1611141306-b2dfe4473ec9d5441f959e37a90314bc (824999), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Доказать, что x есть собственный векторлинейного преобразования p (ϕ ) , и ему соответствуетсобственное значение p (λ ) . 1 0 0A =  0 0 1 ; 0 1 000A= 016200100100Найти собственные значения, собственные векторы иdвсе инвариантные подпространства оператора xвdxпространстве многочленов степени не выше n .8)Семинар 21, 22. НОРМАЛЬНАЯ ЖОРДАНОВА ФОРМАМАТРИЦЫk× kОпределение.Квадратнаяматрицавида λ 1 0 . 0 0 0 λ 1 . 0 0J k (λ ) =  . . . . .

.  называется жордановой клеткой 0 0 0 . λ 10 0 0 . 0 λразмерности k .Определение.Нормальнойжордановойматрицейназывается матрица J , у которой по диагонали стоятжордановы клетки, а остальные элементы равны нулю.Теорема. Для любого линейного оператора ϕ на векторномпространстве, спектр которого вещественный, существуетбазис, в котором матрица, задающая оператор, имеетнормальную жорданову форму.Алгоритм поиска жордановой формы матрицы. Ищемсобственные числа λ 1 , ..., λ j матрицы A (т. е.

решаемуравнение det( A − λ E ) = 0 ) и определяем алгебраическуюкратность nλ i каждого собственного числа λ = λ i , i = 1, ..., j .Ищем собственные векторы матрицы A (т. е. для каждогоi = 1, ..., j решаем уравнение ( A − λ i E )ei = 0 ). Из множестваего решений выбираем любой набор линейно независимых1pрешений ei , ..., ei , где, как известно, p = pλ i – геометрическаякратность собственного числа λ i . Каждому собственному63числу λ соответствуют одна или несколько жордановыхклеток J k (λ ) , которые находятся так:a) Если nλ = p λ , т.

е. если алгебраическая кратностьсобственного числа λ равна его геометрической кратности, тособственному числу λ соответствует nλ жордановых клетокJ1 (λ ) размера 1× 1 .b) Если nλ > pλ , то собственному числу λ = λ iсоответствует p λ жордановых клеток J k (λ ) – по одной длякаждого собственного вектора, отвечающего данномусобственному числу λ . Размер k каждой клетки J k (λ ) наединицу больше количества присоединенных (или корневых)pвекторов, отвечающих собственному вектору ei , p = 1, ..., pλ i .Определение.

Пусть ei собственный вектор оператора ϕ :Aϕ eip = λ i eip .Тогдавекторei pназываетсяпервымpприсоединенным вектором, если ( Aϕ − λ i E )ei = e , вектор eiназывается вторым присоединенным вектором, если( Aϕ − λ i E )ei p = ei p , и т. д.Продолжим изложение алгоритма поиска жордановойформы матрицы. Возьмем в качестве базиса собственныевектора и все корневыеe11 , e11 , e11 , ..., e12 , e12 , e12 , ..., e12 , e21 , e21 , ..., e1j , e 1j , e j1 , ..., e 2j , e j2 , e j2 , ... .В этом базисе матрица оператора ϕ имеет нормальнуюжорданову форму J ϕ . Столбцы матрицы перехода T отстарого базиса к новому образованы координатами найденныхвыше собственных и присоединенных векторов.

Между собой−1матрицы J ϕ и Aϕ связаны соотношением J ϕ = T Aϕ T .Определение. Минимальный многочлен hA (λ ) оператораA является делителем характеристического многочлена f A (λ ), делящимся на все линейные множители (λ − λ i ) :p64pihA (λ ) = (λ − λ 1 ) m1 ... (λ − λ k ) mk , mi– максимальный размержордановой клетки, отвечающей собственному значению λ i .Определение. Корневое подпространство – пространство,натянутое на линейную оболочку векторов, состоящих изсобственного вектора и всех к нему присоединенных.Определение. Инвариантное подпространство – линейнаяоболочка всех собственных и присоединенных векторов,соответствующих данному собственному числу.ЗадачиНайти жорданову форму следующих матриц: 0 1 0 1 − 3 3 1 − 3 41)  − 4 4 0  ; 2)  − 2 − 6 13  ; 3)  4 − 7 8  ; − 2 1 2 −1 − 4 8 6 − 7 7 16 0 4− 24)  − 3 − 5 0  ; 5) 0 − 3 − 6 1−13−11−7 9 − 3 − 7 − 16) ; 7)0 04 − 80 02−4−3− 6−3− 4 3−1 3 40 30 13 ;1 30 8 −1 0 0 1 0 0 .0 5 − 3− 1 3 − 1 8) В пространстве многочленов f ( x, y ) степени не вышедвух действуют операторы ϕ и ψ .

Найти жорданову форму∂∂ϕ : +для ϕ и ψ ., ψ : f ( x, y ) → f ( x + 1, y + 1) .∂x ∂yСеминар 23. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦЫ, МАТРИЧНАЯЭКСПОНЕНТА65Если f (x) многочлен, то функция от жордановой клетки ссобственным числом λ определяется по формуле f (λ ) f ′ (λ ) 1! f ′′ (λ ) 2! ... f ( k − 1) (λ ) (k − 1)! f (λ )f ′ (λ ) 1! ...

f ( k − 2 ) (λ ) (k − 2)! 0f (J k ) = ................ 000f(λ)−1Если A = TJT , где J – жорданова форма матрицы,T – матрица перехода, то функция от матрицы определяетсяпо формуле f ( A) = Tf ( J )T − 1 .Задачи1.Вычислить50 1 1 ; b) A =a) A =  − 1 32.Вычислить64.e A , где1  2 ; b) A =a) A =  − 4 − 23.Вычислить 7 − 4 14 − 8  0 1 2 0 0 6 . 0 0 0ln A , где 1 1 0 ...

0 1 1 0 1 1 ... 0  ; b) A = a) A = .... ... ... ... ...  − 4 − 1 0 0 0 ... 1 1 π − 1 .4.Вычислить sin A , где A =  − 1 π + 1Семинар 24, 25. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛАЭллипс66Определение. Эллипс – это геометрическое место точекплоскости, сумма расстояний которых от двух данных точекF1 , F2 есть постоянное число равное 2a .Определение. Каноническое уравнение эллипса вx2 y2канонической системе координат имеет вид: 2 + 2 = 1 , гдеaba и b ( a > b) длины полуосей, т. е.

половины длин отрезков,отсекаемых эллипсом на осях координат.Определение. Точки пересечения эллипса с его осямисимметрии, т. е. с осями координат, называются еговершинами.Определение. Точки F1 (− c,0) и F2 (c,0) , где c = a 2 − b 2 ,называются фокусами.Определение. Фокальная ось – прямая F1 F2 .Определение. Центр эллипса – середина отрезка F1 F2 .e= c a< 1Определение.Числоназываетсяэксцентриситетом эллипса.Определение.Прямые,определяемыеуравнениемx = ± a e , называются директрисами эллипса.Директориальное свойство эллипса: r d = e , где r –расстояние от точки до фокуса, d – расстояние додиректрисы.Определение.

Касательная к эллипсу в его точке ( x0 , y0 )xx0 yy0+ 2 = 1.определяется уравнениемa2bОпределение.Черезфокуспроведемпрямую,перпендикулярную фокальной оси. Длину полученной хордыобозначим 2 p ; p называется фокальным параметромэллипса.67Фокальное свойство эллипса. Лучи, выпущенные изодного фокуса, после отражения от эллипса соберутся вдругом.Задачи1.Составить каноническое уравнение эллипса, еслиa) расстояние между фокусами равно 8, большая ось равна10;b) большая ось равна 26 и эксцентриситет равен 12 13 .2.Определить фокусы эллипса:x2 y2x2 y2a)+= 1 ; b)+= 1.25 1625 169x2 y23.Дан эллипс+= 1 . Написать уравнения его36 20директрис.x2 y24.Для эллипса 2 + 2 = 1 определить фокальный параметр.abx2 y25.Написать уравнение касательной к эллипсу+=1 в32 18точке M ( 4, 3) .x2 y 26.Определитькасательные к эллипсу+= 1,16 9параллельные прямой x + y − 1 = 0 .x2 y27.Составить уравнения касательных к эллипсу+= 1,25 16проходящих через точку N (10, 4) .8.Вывести полярное уравнение эллипса.Гипербола68Определение.

Гипербола – это геометрическое место точекплоскости, модуль разности расстояний каждой из которых отдвух данных точек F1 , F2 есть постоянное число равное 2a .Определение. Каноническое уравнение гиперболы вx2 y2канонической системе координат имеет вид: 2 − 2 = 1 , гдеaba и b длины полуосей, действительной и мнимой.Определение. Точки пересечения гиперболы с еёдействительной осью называются её вершинами.Определение. Точки F1 (− c, 0) и F2 (c, 0) , где c = a 2 + b 2 ,называются фокусами.Определение.

Фокальная ось – прямая F1 F2 .Определение. Центр гиперболы – середина отрезка F1 F2 .e= c a> 1Определение.Числоназываетсяэксцентриситетом гиперболы.Определение. Асимптоты гиперболы определяютсяуравнениеми: y = ± bx a .Определение. Прямые, определяемые уравненияи x = ± a e, называются директрисами гиперболы.Директориальное свойство гиперболаы: r d = e , где r –расстояние от точки до фокуса, d – расстояние додиректрисы.Определение.

Касательная к гиперболе в её точке ( x0 , y0 )xx0 yy0− 2 = 1.определяется уравнениемa2bОпределение.Черезфокуспроведемпрямуюперпендикулярную фокальной оси. Длину полученной хордыобозначим 2 p ; p называется фокальным параметром.Фокальное свойство гиперболы. Лучи, выпущенные изодного фокуса, после преломления на гиперболе соберутся вдругом.69Задачи1.Определить фокусы гиперболы:x2 y2x2y2а)−= 1 ; б)−= 1.25 144225 642.Составить каноническое уравнение гиперболы, если:a)расстояние между фокусами равно 10 и действительнаяось равна 8;b)действительная ось равна 48 и эксцентриситет равен13 12 ;c)расстояниемежду директрисами равно 32 5 иэксцентриситет равен 5 4 ;d)угол между асимптотами равен 60 и c = 2 3 .x2 y2−= 1.a 2 b24.Доказать, что отрезки, отсекаемые директрисами наасимптотах (считая от центра гиперболы), равныдействительной полуоси.5.Доказать, что директриса гиперболы проходит черезоснование перпендикуляра, опущенного из соответствующегофокуса на асимптоту гиперболы.

Вычислить длину этогоперпендикуляра.x2 y 26.Составить уравнение касательной к гиперболе−=154в точке M (5, − 4) .y227.Составить уравнение касательных к гиперболе x −= 1,4проходящих через точку M (1, 4) .3.Определитьфокальный параметр гиперболы70x2 y 2−= 1,9 36если касательная: а) параллельна прямой 3 x − y − 17 = 0 ; b)перпендикулярна к прямой 2 x + 5 y + 11 = 0 .9.Составить уравнение гиперболы в полярных координатах,если дано её уравнение в декартовых координатахx2y2−= 1.144 258.Составитьуравнение касательной к гиперболеПараболаОпределение.

Парабола – это геометрическое место точекплоскости равноудаленных от некоторой фиксированнойпрямой (директрисы) и некоторой фиксированной точки(фокуса).Определение. Каноническое уравнение параболы вканонической системе координат имеет вид y 2 = 2 px , гдечисло p , называемое фокальным параметром параболы, естьрасстояние от фокуса до директрисы.Определение. Точка пересечения параболы с её осьюсимметрии называется её вершиной.Определение. Точка F ( p 2 ,0) называется фокусом.Определение. Прямая, определяемая уравнением x = − p 2, называется директрисой параболы.Директориальное свойство параболы: r d = 1 , где r –расстояние от точки до фокуса, d – расстояние додиректрисы.Определение. Касательная к параболе в её точке ( x0 , y0 )определяется уравнением yy0 = p( x + x0 ) .Фокальное свойство параболы.

Характеристики

Список файлов семинаров