) 2 x − y + 3 z = 0, x + 4 y − 6 z = 0 ;b) x + 3 y − 4 z + 5 = 0, 2 x + 2 y + 2 z − 7 = 0 .10.Написать уравнение плоскости, перпендикулярной кплоскости 5 x − 2 y + 5 z − 10 = 0 и образующей с плоскостьюx − 4 y − 8 z + 12 = 0 угол 45о.11.Составить уравнение плоскости, проходящей черезначало координат и перпендикулярной прямой пересеченияплоскости x − 2 y + 4 z − 3 = 0 с плоскостью Oxz .12.Определить расстояния от точек A(3, 5, 1) , B(7, − 1, 2) ,C (2, 0, 4) до плоскости x + 2 y − 2 z + 5 = 0 .13.Составить уравнения биссекторных плоскостей угловмежду двумя плоскостями 7 x + y − 6 = 0 , 3 x + 5 y − 4 z + 1 = 0 . 14.Найти проекцию точки M 0 (r0 ) на плоскость r ⋅ n = D .15.Найти зеркальное отражение точки M 0 (r0 ) относительно плоскости r ⋅ n = D .2316.Найтипроекцию r = r1 + ua + vb .точкиM 0 (r0 )наплоскостьПрямая в пространствеОпределение.

r (t ) = r0 + ta – параметрическое уравнениепрямой. Здесь a называется направляющим вектором прямой,r0 – точка, через которую проходит прямая. x(t ) = x0 + a x tОпределение.  y (t ) = y0 + a y t – параметрическое задание z (t ) = z0 + a z tпрямой.x − x0 y − y0 z − z0==Определение.– каноническоеlmnуравнение прямой.  Определение. r = r0 + t (r1 − r0 ) – уравнение прямой,проходящей через две заданные точки.x − x0y − y0z − z0==Определение.– уравнениеx1 − x0 y1 − y0 z1 − z0прямой, проходящей через две заданные точки.  Теорема. Две прямые r (t ) = r0 + ta , r (t ) = r1 + tb лежат в одной плоскости ⇔ (r1 − r0 , a , b ) = 0 .  (r1 − r0 ) × aТеорема.

d =– расстояние от точки r1 доaпрямой r (t ) = r0 + ta .   (r1 − r0 , a , b )Теорема. d =– кратчайшее расстояние между a× b  прямыми r (t ) = r0 + ta , r (t ) = r1 + tb .24Утверждение. Условиедвух прямых r (t ) = r0 +a = λ b, λ ≠ 0 .Утверждение.Условиеимеет вид: ab = 0 .параллельности  или совпаденияta , r (t ) = r1 + tbимеет вид:ортогональности двух прямыхЗадачи1.Составить уравнения прямой, проходящей через точки:a) M 1 ( 2, 3, 1) , M 2 ( 4, 6, 9 ) ;b) M 1 ( 7, − 1, 2) , M 2 ( 5, − 1, 4 ) ;2.Составить параметрические уравнения прямых:a) x − 2 y + 4 z = 0 , 3 x − 2 y + 5 z = 0 ;b) x + y − z + 5 = 0 , 2 x − y + 2 z − 2 = 0 .3.Найти проекцию прямой на плоскость Oxy :a) 5 x + 8 y − 3 z + 9 = 0 , 2 x − 4 y + z − 1 = 0 ;x− 3 y− 4 z− 6==b).−5684.Даны точки пересечения прямой с двумя координатными( 0, y1 , z1 ) ,( x1 , 0, z2 ) .

Вычислитьплоскостямикоординаты точки пересечения этой же прямой с третьейкоординатной плоскостью.5.Найти расстояние от точки (1, 3, 5) до прямой, по2x + y + z − 1 = 0 ,которойпересекаютсяплоскости3x = y + 2 z − 3 = 0 .6.Найти кратчайшее расстояние между двумя прямыми:a) x = 3 + t , y = 1 − t , z = 2 + 2t и x = − t , y = 2 + 3t , z = 3t ;b) x + y − z + 1, x + y = 0 и x − 2 y + 3 z − 6 = 0 ,2 x − y + 3z − 6 = 0 .7.Установить какие из следующих пар прямыхскрещиваются, параллельны, пересекаются или совпадают:25= 1 + 2t , y = 7 + t , z = 3 + 4t иx = 6 + 3t , y = − 1 − 2t , z = − 2 + t .b) x = 1 + 2t , y = 2 − 2t , z = − t и x = − 2t , y = − 5 + 3t , z = 4 .c) x = 2 + 4t , y = − 6t , z = − 1 − 8t иx = 7 − 6t , y = 2 + 9t , z = 12t .d) x = 1 + 9t , y = 2 + 6t , z = 3 + 3t иx = 7 + 6t , y = 6 + 4t , z = 5 + 2t .8.Установить взаимное расположение прямой и плоскости:x − 12 y − 9 z − 1==, 3x + 5 y − z − 2 = 0 .a)431x+ 1 y− 3 z== , 3x − 3 y + 2 z − 5 = 0 .b)243a) xСеминар 8, 9.

Характеристики

Список файлов семинаров