1611141306-b2dfe4473ec9d5441f959e37a90314bc (824999), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.МЕТОД ГАУССАОпределение. Система уравнений видаa11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 ,a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b2 ,(1)...............................................a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bmназывается системой линейных алгебраических уравнений.Здесь m и n – произвольные целые положительные числа.Определение.

Число bi называется свободным членом i -гоуравнения.Определение. Система называется однородной, если bi = 0для i = 1, ..., m .Определение. Коэффициенты при неизвестных составляютпрямоугольную таблицу:26a11a21a12a22... a1n... a2 n... ... ... ...am1 am 2 ... amn,(2)называемую матрицей размера m × n и сокращеннообозначаемую символом ( aij ) или просто буквой A .Наряду с матрицей (2) рассматривают и расширеннуюматрицу ( aij | bi ) системы (1), получаемую из (2) добавлениемстолбца свободных членов.Определение.

Если каждое из уравнений системы (1)обращается в тождество после замены неизвестных xi0000числами xi , то упорядоченный набор из n чисел x1 , x2 , ..., xnназывается решением системы (1).Определение. Система, не имеющая ни одного решения,называется несовместной. Если же у системы есть решения, тоона называется совместной и притом определенной, еслирешение единственно.

Решений может быть и более одного,тогда система называется неопределенной.Определение. Пусть нам дана ещё одна линейная систематого же размера:′ x1 + a12′ x 2 + ... + a1′ n x n = b1′ ,a11′ x1 + a 22′ x 2 + ... + a 2′ n x n = b2′ ,a 21(3)...............................................a m′ 1 x1 + a ′m 2 x 2 + ... + a ′mn x n = bm′Линейные системы (1), (3) называются эквивалентными, еслиони либо несовместны, либо совместны и обладают одними итеми же решениями.Определение. Элементарными преобразованиями системыуравнений называются следующие преобразования:27a) если в системе (1) все уравнения, кроме i -го и k -го,остались прежними, а i -е и k -е уравнения поменялисьместами;b) если в системе (1) все уравнения, кроме i -го, осталисьпрежними, а к i -му уравнению прибавлено k -е, умноженноена α .Теорема. Две линейные системы (1) и (3) эквивалентны,если одна получается из другой путем применения конечнойпоследовательности элементарных преобразований.Метод Гаусса (приведение к ступенчатому виду).

Путемпоследовательного применения элементарных преобразованийможно перейти от заданной системы уравнений к системеболее простого вида.Среди коэффициентов ai1 имеется хотя бы один отличныйот нуля. Если a11 = 0 , то поменяем местами первое уравнение′ . Вычтем изс таким j -м, что a j1 ≠ 0 . Обозначим его через a11i -го уравнения (i = 2, ..., m) новой системы первое уравнение,′ . В результате получим систему, вумноженное на ai1 a11которой x1 входит только в первое уравнение. При этом можетоказаться, что вторая неизвестная также не входит во всеуравнения с номером i > 1 .

Пусть x k – неизвестная снаименьшим номером, которая входит в какое-нибудьуравнение, не считая первого. Получим систему′ x1 +a11... + a1′ n x n = b1′ ,a 2′ k x k + ... + a ′2 n x n = b2′ ,′ ≠ 0.k > 1, a11....................................′ x k + ... + a mn′ x n = bm′ ,a mkНе обращая внимания теперь на первое уравнение, применимко всем оставшимся те же рассуждения, что и ранее.

Послеряда элементарных преобразований система примет вид28′ ′ x1 +a11... + a1′ n′ x n = b1′ ′,a 2′ ′k x k +... + a ′2′n x n = b2′ ′,a3′ ′l xl + ... + a3′ ′n x n = bm′ ′....................................′ ′ xl + ... + a ′mn′ x n = bm′ ′ ,a ml′ ′ ≠ 0, a 2′ ′k ≠ 0 .Здесь l > k > 1, a11Будем применять этот процесс пока это возможно. При этомсистема примет видa11 x1 +... + a1n xn = b1 ,a2 k xk +... + a2 n xn = b2 ,a3l xl +... + a3n xn = b3....................................ars xl + ... + arn xn = br ,(4)0 = br + 1 ,..........0 = bm .Здесь m > ...

> s > l > k > 1, a11 ⋅ a2 k ⋅ a3l ⋅ ... ⋅ ars ≠ 0 .Про систему уравнений вида (4) говорят, что она имеетступенчатый вид.Теорема.Всякаясистемалинейныхуравненийэквивалентна системе, имеющей ступенчатый вид.Очевидно, что если система уравнений (4) содержитуравнения вида 0 = bt с bt ≠ 0 , то эта система несовместна.Определение. Пусть bt = 0 при t > r . Назовем неизвестныеx1 , xk , xl , ..., xs главными, а остальные неизвестные, еслитаковые имеются, – свободными.Придадим свободным неизвестным произвольные значенияи подставим их в уравнения системы (4).

Тогда значения29главных неизвестных определяются однозначно из системы(4).ЗадачиИсследовать совместность и найти общее решение и одночастное решение системы линейных уравнений:1) x1 + 2 x2 + 3 x3 + x4 = 3,x1 + 4 x2 + 5 x3 + 2 x4 = 2,2 x1 + 9 x2 + 8 x3 + 3 x4 = 7,3 x1 + 7 x2 + 7 x3 + 2 x4 = 12,5 x1 + 7 x2 + 9 x3 + 2 x4 = 20;2) 12 x1 + 14 x2 − 15 x3 + 23x4 + 27 x5 = 5,16 x1 + 18 x2 − 22 x3 + 29 x4 + 37 x5 = 8,18 x1 + 20 x2 − 21x3 + 32 x4 + 41x5 = 9,10 x1 + 12 x2 − 16 x3 + 20 x4 + 23x5 = 4;3) 10 x1 + 23 x2 + 17 x3 + 44 x4 = 25,15 x1 + 35 x2 + 26 x3 + 69 x4 = 40,25 x1 + 57 x2 + 42 x3 + 108 x4 = 65,30 x1 + 69 x2 + 51x3 + 133x4 = 95;4) x1 − 2 x2 + 3 x3 − 4 x4 = 4,x2 − x3 + x4 = − 3,x1 + 3x2+ 3x4 = 1,− 7 x2 + 3 x3 + x4 = − 3;5) x1 + 2 x2 + 3x3 + 4 x4 = 11,2 x1 + 3 x2 + 4 x3 + x4 = 12,3 x1 + 4 x2 + x3 + 2 x4 = 13,4 x1 + x2 + 2 x3 + 3x4 = 1;306) 18 x1 + 6 x2 + 3 x3 + 2 x4 = 5,− 12 x1 − 3x2 − 3 x3 + 3x4 = 12,4 x1 + 5 x2 + 2 x3 + 3 x4 = 3,2 x1 + 4 x2 + x3 + 4 x4 = 2.Семинар 10.

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВАОпределение. Векторным пространством V называетсямножество, на элементах которого, называемых векторами,определены две операции: сложения векторов ( a, b → a + b ) иумножения вектора на число ( λ – число, a – вектор;λ , a → λ a ) так, что выполнены аксиомы векторногопространства:1) (a + b) + c = a + (b + c) ; 2) a + b = b + a ;3) ∃ 0 : a + 0 = a ;4) ∃ − a : a + (− a ) = 0 ;5) λ (a + b) = λ a + λ b ;6) (λ + µ )a = λ a + µ a ;7) (λ µ )a = λ ( µ a ) ;8) 1 ⋅ a = a .Определение.

Система векторов a1 , ..., an называетсялинейно независимой, если из того, что некоторая их линейная nкомбинация равна нулю  ∑ λ i ai = 0  , следует, что все i= 1коэффициенты равны нулю ( λ 1 = ... = λ n = 0 ).Утверждение. Пусть a1 , ..., an – линейно независимаясистема векторов и вектор a является линейной комбинациейвекторов a1 , ..., an : a =n∑i= 1λ i ai . Тогда, коэффициенты λ 1 , ..., λ nопределены однозначно и называются координатами вектораa относительно линейно независимой системы векторовa1 , ..., an .31Определение.Базисомвекторногопространстваназывается максимальная линейно независимая системавекторов.Определение.

Размерностью векторного пространства Vназывается максимальное число линейно независимыхвекторов, содержащихся в этом пространстве и обозначаетсяdim V . Если dim V = n , то часто пишут V n .Определение. Подмножество P векторного пространстваVназывается подпространством, если оно замкнутоотносительно операций над векторами, т. е. если a, b ∈ P , тоa + b ∈ P , и если a ∈ P , то ∀ λ λ a ∈ P , где λ – число.Определение.

Линейной оболочкой множества векторовx1 ,..., x n называется совокупность всевозможных линейныхкомбинаций вида λ 1 x1 + ... + λ n xn , где λ i – числа.Утверждение. Линейная оболочка является векторнымпространством.Теорема. Если A = (a ij ) – матрица перехода от старого'базиса к новому, т. е. ei =векторавыражаютсяn∑j= 1черезследующим образом: xi =n∑j= 1a ji e j , то старые координатыновыекоординатывектораa ji xi' .В матричном виде эту теорему можно сформулировать так:Если E ′ = EA , то X = AX ′ , где E ′ – матрица, составленная извекторов столбцов нового базиса, E – матрица, составленнаяTиз векторов столбцов старого базиса, X ′ = ( x1′ , ..., x′n ) ,X = ( x1 , ..., xn ) .TЗадачи1.Доказать утверждения:32a)конечная система векторов, содержащая нулевой вектор,линейно зависима;b)конечная система векторов, содержащая два равныхвектора, линейно зависима;c)если система векторов линейно независима, то любая еёподсистема также линейно независима;d)если векторы a1 , ..., ak линейно независимы, а векторыa0 , a1 , ..., ak линейно зависимы, то вектор a0 являетсялинейной комбинацией векторов a1 , ..., ak .2.Может ли быть линейно зависимой система, состоящая изодного вектора?3.Доказать, что для любых трех векторов a, b, c и любыхтрех чисел α , β , γ векторы α a − β b, γ b − α c, β c − γ a линейнозависимы.4.Проверить, что векторы a = {− 5, − 1} , b = {− 1, 3} образуютбазисна плоскости.Найтикоординатывекторовc = {− 1, 2}, d = {2, − 6} в этом базисе.a = {4, 1, − 1}, b = {1, 2, − 5},5.Проверить,что векторыc = {− 1, 1, 1} образуют базис в пространстве.

Найтикоординаты векторов d = {4, 4, − 5} , e = {2, 4, − 10} в этомбазисе.6.Зная радиус-векторы r1 , r2 , r3 вершин треугольника, найтирадиус-вектор центра окружности, вписанной в треугольник.7.Выяснить, является ли векторным пространством данноемножество векторов в n -мерном пространстве, и еслиявляется, то найти его размерность:a)множество векторов, все координаты которых равнымежду собой;b)множество векторов, первая координата которых равнанулю;c)множество векторов, сумма координат которых равна 0;d)множество векторов, сумма координат которых равна 1;33e)множествовекторов плоскости, параллельных даннойпрямой;множество векторов трехмерного пространства,перпендикулярных данной прямой.8.Доказать, что множество матриц размера m × n образуетвекторное пространство относительно обычных операцийсложения матриц и умножения матрицы на число.

Найтиразмерность и какой-нибудь базис этого пространства.9.Найти размерность и какой-нибудь базис линейнойоболочки системы многочленов (1 + t )3 , t 3 , 1, t + t 2 .535310.Доказать, что многочлены 2t + t , t − t , t + t образуютбазис в пространстве нечетных многочленов степени не выше5, и найти координатный столбец многочлена 5t − t 3 + 2t 5 вэтом базисе. 1 − 1  2 5   3 4   1 1 ,  ,  , 11.Доказать, что матрицы  1 − 1  1 3   5 7   0 1образуют базис в пространстве квадратных матриц порядка 2, 5 14  в этоми найти координатный столбец матрицы  6 13 базисе.12.Выяснить, какие из следующих совокупностей матрицпорядка n над полем F образуют подпространства впространстве матриц M n (F ) , найти их базисы и размерности:a)все матрицы;b)симметрические матрицы;c)невырожденные матрицы;d)вырожденные матрицы;e)матрицы со следом равным нулю.13.Доказать, что при любом натуральном n множествомногочленов степени не выше n (обозначается P (n ) ) образуетконечномерноевекторноепространствоотносительнообычных операций сложения многочленов и умножения начисло; найти размерность и указать базис этого пространства.f)34базисов f = ( f1 , ..., f n ) и g = ( g1 , ..., g n ) заданысвоими координатными столбцами относительно третьегобазиса e = (e1 , ..., en ) .

Характеристики

Список файлов семинаров