1610907571-6fe73e068368dd3ebacff69ec111f514 (824677), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Ôóíêöèÿ x 7→ x íàçûâàåòñÿñòåïåííîé. ż ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå êîìïîçèöèè ïîêàçàòåëüíîé è ëîãàðèôìè÷åñêîéôóíêöèé:pxp = aloga (x ) = ap loga x .Íàïîìíèì, ÷òî åñëèp ∈ Z, òî xp îïðåäåëåíî ïðè âñåõ x ∈ R. Òî åñòü, îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿñòåïåííîé ôóíêöèè ñ öåëûì ïîêàçàòåëåì ÿâëÿåòñÿ âñÿ âåùåñòâåííàÿ ïðÿìàÿ.Ãèïåðáîëè÷åñêèå ôóíêöèè.Îïðåäåëèì åù¼ íåêîòîðûå òåñíî ñâÿçàííûå ñ ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè.sh x = 12 (ex − e−x ) ãèïåðáîëè÷åñêèé ñèíóñ (äðóãîå îáîçíà÷åíèåch x = 12 (ex + e−x ) ãèïåðáîëè÷åñêèé êîñèíóñ (äðóãîå îáîçíà÷åíèåsinh x).cosh x).sh x ãèïåðáîëè÷åñêèé òàíãåíñ (äðóãîå îáîçíà÷åíèå tanh x).chxchxcth x = sh ãèïåðáîëè÷åñêèé êîòàíãåíñ (äðóãîå îáîçíà÷åíèå coth x).x22Îòìåòèì îäíî ñâîéñòâî ýòèõ ôóíêöèé: ch x − sh x = 1.th x = 3.
Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ôóíêöèé.(Ñêàæåì, ÷òîlim f (x) = Ax→+∞K ∈ R+ , ÷òî |f (x) − A| < ε(x < −K ).)lim f (x) = Ax→−∞ïðè âñåõ, åñëè äëÿ ëþáîãîx ∈ dom f ,lim f (x) = Ax→+∞lim f (x) = Ax→−∞→ ±∞lim f (xk ) = Ak→∞Òåîðåìà. ()lim f (xk ) = A .k→∞x > Kñïðàâåäëèâà òåîðåìà Ãåéíå:, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿëþáîé âîçðàñòàþùåé (óáûâàþùåé) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè(ñóùåñòâóåò òàêîåóäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâóÓïðàæíåíèå.
Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ( ïðåäåëîâ ïðè)xäëÿ òîãî, ÷òîáûε>0{xk }k∈N , ñòðåìÿùåéñÿ ê +∞ (−∞),•Âòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë )lim (1 + x)1/x = lim (1 + 1/x)x = lim (1 + 1/x)x = e.x→0x→+∞x→−∞25•Ïóñòüfèg÷òî ôóíêöèÿîêðåñòíîñòü ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êèfUáåñêîíå÷íî ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ ôóíêöèåéòî÷êèx0è ôóíêöèÿφ : U → R,gx0 ∈ R.Ñêàæåì,x → x0 , åñëè ñóùåñòâóþòf (x) = φ(x) g(x) ïðè x ∈ïðèòàêèå, ÷òîf (x)= 0. Ýòîò ôàêò çàïèñûâàåòñÿg(x)()ñëåäóþùèì îáðàçîì: f (x) = o g(x) ïðè x → x0 (÷èòàåòñÿ: f åñòü ¾î ìàëîå¿ îò g ïðè x,ñòðåìÿùåìñÿ ê x0 ).
Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå x0 = +∞ (èëè x0 = −∞) ïîä U ïîíèìàåòñÿêàêîé-ëèáî èíòåðâàë (δ, +∞) (èëè (−∞, −δ)), δ > 0.()Ñêàæåì, ÷òî f (x) = O g(x) ïðè x → x0 (÷èòàåòñÿ: f åñòü ¾î áîëüøîå¿ îò g ïðè x,ñòðåìÿùåìñÿ ê x0 ), åñëè ñóùåñòâóþò K ∈ R+ è δ > 0, òàêèå, ÷òî |f (x)| 6 K|g(x)| ïðè âñåõx ∈ Uδ (x0 ), ãäå(x0 − δ, x0 + δ), x0 ∈ R,Uδ (x0 ) = (δ, +∞),x0 = +∞,(−∞, −δ),x0 = −∞.Uèφ(x) → 0x → x0 .ïðèÎ÷åâèäíî, ÷òî åñëèÄðóãèìè ñëîâàìè,()f (x) = o g(x)x → x0 ,ïðèlimx→x0òî()f (x) = O g(x)ïðèx → x0 .Ïðèìåðû.a>12) Ïóñòüp > 0.Òîãäà3) Ïóñòüp > 0.Òîãäàèxp= 0.x→+∞ axln xx−p = o((ln x)−1 ) ïðè x → +∞. Òî åñòü, lim= 0.x→+∞ xp()|x|p = o (ln |x|)−1 ïðè x → 0.
Òî åñòü, lim |x|p ln |x| = 0.p > 0.1) ÏóñòüÒîãäàa−x = o(x−p )ïðèx → +∞.Òî åñòü,limx→04)sin x = O(x)ïðèx → 0.5)sin x = O(1)ïðèx → x0äëÿ ëþáîãîx0 ∈ R.•Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:()()()f1 (x) = o g(x) è f2 (x) = o g(x) ïðè x → x0 ∈ R, òî f1 (x) + f2 (x) = o g(x) è()f1 (x)f2 (x) = o g(x) ïðè x → x0 ∈ R;()()()2) åñëè f1 (x) = o g(x) è f2 (x) = O g(x) ïðè x → x0 ∈ R, òî f1 (x)f2 (x) = o g(x) ïðèx → x0 ∈ R;()()()3) åñëè f1 (x) = o g(x) è f2 (x) = O g(x) ïðè x → x0 ∈ R, òî f1 (x) + f2 (x) = O g(x) ïðèx → x0 ∈ R.1) åñëèÎáû÷íî â êà÷åñòâåx0 óæåp ∈ R.gáåðóò êàêóþ-íèáóäü ïðîñòóþ ôóíêöèþ, ïîâåäåíèå êîòîðîé ïðè x →x0 = 0 èëè ïðè x0 = ±∞ óäîáíî áðàòü g(x) = |x|p , ãäåèçâåñòíî.
Íàïðèìåð, ïðèÃëàâà 5. Äèôôåðåíöèðîâàíèå. 1. Äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè.f : (a, b) → R íàçûâàåòñÿA ∈ R, òàêîå, ÷òîÎïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿåñëè ñóùåñòâóþò ÷èñëîäèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êåφ(x) := f (x) − f (x0 ) − A(x − x0 ) = o(x − x0 )26ïðèx → x0 .x0 ∈ (a, b),•f : (a, b) → Ròàêîå ÷èñëî A ∈ R,Èíîãäà ýòî îïðåäåëåíèå óäîáíî ñôîðìóëèðîâàòü â òàêîé ôîðìå: ôóíêöèÿíàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êåx0 ∈ (a, b),åñëè ñóùåñòâóþò÷òîφ(h) := f (x0 + h) − f (x0 ) − Ah = o(h)×èñëîAâ òî÷êåíàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèèx0îáîçíà÷àåòñÿÑîãëàñíî îïðåäåëåíèþf ′ (x0 )èëèo(x − x0 ),fâ òî÷êådf(x0 ).dxx0 .h → 0.ïðèÎáû÷íî ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèèäîëæíà ñóùåñòâîâàòü òàêàÿ ôóíêöèÿψ,f÷òîφ(x − x0 ) = ψ(x − x0 ) (x − x0 )èψ(x − x0 ) → 0ïðèx → x0 .Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êåx0 ,òî îíà íåïðåðûâíà âýòîé òî÷êå.f : (a, b) → RÒåîðåìà.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ôóíêöèÿx0 ∈ (a, b),íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàë ïðåäåëlimx→x0Ïðè ýòîìáûëà äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êåf (x) − f (x0 )= A.x − x0A = f ′ (x0 ).Òàêèì îáðàçîì, åñëè•fäèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êåf ′ (x0 ) = limx→x0Ïðèìåð.Ôóíêöèèsin, cosèòîf (x0 + h) − f (x0 )f (x) − f (x0 )= lim.h→0x − x0hexp(sin x)′ (x0 ) = cos x0 ,Ïðèìåð. Ôóíêöèÿx0 ,äèôôåðåíöèðóåìû â ëþáîé òî÷êå(cos x)′ (x0 ) = − sin x0 ,(ex )′ (x0 ) = ex0 .|h|= lim sgn h.h→0 hh→0Òåîðåìà. Ïóñòü ôóíêöèèf +gèè•|x| íå äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x0 = 0, òàê êàê íå ñóùåñòâóåò ïðåäåë•lim1) ôóíêöèèx0 ∈ Rfgfègäèôôåðåíöèðóåìû â òî÷êåäèôôåðåíöèðóåìû â òî÷êåx0x0 .Òîãäàè(f + g)′ (x0 ) = f ′ (x0 ) + g ′ (x0 ),(f g)′ (x0 ) = f ′ (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g ′ (x0 );2) åñëèg(x0 ) ̸= 0,òî ôóíêöèÿf /g( f )′gäèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå(x0 ) =x0f ′ (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g ′ (x0 ).g 2 (x0 )27è•Ïðèìåð.ÅñëèÒåîðåìà. (x0 ,x0tg äèôôåðåíöèðóåìà â( sin x )′1.(tg x)′ (x0 ) =(x0 ) =cos xcos2 x0òî ôóíêöèÿx0 ∈ Ròî÷êåè•Î ïðîèçâîäíîé ñëîæíîé ôóíêöèè ) Åñëè ôóíêöèÿ g äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êåà ôóíêöèÿòî÷êåcos x0 ̸= 0,fäèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êåèg(x0 ),òî ôóíêöèÿf ◦gäèôôåðåíöèðóåìà â()(f ◦ g)′ (x0 ) = f ′ g(x0 ) g ′ (x0 ).Ïðèìåð.
Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèèsin x2 .•f (y) = sin yÏîëîæèìèg(x) = x2 .Òîãäà(sin x2 )′ (x0 ) = (f ◦ g)′ (x0 ) = 2x0 cos x20 .p ∈ R. Íàéäåìg(x) = p ln x. ÒîãäàÏðèìåð. Ïóñòüf (y) = eyèïðîèçâîäíóþ ôóíêöèèxp•â òî÷êåx0 ∈ R+ .Ïîëîæèì(xp )′ (x0 ) = (f ◦ g)′ (x0 ) = p xp−10 .Òåîðåìà. (•Î ïðîèçâîäíîé îáðàòíîé ôóíêöèè ) Ïóñòü f : (a, b) → R ñòðîãî ìîíîòîííàÿíåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Åñëè f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x0()−1ôóíêöèÿ f: f (a, b) → R äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå f (x0 ) è()(f −1 )′ f (x0 ) = ýòîé òåîðåìå ñòðîãàÿ ìîíîòîííîñòü ôóíêöèè−1ôóíêöèè f.Ïðèìåð. Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèèarctg y = f−1(y).Îáîçíà÷èì ÷åðåçx0(arctg y)′ (y0 ) =f1f ′ (x0)∈ (a, b)èf ′ (x0 ) ̸= 0,òî•.íåîáõîäèìà äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îáðàòíîéarctg yy0 ∈ R .tg x0 = y0 .â òî÷êåòî÷êó, äëÿ êîòîðîé11= cos2 x0 =.′(tg(x)) (x0 )1 + y02Ñêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà íà ìíîæåñòâåE,Åñëèf (x) = tg x,òîÒîãäà•åñëè îíà äèôôåðåíöèðóåìà âêàæäîé òî÷êå ýòîãî ìíîæåñòâà.Ïóñòü ôóíêöèÿfäèôôåðåíöèðóåìà íà(a, b).Òîãäà ìû ìîæåì îïðåäåëèòü ôóíêöèþ,′ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå f (x).
Åñëè ïîëó÷åííàÿêîòîðàÿ êàæäîé òî÷êå x èíòåðâàëà (a, b)′ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà, ìû ìîæåì å¼ ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü è ïîëó÷èòü ôóíêöèþ(f ′ )′ , íàçûâàåìóþ âòîðîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f . Äåéñòâóÿ äàëåå ïî òàêîé æå ñõåìå, ìûìîæåì îïðåäåëèòü ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè f ëþáîãî ïîðÿäêà. Ïðîèçâîäíûå ïîðÿäêà k îáîdk f(k).
Äëÿ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêà èñïîëüçóþòñÿ åù¼çíà÷àþòñÿ fèëèdxk′′′′′(0)îáîçíà÷åíèÿ f è fñîîòâåòñòâåííî. Êðîìå òîãî, ïîä f(ïðîèçâîäíàÿ íóëåâîãî ïîðÿäêà)ïîíèìàþò ñàìó ôóíêöèþf.C k (E) îáîçíà÷àåòñÿ ìíîæåñòâî ôóíêöèé, èìåþùèõ íà E íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå0ïîðÿäêà k . Ìíîæåñòâî C (E), îáîçíà÷àåìîå îáû÷íî ÷åðåç C(E), åñòü ìíîæåñòâî íåïðå∞ðûâíûõ íà E ôóíêöèé. ×åðåç C (E) îáîçíà÷àåòñÿ ìíîæåñòâî ôóíêöèé, èìåþùèõ íà Eíåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ëþáîãî ïîðÿäêà k ∈ N.×åðåç28Óïðàæíåíèå. Äîêàçàòü ôîðìóëû:(f1 f2 · · · fn)′= f1′ f2 · · · fn + f1 f2′ · · · fn + · · · + f1 f2 · · · fn′ ,(f g)(n)=n∑•Cnm f (n−m) g (m) .m=0Ñêàæåì, ÷òî ãðàôèêè ôóíêöèé f è g èìåþò â òî÷êå x0 êàñàíèå ïîðÿäêà n, åñëè f (x0 ) =g(x0 ), f ′ (x0 ) = g ′ (x0 ), .
. .(, f (n) (x0 ) =g (n) (x0 ). Äðóãîå îïðåäåëåíèå ýòîãî ïîíÿòèÿ ñîñòîèò â)nòîì, ÷òî f (x) − g(x) = o (x − x0 )ïðè x → x0 .b,òîå¼ ãðàôèê ïðÿìàÿ ëèíèÿ. Ýòà ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèèf (x0 ) = g(x0 ) è f ′ (x0 ) = g ′ (x0 ) (êàñàíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà).f,Åñëè ôóíêöèÿgÿâëÿåòñÿ àôôèííîé, òî åñòüg(x) = a + b xäëÿ íåêîòîðûõ ÷èñåëaèåñëèf (x) = x2êîýôôèöèåíòû a è bÏðèìåð. Íàéäåì êàñàòåëüíóþ ê ãðàôèêó ôóíêöèèâ òî÷êåa + bxîïðåäåëÿþòñÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèå ýòîé êàñàòåëüíîé, òîx0 = 2.Åñëèy =óðàâíåíèé:x20 = a + b x0 ,Ïðèx0 = 2a = −4y = −4 + 4x.ìû ïîëó÷àåì, ÷òîçàäàåòñÿ óðàâíåíèåì2x0 = b.b = 4.èÒàêèì îáðàçîì, èñêîìàÿ êàñàòåëüíàÿ• 2.
Êëàññè÷åñêèå òåîðåìû äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ.Òåîðåìû Ôåðìà è Ðîëëÿx0 ∈ R íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà (ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà ) ôóíêöèè f : R → R, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ îêðåñòíîñòü U ýòîé òî÷êè, ÷òî f (x0 ) > f (x)()f (x0 ) 6 f (x) äëÿ âñåõ x ∈ U . Åñëè x0 òî÷êà ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà èëè ìàêñèìóìà,Òî÷êàîíà íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà.Òî÷êàx0 ∈ Ríàçûâàåòñÿ òî÷êîé ñòðîãî ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà (ñòðîãî ëîêàëüíîãî ìè-f : R )→ R, åñëè ñóùåñòâóåòf (x0 ) > f (x) f (x0 ) < f (x) äëÿ âñåõ x ∈ U \ {x0 }.íèìóìà ) ôóíêöèèòàêàÿ îêðåñòíîñòü(Òåîðåìà.
(Uýòîé òî÷êè, ÷òîÔåðìà) Ïóñòü f : (a, b) → R äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ. Åñëè x0 ∈ (a, b)åñòü òî÷êà ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà ôóíêöèèÏðèìåð. Ôóíêöèÿf (x) = x2èìååò â òî÷êåf,òîf ′ (x0 ) = 0.x0 = 0•ìèíèìóì èf ′ (x0 ) = 2x0 = 0.•f ′ (x0 ) = 0, òî x0 íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé (èíîãäà êðèòè÷åñêîé òî÷êîé )ôóíêöèè f . Èç òîãî, ÷òî x0 ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà ôóíêöèè f íå ñëåäóåò, ÷òî x0 òî÷êàëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà ýòîé ôóíêöèè.
Íàïðèìåð, x0 = 0 ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé, íî íå3ýêñòðåìàëüíîé òî÷êîé ôóíêöèè f (x) = x .ÅñëèÒåîðåìà. ((a, b).ÅñëèÐîëëü) Ïóñòü f : [a, b] → R íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, äèôôåðåíöèðóåìàÿ íàf (a) = f (b),òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êàx0 ∈ (a, b),÷òîf ′ (x0 ) = 0.•Òåîðåìû î êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèÿõÒåîðåìà. (Òåîðåìà Ëàãðàíæà î êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèÿõ ) Ïóñòü f : (A, B) → R äèôôå-ðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà äëÿ ëþáîé èíòåðâàëξ , ÷òî f (b) − f (a) = f ′ (ξ)(b − a).29(a, b) ⊂ (A, B)ñîäåðæèò òàêóþ òî÷êó•(f : (a, b) → R äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ. Åñëè f ′ (x) > 0 f ′ (x) >x ∈ (a, b), òî f âîçðàñòàþùàÿ (íåóáûâàþùàÿ) íà (a, b) ôóíêöèÿ.•Ñëåäñòâèå. Ïóñòü)0äëÿ âñåõf : (a, b) → R äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
