1611141306-b2dfe4473ec9d5441f959e37a90314bc (824999), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Лучи, выпущенные изфокуса, после отражения от параболы пойдут параллельно осипараболы.71Уравнение в полярных координатах. Если за полярнуюось принять ось Ox канонической системы координат, а заполюс – левый фокус в случае эллипса, правый фокус – вслучае гиперболы и фокус – в случае параболы, то уравнение вполярных координатах каждой из этих линий имеет один и тотpже вид ρ =, где ρ , ϕ – полярные координаты точки1 − e cos ϕкривой; p – фокальный параметр; e – эксцентриситет кривой(в случае параболы e = 1 ).Задачи1.Определить координаты фокуса параболы:a) y 2 = 4 x ; b) x 2 = 4 y ; c) y 2 = − 8 x .2.Составить каноническое уравнение параболы, если:a) расстояние фокуса от вершины равно 3;b) расстояние фокуса от директрисы равно 2;c) даны координаты фокуса F (3, 0) и уравнениедиректрисы x = − 1 .23.Составить уравнение касательной к параболе y = 4 x вточке M (9, 6) .4.Дано уравнение касательной x − 3 y + 9 = 0 к параболеy 2 = 2 px . Составить уравнение параболы.25.Составить уравнение параболы y = 8 x в полярныхкоординатах.26.Найти кратчайшее расстояние параболы y = 64 x отпрямой 4 x + 3 y + 46 = 0 .Семинар 26.
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.МЕТОД ЛАГРАНЖА72Определение. Квадратичной формой f от n переменныхx1 , ..., xn называется выражение f =nn∑∑i= 1 j= 1aij xi x j , где aij = a ji .Квадратичная форма f может быть записана в видеTпроизведения f = X T AX , где X = ( x1 , ..., xn ) , A = (aij ) .Определение. A называется матрицей квадратичнойформы f , а её ранг называется рангом квадратичной формы.Матрица A симметрическая, так как aij = a ji .Определение.Квадратичнаяформаназываетсядействительной или комплексной в зависимости от того,являются ли её коэффициенты действительными или жекомплексными числами.Определение.
Если rangA = n , т. е. матрица Aневырожденная, то и квадратичная форма f называетсяневырожденной.Преобразование координат. Подвергнем переменныелинейному преобразованию xi =n∑k= 1q ik y k или в матричномвиде X = QY , где Q = (qik ) . Тогда квадратичная формаизменится следующим образом f = Y T BY , где B = QT AQ .Утверждение. Ранг квадратичной формы не меняется привыполнении невырожденного преобразования.Определение. Форма называется канонической, если она22имеет вид f = b1 x1 + ... + bn xn . Форма называется нормальной,если bi = ± 1, 0 .Теорема. Всякая квадратичная форма может бытьприведенанекоторымневырожденнымлинейнымпреобразованиемкканоническомувиду.Еслирассматривается действительная квадратичная форма, то всекоэффициенты указанного преобразования можно считатьдействительными.73Определение.
Две квадратичные формы называютсяэквивалентными, если одна квадратичная форма может бытьполученаиздругойневырожденнымлинейнымпреобразованием переменных.Определение. Пусть квадратичная форма приведена кканоническому видуf = λ 1 x12 + ... + λ p x 2p + λ p + 1 x 2p + 1 + ... + λ p + q x 2p + q ,где λ 1 , ..., λ p > 0 , λ p + 1 , ..., λ p + q < 0 .
Тогда p – положительныйиндекс инерции квадратичной формы f , q – отрицательныйиндекс инерции формы f .Теорема. Если формы имеют одинаковые положительные иотрицательные индексы инерции квадратичной формы, то ониэквивалентны, и наоборот.Определение.Квадратичнаяформаназываетсяположительно определённой, если её значение строго большенуля на каждом ненулевом векторе.КритерийСильвестра.Квадратичнаяформасдействительными коэффициентами тогда и только тогда будетположительно определённой, когда все главные миноры еёматрицы строго положительны.Определение.
Миноры расположенные в левом верхнемуглу называются главными минорами матрицы.Алгоритм Лагранжа приведения квадратичной формы кканоническому виду. Пусть дана квадратичная формаf =nn∑∑i= 1 j = 1aij xi x j .a) Пусть существует хотя бы один коэффициент a ii неa11 ≠ 0 .равныйнулю.ДопустимТогда−12g = f − a11 (a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn )будетквадратичнойформой, содержащей лишь неизвестные x2 , ..., xn , но не x1 .Если обозначим y1 = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn , y i = xi ( i = 2, ..., n74f = a11− 1 y12 + g . Данное преобразование), то получимневырожденное, его детерминант равен a11 .b) Если aii = 0 для всех i = 1, ..., n , то предварительнонужно совершить вспомогательное линейное преобразование,приводящее к появлению в форме f квадратов переменных.Так как среди aij обязательно есть отличные от нулякоэффициенты, то пусть, например, a12 ≠ 0 . Совершимлинейное преобразование x1 = z1 − z2 , x 2 = z1 + z 2 , xi = z i приi = 3, ..., n .
Оно будет невырожденное, так как егоопределитель равен 2. В результате этого преобразованияпоявляютсяквадратыпеременных22иможно2a12 x1 x2 = 2a12 ( z1 − z2 )( z1 + z2 ) = 2a12 z1 − 2a12 z2действовать предыдущим способом.ЗадачиНайти методом Лагранжа нормальный вид квадратичнойформыи невырожденноелинейноепреобразованиеприводящее к этому виду:1) f = 2 x1 x 2 − 6 x 2 x3 + 2 x3 x1 ;f = x12 + x 22 + 3x32 + 4 x1 x 2 + 2 x1 x3 + 2 x 2 x3 ;3) f = x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 ;2)f = x12 + 2 x22 + x42 + 4 x1 x2 + 4 x1 x3 + 2 x1 x4 + 2 x2 x3 + 2 x2 x4 ++ 2 x3 x4 ;4)5)f = x12 + 2 x22 + 2 x32 + 3 x42 + 2 x1 x2 + 2 x2 x3 + 2 x3 x4 ;f = x12 + x22 + x32 + x42 + x52 + x62 − 2 x1 x3 − 2 x2 x4 − 2 x3 x5 −− 2 x4 x6 ;7) f = x1 x2 + 2 x2 x3 − 3 x3 x4 ;6)8)f = − x12 − x22 − x32 + x1 x2 + x2 x3 ;75f = 9 x12 + 4 x22 + x32 − 12 x1 x2 − 6 x1 x3 + 4 x2 x3 .10)Привести квадратичную форму к каноническому видупри всевозможных действительных значениях параметра λ :f = 2 x12 + 6 x22 + λ x32 + 8 x1 x2 + 4 x1 x3 .Найти все значения параметра λ , при которыхположительно определены квадратичные формы:22211) f = x1 + x 2 + 5 x3 + 2λ x1 x 2 − 2 x1 x3 + 4 x 2 x3 ;9)12)f = x12 + 4 x 22 + 5 x32 + 2λ x1 x 2 + 10 x1 x3 + 6 x 2 x3 ;13)f = λ x12 + 8 x22 + x32 + 16 x1 x2 + 4 x1 x3 + 4 x2 x3 ;f = (4 − λ ) x12 + (4 − λ ) x22 − (2 + λ ) x32 + 4 x1 x2 − 8 x1 x3 + 8 x2 x3 .Выяснить какие из следующих форм эквивалентны междусобой:22215) f 1 = x1 − x 2 x3 ; f 2 = y1 y 2 − y 3 ; f 3 = z1 z 2 + z3 ;14)16)f1 = 5 x12 + x22 + 2 x32 − 2 x1 x2 + 4 x1 x3 ;f 2 = 2 x12 + x22 + 2 x32 + 2 x1 x3 − 2 x2 x3 ;f 3 = 15 x22 − 4 x32 − 10 x1 x2 − 8 x1 x3 + 22 x2 x3 .17)Доказать, что квадратичная форма положительноопределена тогда и только тогда, когда её матрицапредставляется в виде A = C T C , где C – невырожденнаявещественная матрица.18)Прикаких условиях матрица A отрицательноопределена, т.е.
X T AX < 0 ∀ X ≠ 0 .Семинар 27. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУПусть есть прямоугольная декартовая система координатx, y и задано уравнениеΦ ( x, y ) = Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0(1)или в матричном виде76 A B x x + 2( D E ) + F = 0 ,y )(2) B C y yили Φ ( x, y ) = X T QX + 2G T X + F = 0 ,(3) x D A B .где X = , G = , Q = y E B CОпределение. Множество точек, удовлетворяющих этомууравнению, называется линией второго порядка.A B DA Bδ =, ∆ = B C EA, B, C ≠ 0ПустьиB CD E FΦ ( x, y ) = ( xодновременно. Уравнение (1) определяет одну из следующихлиний:I.
δ ≠ 0 . К первой группе относятся линии, имеющиеединственный центр симметрии: 1 − эллипс,x2 y 2 += 0 − две мнимые пересекающиеся прямые,a2 b2 − 1 − мнимый эллипс,x 2 y 2 1 − гипербола,−= a 2 b 2 0 − две пересекающиеся прямые.II. δ = 0, ∆ ≠ 0 . Ко второй группе относятся линии, неимеющие центра симметрии, т. е. только одна парабола:y 2 = 2 px − парабола .III.
δ = 0, ∆ = 0 . К третьей группе относятся линии,имеющие прямую центров симметрии: a 2 , a ≠ 0 − две параллельные прямые,x 2 = − a 2 , a ≠ 0 − две мнимые параллельные прямые, 0 − две совпадающие прямые.Приведение уравнения линии второго порядка кканоническому виду:77I. δ ≠ 0 .a) Выберем новую систему координат x = x′ + x0 ,y = y′ + y0 так, чтобы линейные члены в уравнении исчезли:Φ ( x ′ , y ′ ) = Ax ′ 2 + 2 Bx ′ y ′ + Cy ′ 2 + 2 x ′ ( Ax0 + By 0 + D) ++ 2 y ′ ( Bx0 + Cy 0 + E ) + F ′ = 0 ,F ′ = Φ ( x0 , y 0 ) = G T X 0 + F = ∆ δ .Определение.
Точка ( x 0 , y 0 ) , координаты которойAx0 + By0 + D = 0 ,удовлетворяютсистемеуравненийBx0 + Cy0 + E = 0 , называется центром линии второго порядка.При этом поскольку δ ≠ 0 , то линия имеет единственныйцентр симметрии. Такая линия называется центральной.В результате, после переноса начала координат в центрсимметрии имеем Φ ( x ′ , y ′ ) = Ax ′ 2 + 2 Bx ′ y ′ + Cy ′ 2 + F ′ = 0 .b) Теперь сделаем поворот системы координат так, чтобыквадратичная форма привелась к главным осям. Известно, чтоесли в качестве базиса взять ортонормированные собственныевекторы матрицы квадратичной формы Q , то квадратичнаяформа приведется к виду A′ x ′′ 2 + C ′y ′′ 2 , а уравнениеповерхности примет вид A′ x ′′ 2 + C ′y ′′ 2 + F ′ = 0 . При этом,поскольку δ ≠ 0 , то A′ , C ′ ≠ 0 .
Здесь X ′ = TX ′′ , где T –матрица, состоящая из ортонормированных собственныхвекторов матрицы квадратичной формы Q , A′ , C ′ –собственные числа матрицы Q .II, III. δ = 0 .Cделаем поворот системы координат так, чтобыквадратичная форма привелась к главным осям. В базисе изортонормированных собственных векторов уравнение (1)будет иметь вид A′ x ′ 2 + C ′y ′ 2 + 2 D ′ x ′ + 2 E ′y ′ + F = 0 , где( D′ E ′ ) = ( D E )T . Поскольку δ = 0 , то либо A′ = 0 , либо78C ′ = 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
