1611141306-b2dfe4473ec9d5441f959e37a90314bc (824999), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Пусть A′ = 0 . Тогда C ′ ( y′ + E ′ C ′ ) 2 + 2 D′ x′ + F ′ = 0 ,F ′ = F − E ′ 2 C ′ . Если D ′ ≠ 0 , то получаем параболуy ′′ 2 = 2 px ′′ , где p = − D ′ C ′ , x ′′ = x ′ + F ′ 2 D ′ , y ′′ = y ′ + E ′ C ′ .Если D ′ = 0 , то получаем кривую из третьего класса.ЗадачиОпределить вид и расположение линий второго порядка,заданных уравнениями:1) 3 x 2 + 10 xy + 3 y 2 − 2 x − 14 y − 13 = 0 ;2) 25 x 2 − 14 xy + 25 y 2 + 64 x − 64 y − 224 = 0 ;3) 4 xy + 3 y 2 + 16 x + 12 y − 36 = 0 ;4) 7 x 2 + 6 xy − y 2 + 28 x + 12 y + 28 = 0 ;5) 19 x 2 + 6 xy + 11 y 2 + 38 x + 6 y + 29 = 0 ;6) 5 x 2 − 2 xy + 5 y 2 − 4 x + 20 y + 20 = 0 ;7) 9 x 2 − 24 xy + 16 y 2 − 20 x + 110 y − 50 = 0 ;8) 9 x 2 + 12 xy + 4 y 2 − 24 x − 16 y + 3 = 0 ;9) 16 x 2 − 24 xy + 9 y 2 − 160 x + 120 y + 425 = 0 .Семинар 28, 29.

ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКАК КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУПусть есть прямоугольная декартовая система координатx, y, z и задано уравнениеF ( x, y , z ) = a11 x 2 + a 22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy +(1)+ 2a13 xz + 2a 23 yz + 2a1 x + 2a 2 y + 2a3 z + a = 0или в матричном видеF ( x, y , z ) = X T QX + 2G T X + a = 0 ,(2)79 a11где Q =  a12a 13a13  x a1   a 23  , X =  y  , G =  a 2  . za a33   3Определение. Множество точек, удовлетворяющих этомууравнению, называется поверхностью второго порядка.Преобразование уравнения поверхности при переносеначала координат. При переносе начала координатx = x′ + x0 ,y = y′ + y0 ,z = z ′ + z0F ( x, y , z )функцияизменяется следующим образом:F ( x′ + x0 , y′ + y0 , z′ + z0 ) = a11 x′ 2 + a22 y′ 2 + a33 z′ 2 +(3)+ 2a12 x′ y′ + 2a13 x′ z′ + 2a23 y′ z′ + 2a1′ x′ + 2a′2 y′ + 2a3′ z′ + a′ = 0,где a1′ = a11 x0 + a12 y 0 + a13 z 0 + a1 ,a 2′ = a12 x0 + a 22 y 0 + a 23 z 0 + a 2 ,a3′ = a13 x 0 + a 23 y 0 + a33 z 0 + a3 ,a12a 22a 23a ′ = F ( x0 , y 0 , z 0 ) = G T X 0 + F .Наибольшее упрощение за счет переноса начала координатбудет достигнуто, если коэффициенты при x ′ , y ′ , z ′ будутравны нулю.Определение.

Точка x0 , y0 , z0 , координаты которойудовлетворяют системе уравнений a1′ = 0 , a 2′ = 0 , a3′ = 0 ,называется центром поверхности второго порядка. Если центресть и только один, то поверхность называется центральной,иначе – нецентральной.Преобразование уравнения поверхности при поворотесистемы координат. Приведем квадратичную формуϕ ( x, y , z ) = a11 x 2 + a 22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a 23 yzк главным осям. Известно, что, если в качестве базиса взятьтри ортонормированных собственных вектора e1 , e2 , e3матрицы Q , то квадратичная форма ϕ приведется к видуλ 1 x ′ 2 + λ 2 y ′ 2 + λ 3 z ′ 2 , а уравнение поверхности (1) примет вид80λ 1 x ′ 2 + λ 2 y ′ 2 + λ 3 z ′ 2 + 2a1′ x ′ + 2a ′2 y ′ + 2a3′ z ′ + a = 0 , где λ 1 , λ 2 , λ 3T– собственные числа матрицы Q , (a1′ , a′2 , a3′ ) = G T , T –матрица перехода от старого базиса к новому (E ′ = ET , X = TX ′ ).

Коэффициент a при повороте неизменяется.Если det Q ≠ 0 , то поверхность имеет единственный центрсимметрии, а все λ i ≠ 0 . В этом случае сначала делаемперенос начала координат в центр симметрии, затемпереходим к новому базису, состоящему из собственныхвекторов матрицы Q . В зависимости от сочетания знаков λ i изнака F ( x0 , y0 , z0 ) мы можем получить следующиеповерхности:1 − действительный эллипсоид,222 xyz++= 0 − мнимый конус,222 abc − 1 − мнимый эллипсоид,1 − однополост ный гиперболоид,222 xyz+−= 0 − конус,222 abc − 1 − двуполостный гиперболоид.Если det Q = 0 , то в этом случае система уравненийQX 0 + G = 0 либо не имеет решений, либо имеет ихбесконечно много. Произведение собственных чисел матрицыQ равно её определителю λ 1λ 2 λ 3 = det Q = 0 .

При этомвыделяют два случая:a) λ 1 ≠ 0, λ 2 ≠ 0, λ 3 = 0 . Перейдем к новому базису,состоящему из собственных векторов матрицы Q . Уравнение(1) приведется к виду22λ x′ + λ 2 y ′ + 2a1′ x′ + 2a′2 y ′ + 2a3′ z ′ + a = 0 .122Сдвигая по x′ , y′ , z′ , получаем λ 1 x ′′ + λ 2 y ′′ + 2a3′ z ′′ = 0 .В результате будем иметь одну из следующих поверхностей:81 2 z − эллиптический параболоид, − 2 z − эллиптический параболоид,22 xy+= 0 − две мнимые пересекающиеся плоскости,22 ab 1 − эллиптический цилиндр, − 1 − мнимый эллиптический цилиндр,2 z − гиперболический параболоид,22 xy−= 0 − две пересекающиеся плоскости,22 ab 1 − гиперболический цилиндр.b) λ 1 = 0, λ 2 ≠ 0, λ 3 = 0 .

В базисе из собственных векторовматрицы Q уравнение (1) имеет видλ 2 y ′ 2 + 2a1′ x ′ + 2a 2′ y ′ + 2a3′ z ′ + a = 0 .(4)Возьмем новую систему координат Ox ′′ y ′′ z ′′ такую, что Oy ′′совпадает с Oy ′ , а система Ox ′′ z ′′ повернута относительносистемы Ox ′ z ′ на угол α : x ′ = x ′′ cos α − z ′′ sin α , y ′ = y ′′ ,z ′ = x ′′ sin α + z ′′ cos α . Тогда уравнение (4) примет вид2λ 2 y ′′ + 2 x′′ ( a1′ cos α + a3′ sin α ) + 2a2′ y′′ ++ 2 z ′′ ( − a1′ sin α + a3′ cos α ) + a = 0Выберем α так, чтобы коэффициент при z ′′ был равен нулю,т.

е. tgα = a3′ a1′ . В результате получимλ 2 y ′′ 2 + 2 x ′′ a1′′ + 2a 2′ y ′′ + a = 0 .Перенесем начало координат и разделим на λ 2 , получим однуиз следующих поверхностей: 2 px − параболический цилиндр, 22  b − две параллельные плоскости,y = 2 − b − две мнимые паралльные плоскости, 0 − две совпадающие плоскости.82ЗадачиС помощью ортогонального преобразования привестиуравнение поверхности второго порядка к каноническомувиду и определить каноническую систему координат:1) x 2 + 5 y 2 + z 2 + 2 xy + 2 yz + 6 xz − 2 x + 6 y + 2 z = 0 ;2) 7 x 2 + 6 y 2 + 5 z 2 − 4 xy − 4 yz − 6 x − 24 y + 18 z + 30 = 0 ;3) 2 x 2 + 2 y 2 − 5 z 2 + 2 xy − 2 x − 4 y − 4 z + 2 = 0 ;4) x 2 − 2 y 2 + z 2 + 4 xy − 4 yz − 8 xz − 14 x − 4 y + 14 z + 16 = 0 ;5) 5 x 2 + 5 y 2 + 8 z 2 + 8 xy + 4 yz − 4 xz − 26 x − 28 y − 13 z + 24 = 0 ;6) 2 x 2 + y 2 + 2 z 2 − 2 xy + 2 yz + 4 x − 2 y + 11 = 0 ;7) 4 x 2 + 9 y 2 + z 2 − 12 xy − 6 yz + 4 xz + 4 x − 6 y + 2 z − 5 = 0 ;8) x 2 + y 2 + 4 z 2 + 2 xy + 4 yz + 4 xz + 4 x − 6 z + 1 = 0 ;9) 2 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 + 4 xy + 2 yz + 2 xz − 4 x + 6 y − 2 z + 3 = 0 ;10) 2 x 2 + 5 y 2 + 2 z 2 − 2 xy + 2 yz − 4 xz + 2 x − 10 y − 2 z − 1 = 0 .Семинар 30, 31.

ГРУППЫ И АЛГЕБРЫОпределение. Алгеброй (над полем F) называетсямножество, являющееся одновременно кольцом и линейнымпространством над F так, что умножение на скаляры из F иумножение в кольце согласованы: λ ( AB) = (λ A) B = A(λ B ) .Определение. Размерностью алгебры над F называется еёразмерность как линейного пространства над F.Определение. Подалгеброй алгебры A называетсяподпространство A′ в A , одновременно являющеесяподкольцом (т.

е. произведение элементов A′ также лежит вA′ ).Пример. Алгебра M n (R ) матриц, размерности n 2 ,ассоциативная, некоммутативная, с единицей E .83Пример. Алгебра R[x] многочленов, размерности ∞ ,ассоциативная, коммутативная, с единицей.Пример. Алгебра L(V ) линейных операторов на линейномпространстве V : размерности ( dimV ) 2 , ассоциативная,некоммутативная, с единицей E .Определение. Алгеброй Ли называется алгебра, в которойоперация умножения удовлетворяет двум аксиомам:1) ( x * x) = 0; отсюда вытекает свойство антикоммутативности;2) ( x * y ) * z + ( y * z ) * x + ( z * x ) * y = 0 ; (тождество Якоби).Это не ассоциативная алгебра.Пример. Векторное пространство L = R 3 есть трехмернаяалгебра Ли с операцией умножения – векторнымпроизведением векторов.Определение. Группой G,* называется множество G содной бинарной операцией, обладающей свойствами:1) a, b ∈ G ⇒ a * b ∈ G ;2) ассоциативность: (a * b) * c = a * (b * c) ∀ a, b, c ∈ G ;3) есть нейтральный элемент: e ∈ G; x * e = e * x = x ∀ x ∈ G ;∀ x∈ G4)каждыйэлементобратим:∃ x− 1 :x * x− 1 = x− 1 * x = e .Пример.

Множество S n перестановок степени n –симметрическая группа.Определение. Порядком конечной группы называетсячисло её элементов.Теорема Кэли. Каждая конечная группа из n элементовесть подгруппа группы перестановок.Определение. Отображение f : G → G ′ группы G,* вG ′ ,∀ a, b ∈ Gназываетсягомоморфизмом,еслиf ( a * b) = f ( a)  f (b) .84fОпределение.

Ядром гомоморфизманазывается′множество Ker f = { g ∈ G | f ( g ) = e − единица группы G′ } .Замечание. Имеется тенденция к замене гомоморфизматермином морфизм.Задачи1.Какие из указанных числовых множеств с операциямиявляются группами:a) ( A, + ) , где A – одно из множеств N, Z, Q, R, C;b) ( A, ⋅ ) , где A – одно из множеств N, Z, Q, R, C;c) ( A0 , ⋅ ) , где A – одно из множеств N, Z, Q, R, C, аA0 = A \ {0} ;a)(nZ, +), где n – натуральное число;b) ( { − 1,1} , ⋅ ) ;c)множество комплексных чисел с фиксированныммодулем r относительно умножения;d)множествоненулевыхкомплексныхчисел,расположенных на лучах, выходящих из начала координат иобразующих с лучом Ox углы ϕ 1 , ϕ 2 , ..., ϕ k , относительноумножения.2.Какие из множеств квадратных вещественных матрицфиксированного порядка образуют группу:a)множествосимметрических(кососимметрических)матриц относительно сложения;b)множествосимметрических(кососимметрических)матриц относительно умножения;c)множествоневырожденныхматрицотносительносложения;d)множество невырожденных матриц относительноумножения;e)множество всех ортогональных матриц относительноумножения;85f)множество верхних треугольных матриц относительноумножения.g)множество всех целочисленных ортогональных матрицотносительно умножения; найти порядок этой группы.3.Найти порядок группы вращений: a) правильноготреугольника; b) квадрата; c) октаэдра.4.Задано множество GLn (R )всех n × n матриц свещественными коэффициентами и с отличным от нуляопределителем.

Доказать, что это группа. Доказать, чтоподмножество SLn (R ) матриц с определителем равным 1,является подгруппой.5.Найти ядро гомоморфизма a baz + b → f ( z ) =τ : A = .cz + d c d6.Доказать, что тождество Якоби выполняется длявекторного произведения.7.Доказать, что делитель нуля в произвольной ассоциативной алгебре не является обратимым.m8.Пусть A, B ∈ M n (R) и ( AB ) = E для некоторого целогочисла m . Верно ли, что ( BA) m = E ?СодержаниеСеминар 1. Комплéксные числа.Семинар 2. Многочлены.Семинар 3. Рациональные дроби.Семинар 4.

Трехмерная векторная алгебра.Семинар 5. Преобразование системы координат.Семинар 6, 7. Прямые и плоскости.86359101518Семинар 8,9. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. 26Семинар 10. Векторные пространства.31Семинар 11 Действия с матрицами.35Семинар 12. Перестановки и подстановки.38Семинар 13. Определители.41Семинар 14. Теорема Лапласа. Определители n -го порядка. 44Семинар 15. Ранг матрицы.48Семинар 16. Обратная матрица. Матричное уравнение.49Семинар 17.

Системы линейных уравнений. Фундаментальныерешения.51Семинар 18. Сумма и пересечение векторных пространств. 54Семинар 19. Линейные отображения и преобразования.56Семинар 20. Линейные операторы.60Семинар 21, 22. Нормальная жорданова форма матрицы.63Семинар 23. Функции от матрицы. Матричная экспонента 66Семинар 24, 25. Эллипс, гипербола, парабола.67Семинар 26. Квадратичные формы.

Метод Лагранжа.73Семинар 27. Приведение уравнения линии второго порядка кканоническому виду.76Семинар 28, 29. Приведение уравнения поверхности второгопорядка к каноническому виду.79Семинар 30, 31. Группы и алгебры.83Учебное изданиеАлександрова Надежда ИвановнаСЕМИНАРЫ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕИ АНАЛИТИЧЕСКОЙОЙ ГЕОМЕТРИИУчебное пособие87Редактор С. Д. АндрееваПодписано в печать 30.08.07.

Формат 60 × 84 116 . Печатьофсетная.Усл. печ. л. 5.1. Уч.-изд. л. 5,5. Тираж 150 экз. Заказ №--------------------------------------------------------------------------------Редакционно-издательский центр НГУ630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.8889.

Характеристики

Список файлов семинаров