1610907571-6fe73e068368dd3ebacff69ec111f514 (824677), страница 4
Текст из файла (страница 4)
. , a∑n } ÷èñåë èëè äðóãèõ îáúåêòîâ, êîòîðûå ìîæíî ñêëàäûâàòü, òî èõn2i=1 ai . Òàêèì îáðàçîì, åñëè x, y ∈ R , òîñóììó îáîçíà÷àþò òàê:|x − y| =2(∑(xi − yi )2)1/2.i=1a êàêàÿ-ëèáî òî÷êà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè R2 è r ∈ R+ . Ìíîæåñòâî Sr (a) ={x ∈ R2 | |x − a| = r} íàçûâàåòñÿ îêðóæíîñòüþ ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â òî÷êå a.  ýòîìïóíêòå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç S îêðóæíîñòü S1 (0).ÏóñòüÍàøà äàëüíåéøàÿ öåëü ââåñòè ïîíÿòèå äëèíû äóãè îêðóæíîñòè.
Ïóñòüíàaèb òî÷êèS , ïðè÷¼ì äëÿ òîãî, ÷òîáû ïåðåéòè èç a â b ìû äîëæíû äâèãàòüñÿ ïî Sñòðåëêè. Ìíîæåñòâî òî÷åê îêðóæíîñòèS,çàêëþ÷¼ííûõ ìåæäóaïðîòèâ ÷àñîâîé⌢è b, íàçîâ¼ì äóãîé ab. êîíåö äóãè. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé íàáîð {ξ 0 , ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n }⌢⌢íåñîâïàäàþùèõ òî÷åê íà ab, òàêèõ, ÷òî ξ 0 = a è ξ n = b. Âïèñàííîé â äóãó ab ëîìàíîéñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ ξ k íàçûâàåòñÿ íàáîð îòðåçêîâ [ξ k−1 , ξ k ], k = 1, 2, . . . , n, ãäå îòðåçîê[ξ k−1 , ξ k ] åñòü ìíîæåñòâî òî÷åê x ∈ R2 , òàêèõ, ÷òî x = (1 − t) ξ k−1 + t ξ k äëÿ íåêîòîðîãî t ∈Òî÷êàa íà÷àëî, àb[0, 1].
Åñëè ìû îáîçíà÷èì ýòó ëîìàíóþ ÷åðåç ξ̄ , òî å¼ äëèíó îïðåäåëèì êàê ïîëîæèòåëüíîå11ℓ(ξ̄) =L(a, b).âåùåñòâåííîå ÷èñëîîáîçíà÷èì ÷åðåç∑n⌢i=1 |ξ i − ξ i−1 |. Ìíîæåñòâî âñåõ âïèñàííûõ â äóãó ab ëîìàíûõ⌢Íàçîâ¼ì äëèíîé äóãèabîêðóæíîñòèSâåùåñòâåííîå ÷èñëîs(a, b) = sup ℓ(ξ̄) = sup{ℓ(ξ̄) | ξ̄ ∈ L(a, b)}.ξ̄∈L(a,b)Óïðàæíåíèå. Äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå ñóïðåìóìà ìíîæåñòâàÏîäñêàçêà: óñòàíîâèòü, ÷òî ìíîæåñòâîAA = {ℓ(ξ̄) | ξ̄ ∈ L(a, b)}.îãðàíè÷åíî ñâåðõó, íàïðèìåð, ÷èñëîì 8 (ïåðè-ìåòðîì íàèìåíüøåãî êâàäðàòà, ñîäåðæàùåãî îêðóæíîñòü•S ).Àääèòèâíîñòü äëèíû äóãè ) Åñëè c ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà äóãå ab, òî⌢Óòâåðæäåíèå. (•s(a, b) = s(a, c) + s(c, b).Òåïåðü ìû ìîæåì îïðåäåëèòü ïîíÿòèå óãëà :d := s(a, b).a0bÎáîçíà÷èì ÷åðåçeòî÷êó(1, 0) ∈ S è îïðåäåëèì ôóíêöèþ ϕ : S → R ñëåäóþùèì îáðàçîì: ϕ(a) = s(e, a) (îò e êa äâèæåìñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè).
Äëÿ âåëè÷èíû ϕ(−e), ãäå −e = (−1, 0), ñî âðåì¼íÀðõèìåäà ïðèíÿòî ñïåöèàëüíîå îáîçíà÷åíèå: π . ×èñëî π ÿâëÿåòñÿ äëèíîé ïîëîâèíû åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè S . Ñîîòâåòñòâåííî, äëèíà âñåé îêðóæíîñòè ðàâíà 2π . Èòàê, êàæäîéòî÷êå îêðóæíîñòè S ìû ïîñòàâèëè â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî èç ïðîìåæóòêà [0, 2π) ÷èñëîâîéïðÿìîé. Óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî äëÿ êàæäîãî âåùåñòâåííîãî ÷èñëà ϕ ∈ [0, 2π) ñóùåñòâóåòòî÷êà a ∈ S , òàêàÿ, ÷òî ϕ = s(e, a), ìû äîêàçûâàòü íå áóäåì è ïðèìåì åãî â êà÷åñòâåàêñèîìû. Ôàêòè÷åñêè, ýòî ïðåäïîëîæåíèå îçíà÷àåò îòñóòñòâèå ðàçðûâîâ íà îêðóæíîñòè,÷òî âïîëíå ñîîòâåòñòâóåò íàøèì ãåîìåòðè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèÿì.ϕ∉ [0, 2π), ìû ïîëîæèì a(ϕ + 2πk) = a(ϕ) äëÿâñåõ k ∈ Z. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êàæäîãî ψ ∈ R ìû îäíîçíà÷íî îïðåäåëèì ϕ ∈ [0, 2π) èk ∈ Z, òàêèå, ÷òî ψ = ϕ + 2πk , è ïîëîæèì a(ψ) = a(ϕ).×òîáû îïðåäåëèòü òî÷êóa(ϕ) ∈ SïðèÎïðåäåëèì òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè.
Äëÿ êàæäîãîcos ψ = a1 (ψ),sin ψ = a2 (ψ),ψ ñîsin ψîòâåòñòâåííî. Åñëè cos ψ ̸= 0, òî âåëè÷èíó tg ψ =íàçûâàþò òàíãåíñîì óãëà ψ .cos ψcos ψÅñëè sin ψ ̸= 0, òî âåëè÷èíó ctg ψ =íàçûâàþò êîòàíãåíñîì óãëà ψ . Òàê êàêsin ψa(ψ) = a(ψ + 2πk) äëÿ âñåõ k ∈ Z, ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:ãäå(a1 (ψ), a2 (ψ)) = a(ψ).ψ∈Rsin ψ = sin(ψ + 2πk),äëÿ âñåõÝòè âåëè÷èíû íàçûâàþòñÿ êîñèíóñîì è ñèíóñîì óãëàcos ψ = cos(ψ + 2πk),tg ψ = tg(ψ + 2πk),ctg ψ = ctg(ψ + 2πk)k ∈ Z.T ∈ R+ . Ôóíêöèÿ f : R → R íàçûâàåòñÿ T -ïåðèîäè÷åñêîé, åñëè f (x + T ) = f (x)x ∈ R.
Ïðè ýòîì ÷èñëî T íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì ôóíêöèè f . Òàêèì îáðàçîì,òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè cos, sin, tg è ctg ÿâëÿþòñÿ 2π -ïåðèîäè÷åñêèìè.Ïóñòüäëÿ âñåõÓïðàæíåíèå. Äîêàçàòü ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:cos2 ψ + sin2 ψ = 1,cos(ϕ + ψ) = cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ,sin(ϕ + ψ) = sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ.12• 3. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà.Äîáàâèì ê ìíîæåñòâóR îäèí äîïîëíèòåëüíûé ñèìâîë i è áóäåì âûïîëíÿòü ñ íèì àðèôìå-òè÷åñêèå îïåðàöèè êàê ñ îáû÷íûìè âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè.
Ñèìâîë i íàçûâàåòñÿ ìíè2ìîé åäèíèöåé è õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: i = −1. Îáúåêòû âèäà x + iy ,ãäåxèy âåùåñòâåííûå ÷èñëà, íàçûâàþòñÿ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè. Ìíîæåñòâî âñåõC. ×àùå âñåãî êîìïëåêñíûå ÷èñëà ìû áóäåì îáîçíà÷àòü áóêâîé z . Òàêèì îáðàçîì, åñëè z ∈ C, òî ñóùåñòâóþò âåùåñòâåííûå ÷èñëà x è y ,òàêèå, ÷òî z = x + iy . ×èñëî x íàçûâàåòñÿ âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z(îáîçíà÷àåòñÿ x = Re z ), à y ìíèìîé ÷àñòüþ (îáîçíà÷àåòñÿ y = Im z ).
Äâà êîìïëåêñíûõêîìïëåêñíûõ ÷èñåë îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç÷èñëà ðàâíû, åñëè ñîâïàäàþò èõ âåùåñòâåííûå è ìíèìûå ÷àñòè. Îïðåäåëèì ñëîæåíèå èóìíîæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåëz1 = x1 + iy1èz2 = x2 + iy2ñëåäóþùèì îáðàçîì:z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ),z1 z2 = x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ).Òî åñòü, àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè âûïîëíÿþòñÿ òî÷íî òàê æå,2êàê ñ âåùåñòâåííûìè, íî ïðè ýòîì ó÷èòûâàåòñÿ, ÷òî i = −1.C ÿâëÿåòñÿ ïîëåì. Íóë¼ì ýòîãî ïîëÿ ñëóæèò ÷èñëî 0 = 0 + i · 0, àåäèíèöåé ÷èñëî 1 = 1 + i · 0. Ïîÿñíèì, êàê íàõîäèòñÿ îáðàòíûé ýëåìåíò.
Ïóñòü z = x + iy íåíóëåâîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî. Ñîïðÿæ¼ííûì ê z íàçûâàåòñÿ ÷èñëî z = x − iy . Òàê êàêzz = x2 + y 2 ̸= 0, îáðàòíûì ýëåìåíòîì äëÿ z áóäåò ÷èñëî z/(x2 + y 2 ).Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òîx ñ êîìïëåêñíûì ÷èñëîì x + i · 0, òîïîëå C ÿâëÿåòñÿ ðàñøèðåíèåì ïîëÿ R).Åñëè ìû îòîæäåñòâèì âåùåñòâåííîå ÷èñëî÷òîRÿâëÿåòñÿ ïîäïîëåì ïîëÿC(ò.å.,ïîëó÷èì,Êîìïëåêñíûå ÷èñëà äîïóñêàþò åñòåñòâåííóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ. Êàæäîìóêîìïëåêñíîìó ÷èñëóíûõ ÷èñåë(x, y),z = x + iyïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó âåùåñòâåíR2 . Òàêèìêîòîðàÿ çàäà¼ò íåêîòîðóþ òî÷êó íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòèîáðàçîì, êîìïëåêñíûå ÷èñëà ìîãóò áûòü èçîáðàæåíû òî÷êàìè íà ïëîñêîñòè, êîòîðàÿ ïîýòîé ïðè÷èíå íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòüþ.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñëîæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ïðîèçâîäèòñÿ êàê ñëîæåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ èì âåêòîðîâ.
Ñ óìíîæåíèåì äåëî îáñòîèò íåìíîãî ñëîæíåå. Ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî√÷èñëà z = x+iy íàçûâàåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî |z| =x2 + y 2 . Àðãóìåí-z = x+iy ̸= 0 íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó âåêòîðàìè ñ êîîðäèíàòàìè(1, 0) è (x, y). Åñëè ìû îáîçíà÷èì ìîäóëü ÷èñëà z ÷åðåç ρ, à àðãóìåíò ÷åðåç ϕ, òî ïîëó÷èìäëÿ ÷èñëà z ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå:òîì êîìïëåêñíîãî ÷èñëàz = ρ (cos ϕ + i sin ϕ).cos è sin ÿâëÿþòñÿ 2π -ïåðèîäè÷åñêèìè, ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâàíå èçìåíèòñÿ, åñëè ìû âìåñòî ϕ íàïèøåì ϕ + 2πk , ãäå k ïðîèçâîëüíîå öåëîå ÷èñëî.
Òîåñòü, êàæäîìó êîìïëåêñíîìó ÷èñëó ñîîòâåòñòâóåò ìíîãî çíà÷åíèé óãëà ϕ. Ìíîæåñòâî âñåõýòèõ çíà÷åíèé îáîçíà÷àþò ÷åðåç Arg z . ×òîáû îïðåäåëèòü àðãóìåíò ÷èñëà îäíîçíà÷íî,Ïîñêîëüêó ôóíêöèèñïåöèàëüíî îãîâàðèâàþò, â êàêîì ïðîìåæóòêå åãî ñëåäóåò âûáèðàòü. Îáû÷íî ýòî áûâàåò îäèí èç ïîëóèíòåðâàëîâ[0, 2π) è (−π, π]. Çíà÷åíèå àðãóìåíòà â ïðåäåëàõ âûáðàííîãîarg z è íàçûâàþò ãëàâíûì çíà÷åíèåì àðãóìåíòà.ïðîìåæóòêà îáîçíà÷àþò ÷åðåç13Ñ ïîìîùüþ îïèñàííîãî âûøå ïðåäñòàâëåíèÿ, íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéïðîèçâåäåíèå äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.
Âîçüì¼ì äâà ïðîèçâîëüíûõ íåíóëåâûõ êîìïëåêñíûõ ÷èñëà:z1 = ρ1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )èz2 = ρ2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ).Èñïîëüçóÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôîðìóëû, ìû ïîëó÷èì:z1 z2 = ρ1 ρ2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )).Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íàéòè íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè âåêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé êîìïëåêñíîìó ÷èñëóz1 z2 , ìû äîëæíû óäëèíèòü âåêòîð (x1 , y1 ) â ρ2ðàç è ïîâåðíóòü íà óãîëϕ2(íàïîìíèì, ÷òî ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ïîâîðîòà ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè). Ìîæíî, êîíå÷íî, óäëèíèòü âåêòîð(x2 , y2 )âρ1ðàç è ïîâåðíóòü íà óãîëϕ1 .Ðåçóëüòàò îò ýòîãîíå èçìåíèòñÿ.Óïðàæíåíèå. Âîñïîëüçîâàâøèñü ïîëó÷åííûì ïðåäñòàâëåíèåì äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë è ïðèíöèïîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, äîêàçàòü ôîðìóëó Ìóàâðà :z k = ρk (cos kϕ + i sin kϕ),ãäåρ = |z|, ϕ = arg z , k ∈ N.• 4.
Êàðäèíàëüíûå ÷èñëà.A ðàâíîìîùíî ìíîæåñòâó B , åñëè ñóùåñòâóåò âçàèìíî-îäíîçíà÷F : A → B , òàêîå, ÷òî F (A) = B (òî åñòü, F áèåêöèÿ). ÎòíîøåíèåÑêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâîíîå îòîáðàæåíèåðàâíîìîùíîñòè ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè, òàê êàê îíî îáëàäàåòñëåäóþùèìè î÷åâèäíûìè ñâîéñòâàìè:1) ëþáîå ìíîæåñòâî ðàâíîìîùíî ñàìîìó ñåáå (ðåôëåêñèâíîñòü);B , òî B ðàâíîìîùíî A (ñèììåòðè÷íîñòü);3) åñëèðàâíîìîùíî B è B ðàâíîìîùíî C , òî A ðàâíîìîùíî C (òðàíçèòèâíîñòü).Òîò ôàêò, ÷òî ìíîæåñòâà A è B ðàâíîìîùíû, ìû áóäåì îáîçíà÷àòü A ∼ B .2) åñëèAAðàâíîìîùíîÂñå ìíîæåñòâà ìîæíî ðàçáèòü íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ êëàññû ðàâíîìîùíûõ ìíîæåñòâ.Ìîùíîñòüþ (èëè êàðäèíàëüíûì ÷èñëîì ) ìíîæåñòâà íàçîâ¼ì êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, êî-òîðîìó ýòî ìíîæåñòâî ïðèíàäëåæèò.
Ìîùíîñòü êàêîãî-ëèáî ìíîæåñòâàcard A. Âûðàæåíèå card A = card Båñòü ÷òî A ∼ B .çíà÷àòü ÷åðåçìîùíû, òîÄëÿ êàæäîãî{1, 2, . . . , k}.k ∈Nîáîçíà÷èì ÷åðåçAcard A = k .Ìíîæåñòâîýòîì ïîëîæèìNkAìû áóäåì îáî-îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâàAèBðàâíî-k íàòóðàëüíûõ ÷èñåë: Nk =A ∼ Nk äëÿ íåêîòîðîãî k ∈ N, ïðècard ∅ = 0.
Îäíàêî, îñíîâíàÿ ïðè÷è-ìíîæåñòâî ïåðâûõíàçûâàåòñÿ êîíå÷íûì, åñëèÒàêæå, ïî îïðåäåëåíèþ,íà ââåäåíèÿ êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë ñâÿçàíà ñ ïîïûòêîé ñðàâíåíèÿ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ.Íàçîâ¼ì ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íûì, åñëè îíî íå ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì. Äåäåêèíä ïðåäëîæèëíàçûâàòü ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íûì, åñëè îíî ðàâíîìîùíî íåêîòîðîìó ñâîåìó ñîáñòâåííîìóïîäìíîæåñòâó.Ìîùíîñòè ìíîæåñòâ ìîæíî ñðàâíèâàòü. Ñêàæåì, ÷òî ìîùíîñòü ìíîæåñòâàB (card A 6 card B ),A ∼ B1 è B1 ⊂ B ).õîäèò ìîùíîñòè ìíîæåñòâàæåñòâó ìíîæåñòâàB(ò.å.,Óïðàæíåíèå.
Äîêàçàòü, ÷òî åñëèåñëècard A 6 card B14èAAíå ïðåâîñ-ðàâíîìîùíî íåêîòîðîìó ïîäìíî-card B 6 card C ,òîcard A 6 card C .•Òåîðåìà. (Òåîðåìà Øð¼äåðà Áåðíøòåéíà) Ïóñòü A è B ïðîèçâîëüíûå ìíîæåñòâà.card A 6 card BÅñëèècard B 6 card A,òîA ìåíüøåcard A ̸= card B .Ñêàæåì, ÷òî ìîùíîñòü ìíîæåñòâàåñëècard A 6 card BÒåîðåìà. (è•card A = card B .ìîùíîñòè ìíîæåñòâàB (card A < card B ),Ïåðâàÿ òåîðåìà Êàíòîðà) Ïóñòü A ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî. Òîãäà card A <card P(A), P(A) ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà•A.Êàê ñëåäóåò èç ýòîé òåîðåìû, íå ñóùåñòâóåò íàèáîëüøåãî êàðäèíàëüíîãî ÷èñëà. Êàêîåáû ìíîæåñòâîAìû íè âçÿëè, âñåãäà ìîæíî ïîñòðîèòü ìíîæåñòâîÑ÷¼òíûå ìíîæåñòâà.ñòâó íàòóðàëüíûõ ÷èñåëB,ìîùíîñòü êîòîðîãîA.áîëüøå ìîùíîñòè ìíîæåñòâàÌíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ñ÷¼òíûì, åñëè îíî ðàâíîìîùíî ìíîæå-N.Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ íå áîëåå, ÷åì ñ÷¼òíûì, åñëè îíî êî-íå÷íî èëè ñ÷¼òíî.Óïðàæíåíèå.
Äîêàçàòü, ÷òî îáúåäèíåíèå äâóõ íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òíûõ ìíîæåñòâ (íå îáÿ-•çàòåëüíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ) åñòü íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî.Êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, ñ÷¼òíûå ìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ â íåêîòîðîì ñìûñëåíàèìåíüøèìè èç áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ.Òåîðåìà. Ëþáîå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ñîäåðæèò ñ÷¼òíîå ïîäìíîæåñòâî.•Ñëåäñòâèå. Ëþáîå áåñêîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî ñ÷¼òíîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ ñ÷¼òíûì.•Ñëåäñòâèå. ÅñëèAB áåñêîíå÷íîå, à íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâà, òîB) = card A.card (A ∪•card (N × N) = card N.Òåîðåìà.•Ñëåäñòâèå. Îáúåäèíåíèå ñ÷¼òíîãî ÷èñëà ñ÷¼òíûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ ñ÷¼òíûì ìíîæå-•ñòâîì.Ñëåäñòâèå.card Q = card N.•Óïðàæíåíèå. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî àëãåáðàè÷åñêèõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ñ÷¼òíî.Ìíîæåñòâà ìîùíîñòè êîíòèíóóìà.•Ñêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî èìååò ìîùíîñòü êîí-òèíóóìà, åñëè îíî ðàâíîìîùíî îòðåçêó[0, 1].
Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ìîùíîñòè êîíòèíóóìà ìûc.Ëþáîé ïðîìåæóòîê âåùåñòâåííîé ïðÿìîé (êàê èáóäåì èñïîëüçîâàòü ëàòèíñêóþ áóêâóâñÿ ïðÿìàÿ) èìååò ìîùíîñòüÒåîðåìà. (Âòîðàÿ òåîðåìà Êàíòîðà)Ñëåäñòâèå.ðåçêà[0, 1]c.card N < c.•Èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà ñóùåñòâóþò. Ìíîæåñòâî èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë îò-•èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà.Óïðàæíåíèå. ÏóñòüA ìíîæåñòâî ìîùíîñòè êîíòèíóóìà, àæåñòâî. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâîÓòâåðæäåíèå.ÅñëèAèBA\BB åãî ñ÷¼òíîå ïîäìíî-èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà. íåïåðåñåêàþùèåñÿ ìíîæåñòâà ìîùíîñòè êîíòèíóóìà, òîcard (A ∪ B) = c.•Àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè{Xk }k∈N ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïåðåñåêàþùèõñÿc.
Äîñòàòî÷íîFk : Xk → (1/(k +1), 1/k], k ∈ N è îïðåäåëèòü áèåêöèþ F : ∪∞k=1 Xk →ìíîæåñòâ ìîùíîñòè êîíòèíóóìà, òî èõ îáúåäèíåíèå òîæå èìååò ìîùíîñòüðàññìîòðåòü áèåêöèè•15(0, 1] = ∪∞k=1 (1/(k + 1), 1/k],óæå óñòàíîâëåííûé íàìè ðàíåå ôàêò:()card [0, 1] × [0, 1] = c.Òåîðåìà.Ñëåäñòâèå.Åñëè äëÿ êàæäîãîX = ∪α∈[0,1] XαìíîæåñòâîFk íà Xk . Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåòìíîæåñòâî R = ∪n∈Z (n, n + 1] èìååò ìîùíîñòü c.êîòîðàÿ ñîâïàäàåò ñ•α ∈ [0, 1]ìíîæåñòâîXαèìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà, òî•òîæå èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà.Ãëàâà 3. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû. 1.
×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.×èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå èçÎïðåäåëåíèå. ×èñëîáîãîε>0ñóùåñòâóåòNâR(èëè âC).α íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {an }n∈N , åñëè äëÿ ëþN ∈ N, òàêîå, ÷òî |an − α| < ε äëÿ âñåõ n > N .•Â ñèìâîëüíîì âèäå ýòî îïðåäåëåíèå çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:()(∀ ε > 0)(∃N ∈ N)(∀ n ∈ N) n > N ⇒ |an − α| < ε .Îòðèöàíèå ýòîãî óòâåðæäåíèÿ()(∃ ε > 0)(∀ N ∈ N)(∃ n ∈ N) n > N ∧ |an − α| > εîçíà÷àåò, ÷òî ÷èñëîαíå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè{an }n∈N .Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, èìåþùàÿ ïðåäåë, íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
