1611141306-b2dfe4473ec9d5441f959e37a90314bc (824999), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Если P и Q векторные подпространствапространства V , то их сумма P + Q – векторноеподпространство пространства V .Определение. Если P и Q векторные подпространствапространства V , то их пересечением называется множество,состоящее из векторов z таких, что z ∈ P , z ∈ Q , иобозначается P ∩ Q .Утверждение. Если P и Q векторные подпространствапространства V , то их пересечение тоже подпространство.Определение. Сумма векторных пространств P + Q = Wназывается прямой суммой, если произвольный вектор z ∈ Wединственным образом представляется в виде суммы z = v + w, где v ∈ P , w ∈ Q .

Обозначается прямая сумма таким образом:P⊕ Q = W .Определение. Говорят, что векторное пространство Vразложено в прямую сумму подпространств P и Q , еслиP⊕ Q = V .P ⊕ Q = V , то говорят, чтоОпределение. Еслиподпространство Q является дополнением к подпространствуP.54Утверждение. Сумма P + Q является прямой ( P ⊕ Q)тогда и только тогда, когда их пересечение состоит только изнулевого вектора ( P ∩ Q = {0}) .Утверждение. Из каждых двух условий в списке следуеттретье:1) P + Q = V ; 2) P ∩ Q = {0} ; 3) dim P + dim Q = dim V .Утверждение.

dim( P + Q) = dim P + dim Q − dim( P ∩ Q) .ЗадачиНайти размерность и базис суммы и пересечения векторныхподпространств, представляющих собой линейные оболочкиследующих систем векторов:1) a1 = {1, 3}, a2 = {1, 4}, a3 = {3, 10},b1 = {− 1, 1}, b2 = {2, − 2}, b3 = {3, − 3};2) a1 = {4, 2, 1}, a2 = {− 3, 2, 0}, a3 = {− 1, 4, 0},b1 = {− 2, 3, 1}, b2 = {5, 3, 13}, b3 = {7, 0, 12};3) a1 = {1, 1, 1}, a2 = {− 2, − 2, − 2}, a3 = {4, 4, 4},b1 = {3, 2, 1}, b2 = {2, 1, 1}, b3 = {5, 3, 2};4) a1 = {1, 2,1, 3}, a2 = {− 1, 8, − 6, 5}, a3 = {0, 10, − 5, 8},b1 = {1, 4, − 1, 5}, b2 = {3, − 2, 6, 3}, b3 = {4, 2, 5, 8};5) a1 = {2, − 1, 0, − 2}, a2 = {3, − 2, 1, 0}, a3 = {1, − 1,1, − 1},b1 = {3, − 1, − 1, 0}, b2 = {0, − 1, 2, 3}, b3 = {5, − 2, − 1, 0};6) a1 = {1, 2, 0, 1}, a2 = {1, 1, 1, 0}, a3 = {1, 1, 1, 3}, a4 = {1, 0, 1, 3} ,b1 = {1, 2, 0, 2}, b2 = {1, 2, 1, 2}, b3 = {3, 1, 3, 1}, b4 = {1, 1, 2, 2};7) Доказать, что пространство квадратных матриц порядкаn является прямой суммой подпространства симметрическихматриц и подпространства кососимметрических матриц тогоже порядка.8) Доказать, что пространство многочленов степени невыше n является прямой суммой подпространства четных55многочленов степени не выше n и подпространства нечетныхмногочленов степени не выше n .9) Найти размерность и базис суммы и пересечениявекторных подпространств пространства многочленов степенине выше 3, натянутых на системы многочленов 1 + 2t + t 3 ,1 + t + t 2 , t − t 2 + t 3 и 1 + 3t + t 3 , 1 + t 2 , 3t − t 2 + t 3 .Семинар 19.

ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ИПРЕОБРАЗОВАНИЯОпределение. Пусть V n и V m – линейные пространстванад одним и тем же полем ( R или C ). Отображениеϕ : V n → V m называется линейным, если для любых векторовx, y ∈ V n и любого числа αсправедливы равенстваϕ ( x + y ) = ϕ ( x ) + ϕ ( y ) , ϕ (α x) = α ϕ ( x) .Определение. Линейным преобразованием называетсялинейное отображение пространства V n в себя.e = { e1 , ..., en }Определение.

Пусть– базисV n,f = { f1 , ..., f m } – базис V m . Тогда матрицей линейногоотображения ϕ в базисах e, f называется матрица A = Aϕ ,столбцами которой являются координатные столбцы векторовϕ (e1 ), ..., ϕ (en ) в базисе f , т. е. ϕ (e j ) = aij f i . Если V n = V m , томатрицей линейного преобразования ϕ в базисе e называетсяматрица линейного отображения ϕ : V n → V n в базисе e , т. е.ϕ (e j ) =n∑i= 1aij ei .Утверждение. Пусть x =n∑i= 1xi ei , y = ϕ ( x) =56m∑j= 1y j f j . Тогда y1   a11 ... a1n   x1   y = Aϕ x , т.е.  ...

 =  ... ... ...   ...  . y  a  m   m1 ... a mn   x n Определение. Множество значений ϕ (x) , x ∈ V n , называютобразом линейного отображения ϕ и обозначают Im ϕ . Онообразует линейное подпространство в V m . Его размерностьназывается рангом отображения ϕ и обозначается rangϕ .ϕОпределение. Ядром линейного отображенияnназывается множество Kerϕ = x ∈ V , ϕ ( x) = 0 .

Дефектомлинейного отображения ϕ называется размерность ядра, т. е.dim( Kerϕ ) .Теорема. Пусть e и e′ – два базиса в пространстве V n , fи f ′ – два базиса в пространстве V m , S и T матрицыперехода от e к e′ (e ′ = eS ) и от f к f ′ ( f ′ = fT )соответственно. Если Aϕ и Aϕ′ – матрицы линейного{}−1отображения в парах базисов e, f и e′ , f ′ , то Aϕ′ = T Aϕ S . В−1частности, если V n = V m , то Aϕ′ = S Aϕ S .Определение.

Отображение ϕ называется вырожденным,если Kerϕ ≠ {0} , в противном случае – невырожденным.Определение.Взаимно-однозначноелинейноеnmотображение пространствананазываетсяVVnmизоморфизмом V на V . Если существует изоморфизм V n наV m , то пространства V n и V m называются изоморфными.Задачиx = ( x1 , x2 , ..., xn )T – произвольный векторИсследовать линейность преобразования ϕ , если:a) ϕ ( x) = ( x 2 , x1 − x 2 ) T , (n = 2);b) ϕ ( x) = ( x 2 , x1 x 2 ) T , (n = 2);1.Пусть57Rn .Tc) ϕ ( x) = ( x 2 , x1 − 3, x3 ) , (n = 3);Td) ϕ ( x) = (sin x1 , cos x 2 , x3 ) , (n = 3);Te) ϕ ( x) = ( xn , xn − 1 , ..., x1 ) .n -мерного2.Линейноеотображениевекторногопространства в m -мерное задано матрицей A .

Найти его ядрои образ. Вычислить образы указанных векторов: 1 2 4 1a) m = 3, n = 4 , x T = { 4,− 1,− 1,3} , A =  2 2 3 1 ; 4 0 1 112b) m = 4, n = 4 , x T = { − 1,1,1,− 1} , A = 343 44 5;5 66 7 0 − 2 0 1 2 1 − 1 50 0 .c) m = 5, n = 4 , x T = { − 2,1,3,− 1} , A =  − 1 121 5 0 4 − 1 1 7nm3.Линейное отображение ϕ : R → R задано в стандартныхбазисах матрицей A . Кроме этого заданы базисы e = { e1 , ..., en }пространства R n и f = { f1 , ..., f m } пространства R m , а именнозаданы матрицы S, T , образованные столбцами векторовбазисов e и f . Вычислить матрицу отображения ϕ в базисахe и f:44  5 − 1 2 1 5 − 8 , S =  2 .64  , T = a) A =  1 − 1 0 2 − 3 − 3 − 5 − 3582345 1 1 7 − 3 2 5 , T =  ,b) A = 1 − 1 − 1 1  1 3110 1111 0S= .−1 0 −1 1 1 − 1 0 − 1преобразование ϕ : R 2 → R 2 переводит векторai в вектор bi .

Вычислить матрицу преобразования ϕ встандартном базисе, если 1 − 1 2 − 3 .a1 =   , a2 =   , b1 =   , b2 =  − 1 2 0 1 5.Показать, что существует единственное линейноепреобразование комплексного арифметического пространствавAC 2 , переводящее столбцы данной матрицысоответствующие столбцы матрицы B : i 1 i − 1 i + 1 , B =  .A = 1 i i + 1 i − 16.Линейное преобразование ϕ имеет в данном базисематрицу Aϕ , а координатные столбцы новых базисныхвекторов образуют матрицу S . Вычислить матрицупреобразования в новом базисе, если2  0 2 1 , S =  .Aϕ =  − 1 − 3 − 1 − 17.ПустьD – дифференцирование в пространствемногочленов степени не выше m .

Вычислить матрицупреобразования D , если базис состоит из многочленов:a) 1 + t , t + 2t 2 , 3t 2 − 1 , (m = 2) ;b) t 3 + 1, 1 − t , 1 − t + t 2 , 1 − t + t 2 − t 3 , (m = 3) .4.Линейное598.ПустьA и B – матрицы линейного отображения в двухпарах базисов. Доказать, что B можно получить из Aэлементарными преобразованиями строк и столбцов.ϕ : R3 → R29.Линейноеотображениевбазисах 0 1 2 . Найтиa1 , a2 , a3 ∈ R 3 и b1 , b2 ∈ R 2 имеет матрицу  3 4 5матрицу отображения ϕ в базисах {a1 , a1 + a2 , a1 + a2 + a3} и{b1 , b1 + b2 } .Семинар 20. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫОпределение. Линейное преобразование и линейныйоператор – это синонимы.Определение. ПодпространствоназываетсяP⊂ Vnnинвариантным относительно оператора ϕ : V → V n , еслиϕ ( P) ⊆ P (т.

е. ϕ не выводит векторы из P за пределы P ).Лемма. Следующие утверждения эквивалентны: 1) матрицаAϕ обратима; 2) оператор ϕ обратим.Определение. Вектор x ≠ 0 такой, что ϕ ( x) = λ xназывается собственным вектором оператора ϕ , а λназывается собственным значением ϕ .Лемма. det( A − λ E ) = 0 ⇔ λ – собственное значение.~~Лемма. Если A= TAT − 1 , то ∀ λ det( A − λ E ) = det( A − λ E ) .Определение. Многочлен fϕ (λ ) = det( A − λ E ) называетсяхарактеристическим многочленом оператора ϕ (определенкорректно, так как не зависит от выбора базиса в которомнаходим матрицу оператора ϕ )fϕ (λ ) = det( A − λ E ) = (− λ ) n + trA(− λ ) n− 1 + ...

+ det A .Определение. Следом матрицы называется сумма еёдиагональных элементов: trA =n∑i= 160aii .Определение. Если λ – собственное число оператора ϕ , тоего алгебраической кратностью nλ называется кратностькорня λ в f ϕ . Геометрической кратностью называется числоpλ , равное размерности пространства собственных векторовpλ = dim{ x ϕ ( x) = λ x} .Лемма. Геометрическая кратность всегда меньше либоравна алгебраической кратности: p λ ≤ nλ .Определение.

Множество всех собственных чиселоператора ϕ называется спектром оператора ϕ .Определение. Спектр называется простым, если всесобственные числа имеют алгебраические кратности равные 1:nλ i = 1 .Теорема. Если есть базис векторного пространства,состоящий из собственных векторов оператора ϕ , то в этомбазисе оператор ϕимеет диагональную матрицу:ϕ (ei ) =n∑j= 1a ji e j = λ i ei ⇒ a ji = λ iδ ji .Определение. Оператор ϕназывается диагонализируемым, если найдется базис e1 , ..., en пространства V n , вкотором матрица Aϕ оператора ϕ диагональна.Теорема. Оператор ϕ – диагонализируемый ⇔ ϕ имеетвещественный спектр и nλ = pλ .Замечание. Диагонализируемость зависит от поля, надкоторым определено пространство V n . Вещественнаяматрица, имеющая комплексные характеристические числа, недиагонализируема как матрица линейного преобразования ввещественномпространстве,номожетбытьдиагонализирована над полем комплексных чисел.Определение.

Линейная оболочка всех собственныхвекторов, отвечающих одному и тому же собственномузначению λ , называется собственным подпространством61линейного оператора ϕ . Оно же называется инвариантнымподпространством оператора ϕ .Теорема Гамильтона – Кэли. Линейный оператор ϕ исоответствующая ему матрица A (в любом базисе)аннулируются своим характеристическим многочленом, т. е.,nесли f A (λ ) = det( A − λ E ) = Π (λ − λ i ) i , то f A ( A) = 0 .ЗадачиДиагонализируема ли матрица A ? Если да, тодиагонализировать её и найти матрицу перехода. Найти всеинвариантные подпространства.11  1 1 1 122 ;1) A =  2 2 2  ; 2) A =  2 3 3 3 − 3 − 3 − 3103)4);00 0 0 − 1114  0 20 1 0 0 − 2 − 1 − 2 − 25) A = ; 6) A = .0 −1 0 0− 2 − 2 − 2 − 2−1 0 0 0  111−17)Пусть x – собственный вектор линейногопреобразования ϕ , λ – его собственное значение, p (t ) –многочлен.

Характеристики

Список файлов семинаров