1611141306-b2dfe4473ec9d5441f959e37a90314bc (824999), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИОпределение. Рациональной дробью называется дробьf g , где f и g многочлены из P[x] , g ≠ 0 . По определению,f g = f1 g1 ⇔ fg1 = f1 g .Определение. Степень дроби равна степени f минусстепень g .9Определение.Рациональнаядробьназываетсянесократимой, если её числитель взаимно прост сознаменателем.Определение.

Если степень числителя меньше степенизнаменателя, то несократимая дробь называется правильной.Теорема. Всякая рациональная дробь однозначнопредставима в виде суммы многочлена и правильной дроби.Определение. Правильная рациональная дробь f gназывается простейшей, если g = p n , n ≥ 1 , где p = p (x) –неприводимый многочлен, причем deg f < deg p .Теорема. Каждая правильная рациональная дробь можетбыть разложена и притом единственным образом в суммупростейших дробей.Задачимногочлен f ( x) = x 5 + 3x 3 + 2 x 2 + 1 по степенямx + 1 и получить отсюда разложение дроби f ( x) ( x + 1) 5 всумму простейших.2.Разложить в сумму простейших дробей:x+ 1x+ 1a); b);22( x + 1)( x − 1)( x + 1)( x − 1) 21.Разложитьx 4 + 3x 2 + 2 x + 5c);( x 2 + x + 1)( x + 2)2 x 4 − 10 x 3 + 7 x 2 + 4 x + 3d).( x 2 + 1)( x − 1) 2 ( x + 2)Семинар 4.

ТРЕХМЕРНАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРАОпределение. Скалярным произведением двух векторовназывается число равное произведению модулей этих   векторов на косинус угла между ними: (a , b ) = ab = a b cos ϕ .    Следствие. cos ϕ = (a , b ) a b , где ϕ – угол между a и b .10Свойства  скалярного произведения:1) ab = b a ; 2) (α a )b = α (a b ) ; 3) (α a )( β b ) = (α β )(ab ) ;    4) a (b + c ) = ab + ac ;5) Если a ≠ 0, b ≠ 0 и ϕ < π 2 , то ab > 0 ;6) Если a ≠ 0, b ≠ 0 и ϕ > π 2 , то ab < 0 ; 7) ab = 0 ⇔ a⊥ b ;  28) aa = a .Определение.

Пусть задана косоугольная системакоординат с базисом e1 , e2 , e3 . Матрицей Грама называетсяматрица с элементами g ij = (ei , e j ) .Теорема. Если a = { a1 , a 2 , a3 } , b = { b1 , b2 , b3 } в базисе3e1 , e2 , e3 , то ab = ∑ g ij ai b j .i, j= 1Следствие. ab = a1b1 + a 2 b2 + a3b3 в ортонормированномбазисе.Определение.Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор, обозначаемый символом a × b ,который определяется следующими тремя условиями:    1) a × b = a b sin ϕ , где ϕ – угол между a и b ;    2) a × b ⊥ a , a × b ⊥ b ;  3)вектор a × b направлен также относительно векторов a , b, как координатная ось Oz относительно координатных осейOx, Oy .Геометрическиесвойства векторного произведения:  1) a × b = 0 ⇔ a , b – коллинеарны;11 и b приведены к общему началу, то a × b равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b .Алгебраические  свойсва векторного произведения: 1) a × b = − b × a ;  2) (α a ) × b = α (a × b ) ; 3) a × (α b ) = α ( a × b ) ;     4) a × (b + c ) = a × b + a × c ;      5) (b + c ) × a = b × a + c × a ;       6) a × (b × c ) = b (a , c ) + c (a , b ) ;        7) (a × b ) × c = b (a , c ) + a (b , c ) ;         8) (a × b , c × d ) = (a , c )(b , d ) − (a , d )(b , c ) .a = { a1 , a2 , a3 } ,b = { b1 , b2 , b3 } ,Теорема.Еслито2)если ai a × b = a1b1ja2b2ka3 в ортонормированном базисе.b3  Определение.

(a × b )c – смешанное произведение трех  векторов a , b , c .  Определение. Векторы a , b , c компланарны, если онилежат в одной плоскости или в параллельныхплоскостях. Определение. Tройка векторов a , b , cназываетсяупорядоченной (или просто тройкой), если задано какой изних первый, какой второй и какой третий. Обычнотройка  векторов записывается в порядке нумерации a , b , c .Определение.

Правая тройка векторов или левая тройкавекторов определяется по правилу правой руки.Теорема.(геометрическийсмысл)Смешанное  произведение (a × b )c равно объему параллелепипеда,12  построенного на векторах a , b , c , взятому со знаком «+», если  a , b , c – правая тройка, со знаком «–», если эта тройка левая.     Следствие. (a × b )c = a (b × c ) = ab c .      Следствие.

ab c = b c a = c ab = − ac b = − c b a = − b ac .  Следствие. a , b , c – компланарны ⇔ ab c = 0 .Теорема. Если a = { a1 , a 2 , a3 } , b = { b1 , b2 , b3 } , c = { c1 , c 2 , c3 } ,c1то ab c = a1b1c2a2b2c3a3 в ортонормированном базисе.b3Задачи1.Източки O выходят два вектора OA , OB . Найти какойнибудь вектор OM , идущий по биссектрисе угла OAB .2.Доказать, что сумма векторов, идущих из центраправильного многоугольника к его вершинам, равна нулю.3.В треугольнике ABC даны длины его сторон BC = 5 ,CA = 6 , AB = 7 .

Найти скалярное произведение векторов BCи BA .4.Найтиугол αпри вершине равнобедренноготреугольника, зная, что медианы, проведенные из концовоснования этого треугольника, взаимно перпендикулярны.5.Дан равносторонний треугольник ABC , у которого длиныa.сторонравныВычислитьвыражениеBC ⋅ CA + AB ⋅ CA + BC ⋅ AB .6.В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE, CF.Вычислить выражение BC ⋅ AD + BE ⋅ CA + CF ⋅ AB .7.Вычислить скалярное произведение векторов a и b ,заданных своими координатами, и определить угол междуними:13a) a = {8, 4, 1} , b = { 2, − 2, 1} ;b) a = { 2, 5, 4} , b = { 6, 0, − 3} .8.Даныдва вектора a = {1, 1, 1} , b = {1, 0, 0} . Найтиединичный вектор c , перпендикулярныйк вектору a ,образующий с вектором b угол в 60  и направленный так,  чтобы тройка векторов a , b , c была правой. 9.Зная векторы a , b , найти:      a) (a + b ) × (a − b ) ; b) a × ( a + b ) ; c) (a + b ) × (b − a / 2) .  10.Показать, что если три вектора a , b , c не коллинеарны,     то из равенств a × b = b × c = c × a вытекает соотношение  a + b + c = 0 и обратно.     11.Показать, что если a × b + b × c + c × a = 0 , то векторы  a , b , c компланарны. 12.Вычислить векторное произведение a × b и площадьпараллеллограмма, построенногона этих векторах: a) a = { 2, 3, 1} , b = { 5, 6, 4} ; b) a = { 5, − 2, 1} , b = { 4, 0, 6} ;    13.Две тройки векторов a1 , a2 , a3 и b1 , b2 , b3 называютсявзаимными,если векторы этихтроек связаны соотношениями: ai b j = 1 при i = j , ai b j = 0 при i ≠ j .

Пользуясьоперациямии векторного умножения, найти  скалярного  векторы b1 , b2 , b3 тройки, взаимной тройке векторов a1 , a2 , a3 .Семинар 5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ14Определение. Системой координат на плоскости или впространстве называется правило, сопоставляющее каждойточке упорядоченный набор из двух или трех чисел,называемых координатами точки. Единственное требование,чтобы разным точкам соответствовали разные числа.Определение. Аффинная система координат на плоскостизадается указанием произвольной точки O , называемойначалом системы координат, и двух неколлинеарных векторовe1 ,e2 , отложенных от точки O , и называемых базиснымивекторами этой системы координат. Прямые, проходящиечерез начало координат O параллельно базисным векторамe1 ,e2 , называются осями координат и обозначаются Ox, Oy .При этом координаты произвольной точки M находятсяследующим образом. Через точку M проводят прямые,параллельные осям координат Ox, Oy .

Пусть M 1 и M 2 –точки пересечения этих прямых соответственно с осямиOx, Oy . Отношение длины вектора OM 1 к длине вектора e1называется первой координатой точки M и обозначается x .Аналогично отношение длины вектора OM 2 к длине вектораe2 называется второй координатой точки M и обозначается y.

При этом пишут M ( x, y ) . Аналогично определяетсяаффинная система координат в пространстве любого числаизмерений.Определение. Аффинная система координат называетсяпрямоугольной, если угол между любыми осями координатпрямой, иначе её называют косоугольной.Определение. Пусть наряду с базисом e1 , e2 , e3 , которыйбудем называть старым, дан новый базис e1′, e2′ , e3′ с началом15 a11 a12O : ei′ = ∑ a ji e j . Тогда матрица A =  a21 a22j= 1a 31 a323a13 a23  называетсяa33 матрицей перехода от базиса e1 , e2 , e3 к базису e1′, e2′ , e3′ .Замечание.

Так как векторы e1′, e2′ , e3′ некомпланарны, тоdet A ≠ 0 .Теорема. Если A = (a ij ) – матрица перехода от старогобазиса к новому, то старые координаты вектора выражаютсячерез новые координаты вектора следующим образом:x = a11 x′ + a12 y′ + a13 z′ ,3y = a21 x′ + a22 y′ + a23 z′ ,x=или∑ a ji xi' .ji= 1z = a31 x′ + a32 y′ + a33 z′ ,Определение. Пусть O′ ( x0 , y0 , z0 ) – новое началокоординат. Переносом начала координат называетсяпреобразование: x′ = x − x0 , y′ = y − y0 , z′ = z − z0 , где x′ , y′ , z′– новые координаты вектора.Утверждение.

Пусть старая и новые системы координатпрямоугольные, причем длины базисных векторов одинаковы.Тогда матрица перехода A ортогональная, т. е. AAT = E , иформулы преобразования принимают видx = x′ cos α 1 + y′ cos α 2 + z′ cos α 3 ,y = x′ cos β 1 + y′ cos β 2 + z ′ cos β 3 ,z = x′ cos γ 1 + y′ cos γ 2 + z ′ cos γ 3 .Углы α i , β i , γ i – это углы между новыми и старымибазисными векторами, т. е.e1′ = e1 cos α 1 + e2 cos β 1 + e3 cos γ 1 ,e′2 = e1 cos α 2 + e2 cos β 2 + e3 cos γ 2 ,e3′ = e1 cos α 3 + e2 cos β 3 + e3 cos γ 3 .16Это преобразование соответствует повороту прямоугольнойсистемы координат в пространстве.

Характеристики

Список файлов семинаров