1611141306-b2dfe4473ec9d5441f959e37a90314bc (824999), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

...... ... ...111... n − x3.Вычислить определители:x a b 0 ca 3 0 50 y 0 0 d0 b 0 2a); b) 0 e z 0 f .1 2 c 3g h k u l0 0 0 d0 0 0 0 v4.Пользуясь свойствами 1–9, вычислить следующийопределитель43a1na2 na3n ....annabc1bca1.cab1b+ c c+ a a+ b 25.Пользуясь свойствами 1–9, доказать тождество0 x y z 0 1 1 1x 0 z y 1 0 z2 y2=.y z 0 x 1 z 2 0 x2z y x 0 1 y2 x2 06.Вычислить определители:2 −5 43 6 5a c1 3a); b); c) 3 − 4 7 ; d) 5 9 7 ;b d2 54 −9 86 12 131 1 1 11 −1 1 1e); f)1 1 −1 11 1 1 −1−3 936−5 82 − 7h);4 −5 −3 −37 −8 − 4 −511111 10 11 01 13542i)432911;1059706849g)717772652 −5 1−3 7 −15 −9 24 − 6 15254.525024;72Семинар 14.

ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ n -го ПОРЯДКАОпределение. Минором порядка s ( s ≤ n) матрицы Aназывается определитель матрицы, образующейся впересечении каких-либо s строк и s столбцов матрицы A .44Если эти строки имеют номера i1 , ..., is , а столбцы – номераj1 , ..., js , то соответствующий минор обозначается как Li1j1,,...,..., ijss :i1 , ..., i sj1 , ..., j sLai1 j1= ...ais j1... ai1 j sis... ...

. Через M ij11 ,, ...,..., j s... ai s j sобозначаем минор,i , ..., iдополнительный к минору L 1j1 , ..., jss , т. е. определитель матрицыпорядка n − s , полученный из A вычеркиванием выделенныхстрок и столбцов.Теорема Лапласа. Для любого натурального числаs ( s ≤ n) и любого фиксированного набора номеров строкi1 , ..., is1 ≤ i1 < i2 < ...

< is ≤ n ,det A =таких,чтоi1 + j1 + ... + i s + j s i1 , ..., i si1 , ..., i s= ∑ (-1)L j1 , ..., j s M j1 , ..., j s , где сумма берется по( j1 ,..., j s )всевозможным наборам значений индексов j1 , ..., js , таким,что 1 ≤ j1 < j 2 < ... < j s ≤ n .

Формула называется формулойразложения определителя по данным s строкам. Аналогичнаформула разложения определителя по данным s столбцам.Методы вычисления определителей n -го порядка:1.Метод приведения к треугольному виду. Этот методзаключается в преобразовании определителя к такому виду,где все элементы, лежащие по одну сторону от одной издиагоналей, равны нулю. Случай побочной диагонали путемизменения порядка строк (или столбцов) сводится на случайглавной диагонали. Полученный определитель равенпроизведению элементов главной диагонали.2.Метод выделения линейных множителей: определительрассматривается как многочлен от одной или несколькихвходящих в него переменных; преобразуя его, обнаруживают,что определитель делится на ряд линейных множителей, азначит и на их произведение.453.Метод рекуррентных соотношений.

Он заключается втом, что данный определитель выражают, преобразуя иразлагая его по строке или по столбцу, через определителитого же вида, но более низкого порядка. Полученноеравенство называется рекуррентным соотношением.4.Метод представления определителя в виде суммыопределителей. Некоторые определители легко вычисляютсяпутем разложения их в сумму определителей того же порядкаотносительно строк или столбцов.5.Метод изменения элементов определителя. Этот методприменяется в тех случаях, когда путем изменения всехэлементов определителя на одно и то же число он приводитсяк такому виду, в котором легко сосчитать алгебраическиедополнения всех элементов. Пустьa11 ... a1na11 + x ...

a1n + xD = ... ... ... , D = ......... .an1 ... annan1 + x ... ann + xnТогда D′ = D + x ∑ Aij .i, j = 1Задачи1.Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определители:5 1 2 70 5 2 03 0 0 28 3 5 4a); b);1 3 4 57 2 4 12 0 0 30 4 1 0465 2 1 3 22 1 4 3 54 0 7 0 03 4 0 5 0c) 2 3 7 5 3 ; d) 3 4 5 2 1 .2 3 6 4 51 5 2 4 33 0 4 0 04 6 0 7 02.Вычислить определители n -го порядка:x1 a12 a13 ...

a1n123x1 x 2 a 23 ... a 2 n1 x+ 1 32x+ 1a) x1 x 2 x 3 ... a 3n ; b) 1... ... ... ... ...... ......x1 x 2 x 3 ... x n123c)0 1 11 a1 01 0 a2... ... ...1 0 0... 1... 0... 0 ;... ...... and)11e) 1...1101...1110...1...............111;...012g) 2...2222...2223...2...............222 ; h)...nf)111a1a2a322a1a2a32.........n− 1n− 1a1a2a3n− 1a1 xx a2x x... ...x xx1a2b1a3b1...anb147xxa3...xa1b2x2a3b2...an b2...n...n...n ;... ...... x + 1... 1... an... an2 ;... ...... ann− 1... x... x... x ;...

...... ana1b3a2b3x3...an b3... a1bn... a2bn... a3bn .... ...... xnСеминар 15. РАНГ МАТРИЦЫОпределение. Наивысший порядок отличных от нуляминоров, т.е. такое число p , что в матрице A нет отличногоот нуля минора порядка p + 1 , но есть такой минор порядка p, называется рангом матрицы A и обозначается rangA . Ясно,что 0 ≤ rangA ≤ min(m, n) , где m × n – размер матрицы.Утверждение. Если в матрице A имеется отличный отнуля минор порядка p , обладающий тем свойством, что все«окаймляющие» его миноры порядка p + 1 равны нулю, торанг матрицы равен p .Следствие. Определитель квадратной матрицы тогда итолько тогда отличен от нуля, когда его строки линейнонезависимы.Теорема.Размерностьпространствастрокравнаразмерности пространства столбцов и равна наибольшемуразмеру минора этой матрицы отличному от нуля.ЗадачиНайти ранг следующих матриц методом окаймленияминоров: 2 − 1 3 − 2 4 8 2 2 − 1 11 7  ; 2)  1 7 4 − 2 5  ;1)  4 − 2 5 2 − 2 1 8 2 − 2 4 2 − 1 35 − 19 1 3 1 7 72 −1 − 3 4 7 5 1 − 13) ;4) ;5 1 −1 74 2 − 1 − 37 7−1 1 3915Найти ранг матрицы в зависимости от параметра λ :48000  3 1 1 4 1− λ1− λ00  λ 4 10 1  05) ;6) .1 7 17 3 002− λ3  2 2 4 3 0003 − λ Вычислить ранг матриц с помощью элементарныхпреобразований: 25 31 17 43  24 19 36 72 − 38  75 94 53 132  49 40 73 147 − 80 7) ; 8) .75 94 54 134 73 59 98 219 − 118  25 32 20 48  47 36 71 141 − 72 Выяснить являются ли следующие системы векторовлинейно зависимыми или линейно независимыми и в первомслучае определить зависимость между векторами:a1 = (1,0,0,2,5),a1 = (4, − 5, 2, 6),a2 = (2, − 2, 1, 3),9)a3 = (6, − 3, 3, 9),11)10)a2 = (0,1,0,3,4),a3 = (0,0,1,4,7),a4 = (4, − 1, 5, 6).a1 = (2, − 1, 3, 5),a3 = (2,3,4,8,9).a1 = (1, 2, 3, − 4),a2 = (4, − 3, 1, 3),a2 = (2, 3, − 4, 1),a3 = (3, − 2, 3, 4),a4 = (4, − 1, 15, 17),12) a3 = (2, − 5, 8, − 3),a4 = (5, 26, − 9, − 12),a5 = (7, − 6, − 7, 0).a5 = (3, − 4, 1,2).Семинар 16.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. МАТРИЧНОЕУРАВНЕНИЕ.Определение. Если det A ≠ 0 , то матрица A обратима.Обратная матрица обозначается A− 1 . Она обладает свойством49AA− 1 = A− 1 A = E . Пусть A− 1 = B , тогда bik =Aki, где Aki –det Aалгебраическое дополнение элемента aki .Задачи1.Найти обратные матрицы: 1 2 3 4 a b ; b)  ; c)  ;a)  3 4 5 7 c d7 2 3 − 4 5 2 51 24  ; f)  2 1 − 2  .d)  2 − 3 1  ; e)  6 3 3 − 5 − 1 5 − 2 − 32 − 2 1 2.Найти обратные матрицы с помощью элементарныхпреобразований:4 1 1 1 1 1 2 32  1 1 − 1 − 12 3 1a) ; b) ;1 − 1 1 − 11 1 1 − 11 − 1 − 1 1  1 0 − 2 − 6 1 1 0 ... 0  0 1 1 ... 0 c)  0 0 1 ...

0  . ... ... ... ... ...  0 0 0 ... 1 3.Решить матричные уравнения: 1 2 3 5 3 − 1   5 6   14 16  X =  ; b)  X  =  ;a)  3 4 5 9 5 − 2   7 8   9 10 50n  1 1 1 ... 1  1 2 3 ... 0 1 1 ... 1  0 1 2 ... n − 1 с)  0 0 1 ... 1  X =  0 0 1 ... n − 2  . ... ... ... ... ...  ... ... ... ... ...

 0 0 0 ... 1  0 0 0 ...1 4.Найти все матрицы 2-го порядка, квадраты которыхравны единичной матрице.Семинар 17. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯМетод Крамера. Пусть есть система линейных уравненийAx = b , где A = (a ij ) – квадратная матрица размера n , причемdet A ≠ 0 ,x = ( x1 , ..., xn )T– вектор столбец неизвестных,b = (b1 , ..., bn ) – правая часть. Тогда переменная xi естьчастное от деления определителя матрицы, полученной изматрицы A заменой i -го столбца на столбец правых частей,на определитель матрицы A :a11 ... b1 ... a1n1xi =..

. .. .det Aan1 ... bn ... annTТеорема Кронекера – Капелли. Система линейныхуравнений Ax = b имеет решение тогда и только тогда, когда~~rang A = rang A , где A = ( Ab) – расширенная матрица A , ккоторой добавлен столбец правых частей.Решение произвольной системы уравнений:Этап 1. Вычисляя миноры матрицы A , находим её ранг r ,одновременно обнаруживая хотя бы один отличный от нуляминор ∆ порядка r .51~,Этап 2. Окаймляя найденный минор в матрице Aубеждаемся, что ранг этой матрицы также равен r (если онбольше r , то система несовместна).Этап 3.

В минор ∆ входят коэффициенты при rнеизвестных в r уравнениях. Оставляя только эти уравнения,придавая остальным n − r неизвестным произвольныезначения и, следовательно, получая систему r уравнений от rнеизвестных с отличным от нуля определителем, решаем этусистему по формулам Крамера.Теорема. Множество всех решений ( x1 , ..., xn ) системылинейных однородных уравнений является подпространствомпространства V n размерности n − r , где r = rangA .Чтобы найти n − r линейно независимых решений, которыеобычно называют фундаментальной системой решений, нужнопридавать n − r наборов значений, следя за тем, чтобыполучались линейно независимые решения. Для этогодостаточно указанные наборы выбрать так, чтобырасположенные в квадратную матрицу порядка n − r , онисоставляли бы невырожденную матрицу (проще всеговыбрать, чтобы получилась единичная матрица).ЗадачиРешить систему линейных уравнений методом Крамера:1) 2 x1 + 2 x2 − x3 + x4 = 4,4 x1 + 3x2 − x3 + 2 x4 = 6,8 x1 + 5 x2 − 3 x3 + 4 x4 = 12,3x1 + 3x2 − 2 x3 + 2 x4 = 6.2) 2 x1 + 3 x2 + 11x3 + 5 x4 = 2,x1 + x2 + 5 x3 + 2 x4 = 1,2 x1 + x2 + 3 x3 + 2 x4 = − 3,x1 + x2 + 3x3 + 4 x4 = − 3.52Найти общее решение и фундаментальнуюрешений для систем линейных уравнений:3) x1 − 3x2 + 2 x3 − 2 x4 = 0,систему2 x1 + 2 x2 + x3 + 3x4 = 0;4) x1 + 2 x2 + 4 x3 − 3 x4 = 0,3 x1 + 5 x2 + 6 x3 − 4 x4 = 0,4 x1 + 5 x2 − 2 x3 + 3 x4 = 0,3 x1 + 8 x2 + 24 x3 − 19 x4 = 0.5) 2 x1 − 4 x2 + 5 x3 + 3 x4 = 0,3 x1 − 6 x2 + 4 x3 + 2 x4 = 0,4 x1 − 8 x2 + 17 x3 + 11x4 = 0.Найти общее решение в зависимости от параметра λ :6) 5 x1 − 3x2 + 2 x3 + 4 x4 = 3,4 x1 − 2 x2 + 3 x3 + 7 x4 = 1,8 x1 − 6 x2 − x3 − 5 x4 = 9,7 x1 − 3 x2 + 7 x3 + 17 x4 = λ .7) 2 x1 + 5 x2 + x3 + 3 x4 = 2,4 x1 + 6 x2 + 3 x3 + 5 x4 = 4,4 x1 + 14 x2 + x3 + 7 x4 = 4,2 x1 − 3 x2 + 3x3 + λ x4 = 7.8) Построить систему линейных уравнений, решениемкоторой является данное линейное многообразие:a) ( 0, 0, 2, − 1) T + α (13, 0, 9, − 1) T +{b)}T+ β ( 0, 13, − 27, 3) ;{( 2,1, − 1, 0, 1) + α (1, 0, 4, 0, − 1) +TT}T+ β ( 0, 1, − 8, 0, 2 ) .53Семинар 18.

СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ВЕКТОРНЫХПРОСТРАНСТВОпределение. Подмножество P векторного пространстваV называется подпространством, если оно замкнутоотносительно операций над векторами, т. е. если a, b ∈ P , тоa + b ∈ P , и, если a ∈ P , то ∀ λ λ a ∈ P , где λ – число.Определение. Если P и Q векторные подпространствапространства V , то их суммой P + Q называется множество,состоящее из всевозможных сумм v + w , где v ∈ P , w ∈ Q .Утверждение.

Характеристики

Список файлов семинаров