1610907571-6fe73e068368dd3ebacff69ec111f514 (824677)
Текст из файла
Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç1Ëåêòîð - ïðîô. Â. Í. Ñòàðîâîéòîâ1-é ñåìåñòðÃëàâà 1. Ìíîæåñòâà è îòîáðàæåíèÿ. 1. Ìíîæåñòâî è åãî ýëåìåíòû.Ïðè àáñîëþòíî ñòðîãîì ïîäõîäå ìíîæåñòâî îïðåäåëÿåòñÿ êàê íåêîòîðûé îáúåêò, óäîâëåòâîðÿþùèé íàáîðó àêñèîì. Ìû íå áóäåì ýòîãî äåëàòü, à îãðàíè÷èìñÿ òàê íàçûâàåìîéíàèâíîé òåîðèåé ìíîæåñòâ, êîòîðàÿ îïèðàåòñÿ íà íàø ïîâñåäíåâíûé îïûò. Îïðåäåëèììíîæåñòâî êàê ñîâîêóïíîñòü ðàçëè÷èìûõ îáúåêòîâ ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû, ðàññìàòðè-âàåìóþ êàê åäèíîå öåëîå. Ñàìè îáúåêòû íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà. Âîîáùåãîâîðÿ, ýòî îïðåäåëåíèå íåïðèåìëåìî, òàê êàê îïèðàåòñÿ íà ïîíÿòèå ñîâîêóïíîñòü, êîòîðîå, ôàêòè÷åñêè, ÿâëÿåòñÿ ñèíîíèìîì ïîíÿòèÿ ìíîæåñòâî.  îïðàâäàíèå ñêàæåì, ÷òîñëîâî ìíîæåñòâî áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ, êàê çàôèêñèðîâàííûé ìàòåìàòè÷åñêèé òåðìèí,à ñîâîêóïíîñòü ñëîâî, ïðèçâàííîå îáúÿñíèòü ýòîò òåðìèí.
Êàê áû òî íè áûëî, áóäåìñ÷èòàòü, ÷òî íàì èçâåñòíû ïîíÿòèÿ ìíîæåñòâî è ýëåìåíò ìíîæåñòâà.  êà÷åñòâå ñèíîíèìîâ òåðìèíà ìíîæåñòâî ìû òàêæå áóäåì èñïîëüçîâàòü òåðìèíû êëàññ, ñåìåéñòâî,íàáîð è äðóãèå. Óïîòðåáëåíèå ýòèõ òåðìèíîâ ñ îäíîé ñòîðîíû ÿâëÿåòñÿ äàíüþ òðàäèöèè,ñ äðóãîé ïðèçâàíî èçáåæàòü ïàðàäîêñîâ íàèâíîé òåîðèè ìíîæåñòâ.Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ìíîæåñòâ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü â ýòîé ãëàâå ïðîïèñíûå áóêâû ëàòèíñêîãî àëôàâèòà (A,B, C ,.
. . ), à äëÿ ýëåìåíòîâ ñòðî÷íûå (a,b , c,. . . ). Òîò ôàêò, ÷òîx ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà A, íà ìàòåìàòè÷åñêîì ÿçûêå çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: x ∈ A. Åñëè æå x íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì A, òî ïèøóò x ̸∈ Aèëè x∈A. Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ïåðâîå èç ýòèõ îáîçíà÷åíèé. Äâà ìíîæåñòâà A è Bðàâíû (A = B ), åñëè îíè ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ.Åñëè êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà A ÿâëÿåòñÿ òàêæå ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà B , òî ãîâîðÿò, ÷òî A ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà B (A ⊂ B ). A ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûìïîäìíîæåñòâîì B (A b B ), åñëè A ⊂ B è A ̸= B (A íå ðàâíî B ).îáúåêòÑâîéñòâà:1)A ⊂ A;åñëè A ⊂ Båñëè A ⊂ BB ⊂ A, òî A = B ;3)è B ⊂ C , òî A ⊂ C .Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè A è B :1) ïåðåñå÷åíèå A ∩ B åñòü ìíîæåñòâî òåõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A, êîòîðûå ïðèíàäëåæàòB;2) îáúåäèíåíèå A ∪ B åñòü ìíîæåñòâî îáúåêòîâ, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ õîòÿ áû â îäíîì èçìíîæåñòâ A è B ;3) ðàçíîñòü A \ B åñòü ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ A, íå âõîäÿùèõ â B ;4) ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü A△B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).2)èÑâîéñòâà:1)A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A1⃝c(ñèììåòðè÷íîñòü );Â.Í.Ñòàðîâîéòîâ1A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C , A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (àññîöèàòèâíîñòü );3) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (äèñòðèáóòèâíîñòü );4) A△B = (A \ B) ∪ (B \ A).Ïóñòü M ìíîæåñòâî, A è B åãî ïîäìíîæåñòâà.
Ìíîæåñòâî CM A = M \ A íàçûâàåòñÿäîïîëíåíèåì A â M .Çàêîíû äå Ìîðãàíà : CM (A ∩ B) = CM A ∪ CM B , CM (A ∪ B) = CM A ∩ CM B .2)Ñïîñîáû çàäàíèÿ ìíîæåñòâ:= {ì, à, ò, å, è, ê} ìíîæåñòâî áóêâ â ñëîâå ¾ìàòåìàòèêà¿);P êàêîå-òî ñâîéñòâî, P(x) îçíà÷àåò, ÷òî x îáëàäàåò ñâîéñòâîì P . Òîãäà A ={x | P(x)} ìíîæåñòâî îáúåêòîâ, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì P , B = {x ∈ M | P(x)} ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà M , îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì P .Ïóñòîå ìíîæåñòâî ∅ ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå ýëåìåíòîâ. Ñâîéñòâà ïóñòîãî ìíîæå1) ïåðå÷èñëåíèå (A2) ïóñòüñòâà:1)2)∅ ⊂ A äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A;CM ∅ = M , CM M = ∅.Äëÿ çàïèñè ìàòåìàòè÷åñêèõ óòâåðæäåíèé ÷àñòî áûâàåò óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ëîãè÷åñêîéñèìâîëèêîé. Óòâåðæäåíèå (âûñêàçûâàíèå ) åñòü ïîâåñòâîâàòåëüíîå ïðåäëîæåíèå, êîòîðîåìîæåò áûòü ëèáî èñòèííûì, ëèáî ëîæíûì.ÏóñòüAèB óòâåðæäåíèÿ, òîãäà:qA (íå A) èñòèííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A ëîæíî;A ∧ B (A è B ) èñòèííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A è B èñòèííû;óòâåðæäåíèå A ∨ B (A èëè B ) èñòèííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà õîòÿ áû îäíî èç óòâåðæäåíèé A è B èñòèííî;óòâåðæäåíèå A ⇒ B (A âëå÷åò B , èç A ñëåäóåò B ) èñòèííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàèñòèííî qA ∨ B ;óòâåðæäåíèå A ⇔ B (A ðàâíîñèëüíî B ) èñòèííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èñòèííî(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A).óòâåðæäåíèåóòâåðæäåíèåÊâàíòîðû :∀ ¾äëÿ ëþáîãî¿, ¾äëÿ âñåõ¿ (êâàíòîð âñåîáùíîñòè),∃ ¾ñóùåñòâóåò¿ (êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ),∃ ! ¾ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé¿.Ïðèìåðû.1)2)3)A ∩ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)};A ⊂ B åñòü óòâåðæäåíèå (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B);A ∩ B ̸= ∅ åñòü óòâåðæäåíèå (∃x)(x ∈ A ∧ x ∈ B).Îòðèöàíèå óòâåðæäåíèÿ: ïóñòüq(A ∧ B) = (qA) ∨ (qB),q(A ∨ B) = (qA) ∧ (qB),q((∀x)A(x)) = (∃x)(qA(x)),q((∃x)A(x)) = (∀x)(qA(x)),q(A ⇒ B) = A ∧ (qB).AèB• óòâåðæäåíèÿ, òîãäà 2.
Îòîáðàæåíèÿ.ÏóñòüXèY ìíîæåñòâà. Íåñòðîãî ãîâîðÿ, îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâàXâ ìíîæåñòâîåñòü ïðàâèëî (èëè çàêîí), ñîãëàñíî êîòîðîìó êàæäîìó ýëåìåíòó ìíîæåñòâà2XYñòàâèòñÿ âñîîòâåòñòâèå îäèí ýëåìåíò ìíîæåñòâàY.Ïðè ýòîìXíàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿîòîáðàæåíèÿ.  êà÷åñòâå ñèíîíèìîâ òåðìèíà ¾îòîáðàæåíèå¿ ìû, â çàâèñèìîñòè îò ñèòóàöèè, áóäåì èñïîëüçîâàòü òåðìèíû ¾ôóíêöèÿ¿, ¾ïðåîáðàçîâàíèå¿, ¾îïåðàòîð¿ è äðóãèå.Äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåìX ×YìíîæåñòâXèïàð(x, y), ãäå x ∈ XXn ,êàê ìíîæåñòâî âñåõ óïîðÿäî÷åííûõ íàáîðîâÎïðåäåëåíèå.GèYíàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõy ∈ Y .
Åñëè äàíî n ìíîæåñòâ X1 , . . . , Xn , òî îïðåäåëèì X1 ×X2 ×· · ·×(x1 , x2 , . . . , xn ), ãäå x1 ∈ X1 , . . . , xn ∈ Xn .X â ìíîæåñòâî Y íàçûâàåòñÿ÷òî ∀x ∈ X ∃ !y ∈ Y | (x, y) ∈ G.Îòîáðàæåíèåì ìíîæåñòâàäåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿX ×Y,òàêîå,ïîäìíîæåñòâî•FF : X → Y èëè X → Y . Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ îòîáðàæåíèÿF ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç dom F . Åñëè x ∈ dom F , òî F (x) ∈ Y åñòü îáðàç ýëåìåíòà xïðè îòîáðàæåíèè F . Åñëè A ⊂ dom F , òî F (A) = {y ∈ Y | (∃x ∈ A)(y = F (x))} åñòü îáðàçìíîæåñòâà A ïðè îòîáðàæåíèè F . Ìíîæåñòâî im F = F (dom F ) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì−1çíà÷åíèé îòîáðàæåíèÿ F .
Åñëè B ⊂ Y , òî ìíîæåñòâî F(B) = {x ∈ dom F | F (x) ∈ B}−1íàçûâàåòñÿ ïðîîáðàçîì ìíîæåñòâà B ïðè îòîáðàæåíèè F . Î÷åâèäíî, ÷òî F(im F ) =dom F .ÎòîáðàæåíèåFîáîçíà÷àåòñÿF : X → Y íàçûâàåòñÿ ñþðúåêòèâíûì (èëè íàêðûâàþùèì ), åñëè im F = Y , ò.å. ∀y ∈ Y ∃ x ∈ X | F (x) = y .Îòîáðàæåíèå F : X → Y íàçûâàåòñÿ èíúåêòèâíûì (èëè âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì ), åñëè(∀x1 , x2 ∈ X)(x1 ̸= x2 ⇒ F (x1 ) ̸= F (x2 )).Îòîáðàæåíèå F : X → Y íàçûâàåòñÿ áèåêòèâíûì, åñëè îíî ñþðúåêòèâíî è èíúåêòèâíî.•Îïðåäåëåíèå.ÎòîáðàæåíèåÄâà îòîáðàæåíèÿèF1 (x) = F2 (x)F1äëÿF2 íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè (ïèøåòñÿ F1 = F2 ), åñëè dom F1 = dom F2âñåõ x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ýòèõ îòîáðàæåíèé.èîòîáðàæåíèéF : Y → Z .
Ñóïåðïîçèöèåé (èëè êîìïîçèöèåé )îòîáðàæåíèå F ◦ G : X → Z , òàêîå, ÷òî (∀x ∈ X) (F ◦ÎòîáðàæåíèåIX : X → X , òàêîå, ÷òî IX (x) = x äëÿ âñåõ x ∈ X , íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåí-Ïóñòü äàíû äâà îòîáðàæåíèÿG:X→YG è F íàçûâàåòñÿG)(x) = F (G(x)) ∈ Z .èíûì.ÎòîáðàæåíèåF (x) = yF : X → Yx ∈ X.íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííûì, åñëè ñóùåñòâóåòy ∈ Y,òàêîå, ÷òîäëÿ âñåõG : Y → X íàçûâàåòñÿ îáðàòíûì ê îòîáðàæåíèþ F : X →G ◦ F = IX . Îáðàòíîå ê F îòîáðàæåíèå îáîçíà÷àåòñÿ F −1 .•Îïðåäåëåíèå.
ÎòîáðàæåíèåY,åñëèF ◦ G = IYèËåììà. Ïóñòü äàíû îòîáðàæåíèÿñþðúåêöèÿ, àGF :X →YèG : Y → X.ÅñëèF ◦ G = IY , èíúåêöèÿ.òîF•Òåîðåìà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû îòîáðàæåíèå èìåëî îáðàòíîå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáûîíî áûëî áèåêòèâíûì.•Óòâåðæäåíèå. Åñëè îáðàòíîå îòîáðàæåíèå ñóùåñòâóåò, òî îíî åäèíñòâåííî.•Ïóñòü çàäàíû îòîáðàæåíèÿäëÿ âñåõx ∈ X1 ,F1 .òîF1F1 : X1 → YèF2 : X2 → Y .íàçûâàåòñÿ ñóæåíèåì îòîáðàæåíèÿîòîáðàæåíèÿ3X1 ⊂ X2 è F1 (x) = F2 (x)F2 , à F2 ïðîäîëæåíèåìÅñëèÃëàâà 2. ×èñëîâûå ñèñòåìû. 1.
Âåùåñòâåííûå ÷èñëà.XÅñëè íåïóñòîå ìíîæåñòâî, òî ëþáîå îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâàñÿ áèíàðíîé îïåðàöèåé íàóìíîæåíèåì. ÅñëèxyèX.x+yâXíàçûâàåò-Ââåä¼ì äâå áèíàðíûå îïåðàöèè, íàçûâàåìûå ñëîæåíèåì è ýëåìåíòû íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà, òî ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ êíèì ýòèõ îïåðàöèé òðàäèöèîííî îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåçÏðè ýòîìX ×Xíàçûâàåòñÿ ñóììîé, àÎïðåäåëåíèå. Íåïóñòîå ìíîæåñòâîxyXx+yèxy(èëèx · y ) ñîîòâåòñòâåííî.x è y. ïðîèçâåäåíèåì ýëåìåíòîâíàçûâàåòñÿ ïîëåì, åñëè íà í¼ì îïðåäåëåíû äâå áè-íàðíûå îïåðàöèè, íàçûâàåìûå ñëîæåíèåì è óìíîæåíèåì, êîòîðûå îáëàäàþò ñëåäóþùèìèñâîéñòâàìè:S1.
(çàêîí àññîöèàòèâíîñòè äëÿ ñëîæåíèÿ )åñëèS2. (x, y, z ∈ X ,x + (y + z) = (x + y) + z ;òîñóùåñòâîâàíèå íóëÿ )ñóùåñòâóåò ýëåìåíòS3. (òàêîé, ÷òîx+0=0+x=xäëÿ âñåõx ∈ X;ñóùåñòâîâàíèå ïðîòèâîïîëîæíîãî ýëåìåíòà)äëÿ êàæäîãîS4. (0 ∈ X,x∈Xñóùåñòâóåò ýëåìåíò(−x) ∈ X , òàêîé, ÷òî x + (−x) = (−x) + x = 0;çàêîí êîììóòàòèâíîñòè äëÿ ñëîæåíèÿ )åñëèM1. (x, y ∈ X ,x + y = y + x.çàêîí àññîöèàòèâíîñòè äëÿ óìíîæåíèÿ )åñëèM2. (òîx, y, z ∈ X ,òîx(yz) = (xy)z ;ñóùåñòâîâàíèå åäèíèöû )ñóùåñòâóåò ýëåìåíòM3. (1 ∈ X,òàêîé, ÷òî1 ̸= 0èx·1=1·x=xäëÿ âñåõx ∈ X;ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîãî ýëåìåíòà) äëÿ êàæäîãî x ∈ X \ {0} ñóùåñòâóåò ýëåìåíò1∈ X,xòàêîé, ÷òîx·11= · x = 0;xxçàêîí êîììóòàòèâíîñòè äëÿ óìíîæåíèÿ ) åñëè x, y ∈ X , òî xy = yx.(çàêîí äèñòðèáóòèâíîñòè ) åñëè x, y, z ∈ X , òî x(y + z) = xy + xz .M4.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
