1611141306-b2dfe4473ec9d5441f959e37a90314bc (824999), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Найти матрицу перехода S от базиса fк базису g .14.ВекторыСеминар 11. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ a11 a12 a21 a22Определение. Таблица чисел A = ... ...a m1 am 2называется матрицей размера m × n .Определение. Пусть A = ( aij ) , B = ( bij )... a1n ... a2 n = ( aij )... ... ... amn – матрицыодинакового размера, α – число. Если ∀ i, j bij = α aij , тоговорят, что матрица B есть произведение матрицы A начисло α и пишут B = α A .Определение. Пусть A = ( aij ) , B = ( bij ) – матрицыодинакового размера. Если ∀ i, j cij = bij + aij , то говорят, чтоматрица C есть сумма двух матриц A и B , и пишутC = B + A.Определение. Пусть матрица B имеет размеры m × n , аматрица A – размеры n × p .
Если ∀ i, jcij =n∑k= 1bik akj , тоговорят, что матрица C есть произведение двух матриц A иB , и пишут C = BA (число столбцов матрицы B должно бытьравно числу строк матрицы A ). Матрица C имеет размерыm× p.Определение. Если ∀ i, j bij = a ji , то говорят, что матрицаB получена транспонированием матрицы A , и пишут B = AT .35Определение.
Если ∀ i, j bij = aij , то говорят, что матрицаB называется комплексно-сопряженной к матрице A , ипишут B = A .Определение. Матрица A называется нулевой, если∀ i, j aij = 0 , и пишут A = 0 .Определение.Квадратнаяматрицаназываетсяa=0i≠jдиагональной, еслидля, т. е. все еёijнедиагональные элементы равны нулю.Определение. Диагональная матрица порядка n , у которойвсе диагональные элементы равны 1, называется единичной иобозначается E . 1, i = jE = (δ ij ) , где δ ij = – символ Кронекера. 0, i ≠ jОпределение. Матрица называется симметрической(симметричной), если ∀ i, j aij = a ji или AT = A .Определение. Матрица называется кососимметрической(кососимметричной), если ∀ i, j aij = − a ji или AT = − A .Определение.
Элементарными преобразованиями матрицназываются следующие преобразования:1)умножение строки матрицы на число не равное нулю;2)прибавление к одной строке матрицы другой её строки;3)перестановка двух строк матрицы;4)умножение столбца матрицы на число не равное нулю;5)прибавление к одному столбцу матрицы другого еёстолбца;6)перестановка двух столбцов матрицы.Теорема. Элементарное преобразование строк равносильноумножению матрицы A слева на некоторую невырожденную~матрицу T , т.е.
A= TA . Элементарное преобразованиестолбцов равносильно умножению матрицы A справа на~некоторую невырожденную матрицу T , т. е. A= AT .36Задачи1.Перемножить матрицы: 2 1 1 − 1 3 5 2 0 2 ; b) ; c) ( 2 − 1) ;a) 3 2 1 1 6 − 1 − 3 1 3 1 1 3 1 d) (1 3 2 ) 2 ; e) 2 (1 3 2 ) ; f) (1 4 0 2) 1 5 . 5 5 7 0 2.Выполнить действия:3n 2 1 1 1 cos ϕ − sin ϕa) ; b) ; c) cos ϕ 1 3 0 1 sin ϕ3.Найти f ( A) , если 2 − 1 ;a) f ( x) = x 2 − 5 x + 3 , A = − 3 3 n . 1 − 2 3b) f ( x ) = 3 x 2 − 2 x + 5 , A = 2 − 4 1 . 3 − 5 24.Найти матрицы, умножая на которые слева матрицу A ,получим элементарные преобразования над строками матрицыA.5.Найти матрицы, умножая на которые справа матрицу A ,получим элементарные преобразования над столбцамиматрицы A .TT T6.Доказать, что ( AB) = B A .7.Найти все матрицы, коммутативные с матрицей: 3 1 0 1 2 7 − 3 ; b) ; c) 0 3 1 .a) 3 4 5 − 2 0 0 38.Какизменится произведение AB матриц A и B , если:37a)переставить i -ю и j -ю строкиb)к i -й строке матрицы Aматрицы A ;прибавить j -ю строку,умноженную на число c ;c)переставить i -й и j -й столбцы матрицы B ;d)к i -му столбцу матрицы B прибавить j -й столбец,умноженный на число c ?9.Найти все матрицы второго порядка, квадраты которыхравны нулевой матрице.10.Найти все матрицы второго порядка, кубы которыхравны нулевой матрице.Семинар 12.
ПЕРЕСТАНОВКИ И ПОДСТАНОВКИОпределение. Пусть Ω – конечное множество из nэлементов. Поскольку природа его элементов для наснесущественна, удобно считать, что Ω = {1, 2, ..., n} . ГруппаS (Ω ) всех взаимно-однозначных отображений Ω → Ωnназывается симметрической группой степенииобозначается как S n .Определение. Элементы группы S n , обычно обозначаемыестрочными буквами греческого алфавита, называютсяπ : i → π (i ) ,i = 1, 2, ..., nподстановками.Подстановку 1 2 3 ... n , гдеизображают двухрядным символом π = i1 i2 i3 ... in ik = π (k ), k = 1, 2, ..., n .
Как всегда, e – единичная подстановка:e(i ) = i , (i = 1, 2, ..., n) . 1 2 3 ... n – подстановка, тоОпределение. Если π = i1 i2 i3 ... in конечная последовательностьперестановкой чисел 1, 2, ..., n .38i1 , i2 , i3 , ... , inназываетсяОпределение. Подстановки σ , τ ∈ S n перемножаются всоответствии с общим правилом композиции отображений:(σ τ )(i ) = σ (τ (i )) . Например: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 , τ = , σ τ = , τ σ = .σ = 2 3 4 1 4 3 2 1 1 4 3 2 3 2 1 4Определение. Всех различных подстановок в группе S nполучается n !. Это число называется порядком группы S n .Разложим теперь подстановки из S n в произведение болеепростых подстановок.
Идею разложения поясним схематически на примере σ , τ .Определение. Подстановка σ , кратко записываемая в видеσ = (1234)или,чтотожесамое,ввидеσ = (2341) = (3412) = (4123) , носит название цикла длины 4, аподстановка τ = (14)(23) – произведения двух независимыхциклов (14) и (23) длины 2. Заметим, что σ 2 = (13)(24) , σ 4 = e, τ 2 = e . Цикл длины 1 действует как единичная подстановка,естественно такие циклы в произведении π = π 1 ⋅ π 2 ⋅ ... ⋅ π m (π 1 , π 2 , ..., π m – циклы) опускать. Например: 1 2 3 4 5 6 7 8 = (12345)(67)(8) = (12345)(67) , π ∈ S 8 .π = 2 3 4 51 7 6 8 Теорема. Каждая подстановка π ≠ e в S n являетсяпроизведением независимых циклов длины больше либоравной 2.
Это разложение в произведение определенооднозначно с точностью до порядка следования циклов.Определение. Цикл длины 2 называется транспозицией.Любая транспозиция имеет вид τ = (i j ) и оставляет на местесимволы, отличные от i, j .i, jОпределение.Параназываетсяинверсиейотносительно подстановки σ ∈ S n , если i < j , но σ (i ) > σ ( j ) .39π ∈ SnСледствие. Каждая подстановкаявляетсяпроизведением транспозиций. Каждый из циклов можнозаписать в виде произведения транспозиций, например, так(1 2 ... k − 1 k ) = (1 k )(1 k − 1) ... (1 3)(1 2) .Замечание.
Ни о какой единственности записиподстановки через транспозиции не может быть и речи,транспозиции не коммутируют, а их число не являетсяинвариантом подстановки.Теорема. Пусть π ∈ S n , π = π 1 π 2 ... π m – какое-нибудьразложение π в произведение транспозиций. Тогда числоπ ,ε π = (− 1) m ,называемоечетностьюполностьюопределяется подстановкой π и не зависит от способаразложения, т.е. четность целого числа m для даннойподстановки π всегда одна и та же. Кроме того, ε σ τ = ε σ ε τ∀ σ ,τ ∈ S n .Определение. Подстановка π ∈ S n называется четной, еслиε π = 1 и нечетной, если ε π = − 1 .Замечание. Из определения следует, что все транспозиции– нечетные подстановки.Следствие.
Пусть подстановка π ∈ S n разложена впроизведение независимых циклов длин l1 , ..., lm . Тогдаm∑ε π = (− 1) k = 1( l k − 1).Задачи1.Вычислить: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 , b) , c) .a) 2 1 3 2 3 1 31 2 2 1 3 2 1 4 3 3 2 4 12.Подобрать i и k так, чтобы подстановка40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 была четной;a) 1 2 7 4 i 5 6 k 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 была нечетной.b) 1 i 2 5 k 4 8 9 72.Найти число инверсий и определить четностьподстановки: 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ; b) ; c) ;a) 5 4 3 2 1 1 2 4 5 6 3 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ; e) ;d) 6 4 5 2 3 1 1 2 4 3 5 9 8 7 63 ...
n − 1 n 1 2 ;f) n n − 1 n − 2 ... 2 1 ...2n 1 2 3 4 ;g) 1 3 5 7 ... 2n − 1 2 4 6 ... 2n ...2n 1 2 3 4 ;h) 2 4 6 8 ... 2n 1 3 5 ... 2n − 1...3n 1 2 3 ;i) 3 6 9 ... 3n 1 4 7 ... 3n − 2 2 5 ... 3n − 1...3n 1 2 3 .j) 1 4 7 ... 3n − 2 2 5 ... 3n − 1 3 6 ...
3n Семинар 13. ОПРЕДЕЛИТЕЛИОпределение. Определитель матрицы A обозначается какa11 ... a1ndet A или A , или ... ... ... и вычисляется по формулеan1 ... ann41det A =∑ε a1i1 a2i2 ... anin , где ε – четность перестановки α .ααα = ( i1 ...in )Замечание.Определительопределентолько дляквадратной матрицы.Определение. Минором M ki называется определительматрицы, полученной из матрицы A вычеркиванием k -йстроки и i -го столбца.Определение. Алгебраическим дополнением элемента akii+ kназывается число Aki = ( − 1) M ki .Свойства определителей:1.Если матрица имеет строку (столбец) состоящую изнулей, то определитель равен нулю.2.Определитель матрицы, содержащий две равные строки(столбца), равен нулю.3.Если все элементы k -й строки (столбца) матрицыумножить на λ , то определитель умножится на λ .4.Есливматрицедвестроки(столбца)Aпропорциональны, то det A = 0 .5.Если матрица A получена из A′ перестановкой двухстрок (столбцов), то определитель меняет знак: det A = − det A′.6.Если в матрице A одна из строк (столбцов) являетсялинейной комбинацией других строк, то det A = 0 .7.Если к i -й строке (столбцу) матрицы A прибавитьпроизвольную линейную комбинацию других строк(столбцов), то определитель не изменится.8.Определитель транспонированной матрицы равенопределителю исходной матрицы.aki = bki + cki , i = 1, ..., n и9.
det A = det B + det C , еслиa ji = b ji = c ji , i = 1, ..., n , j = 1, .., k − 1, k + 1, ..., n .4210.Определительэлементовk -йматрицы равен сумме произведенийстроки (столбца) матрицы A на ихалгебраические дополнения: det A =n∑i= 1aki Aki =n∑k=1aki Aki .Задачи1.Пользуясьопределители:a11 0a21 a22a) a31 a32... ...an1 an 2только00a33...an 3определением,... 00...... 00...... 0 ; b) 0...... ...... ...... annan1 an 200a3,n− 2...an 3вычислить0a2 , n − 1a3,n− 1......2.Решить уравнение111...11 1− x1...1112 − x ...1 = 0....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
