1610907571-6fe73e068368dd3ebacff69ec111f514 (824677), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Åñëè äâîéíîé ðÿäi,j=1 ai bjÏîñêîëüêóñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, òî ìû ìîæåì ñóììèðîâàòü åãî ÷ëåíû â ëþáîì ïîðÿäêå, ñîñòàâèâ èçíèõ ïðè ýòîì îáû÷íûé ðÿä:∞∑a i bj =i,j=1ãäå(i, j) = φ(k)è∞∑ck ,k=1ck = ai bj .Íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä Êîøè ñóììèðîâàíèÿ äâîéíûõ ðÿäîâ. Ýòîò ìåòîä çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî∞∑a i bj =i,j=1∞∑dk ,(∗)k=1∑∞i èj=1 bj ñõîäÿòñÿ àáñîëþòíî ê A è B ñîîòâåòi=1 a∑∞òîãî, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî(∗) è k=1 dk = AB . Áîëåå ∑∑∞∞ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå âåðíî è â ñëó÷àå, êîãäà îäèí èç ðÿäîâj=1 bj ñõîäèòñÿi=1 ai è∑kn=1 ak−n+1 bn .
Åñëè ðÿäûñòâåííî, òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîãäådk =∑∞20àáñîëþòíî, à äðóãîé óñëîâíî. Ïðîèñõîæäåíèå ìåòîäà Êîøè äåìîíñòðèðóåò ñëåäóþùèéïðèìåð.Ïðèìåð.x ∈ R ïåðåìíîæèìñòåïåíÿìè x, ìû ïîëó÷èì:Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî÷ëåíû ñ îäèíàêîâûìè∞∑∞∑ai xii=1ãäådk÷åðåçj=1 êîýôôèöèåíòû, îïðåäåëåííûå âÏðèìåð.∑∞Òîãäà∞∑∑∞ii=1 ai xè∑∞jj=1 bj x . Ñîáèðàÿdk xk ,k=1•(∗).x ∈ R ðÿä k=0 xk /k ! ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî. Îáîçíà÷èì åãî ñóììóexp(x + y) = exp(x) exp(y) äëÿ âñåõ x, y ∈ R.•Äëÿ êàæäîãîexp(x).bj xj =ðÿäûÃëàâà 4. Ôóíêöèè âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé. ýòîé ãëàâå ìû áóäåì èçó÷àòü ôóíêöèè (îòîáðàæåíèÿ), äåéñòâóþùèå èç íåêîòîðîãî ìíîæåñòâàE⊂RâR. 1.
Ïðåäåë ôóíêöèè â òî÷êå.Îïðåäåëåíèå. Ñêàæåì, ÷òî âåùåñòâåííîå ÷èñëîA ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f â òî÷êåa ∈ R, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò δ > 0, òàêîå, ÷òî |f (x)−A| < ε äëÿ âñåõ x ∈ dom f ,óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó 0 < |x − a| < δ .•Çàìåòèì, ÷òî òî÷êàa ìîæåòdom f , îäíàêî îíà äîëæíà áûòü ïðåäåëüA ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f â òî÷êå a,A = lim f (x).è íå ïðèíàäëåæàòüíîé òî÷êîé ýòîãî ìíîæåñòâà. Òîò ôàêò, ÷òîçàïèñûâàþò ñëåäóþùèì îáðàçîì:Òåîðåìà.
(x→aÃåéíå ) Äëÿ òîãî, ÷òîáû x→alim f (x) = A, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ{xn },ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åêñîîòíîøåíèåñõîäÿùåéñÿ ê òî÷êåaïðèn → ∞,âûïîëíÿëîñü•lim f (xn ) = A.n→∞Îïðåäåëèì ñóììó è ïðîèçâåäåíèå ôóíêöèéfèg,èìåþùèõ îäíó è òó æå îáëàñòü îïðåäå-ëåíèÿ:(f + g)(x) = f (x) + g(x),Ñëåäñòâèå.
Åñëè ôóíêöèèlim g(x) = B , òîx→a1) lim (f + g)(x) = Ax→a2) lim (f g)(x) = AB ,x→afèg(f g)(x) = f (x)g(x).èìåþò îäíó è òó æå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ,lim f (x) = Ax→aè3)limx→af (x)A=g(x)B+ B,Ñëåäñòâèå. Ïóñòü ôóíêöèèèlim g(x) = B .x→aB ̸= 0ïðè óñëîâèè, ÷òîÅñëèx ∈ dom f = dom g ,fèA < B,gèg(x) ̸= 0èìåþò îäíó è òó æå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ,òî ñóùåñòâóåòf, gèhòàêîå, ÷òîa.•lim f (x) = Ax→af (x) < g(x)äëÿ âñåõ0 < |x − a| < δ .•f (x) 6lim f (x) =èìåþò îäíó è òó æå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ, èh(x) 6 g(x)â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êèlim g(x) = A,òî ñóùåñòâóåò ïðåäåëx→aδ > 0,óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâóÑëåäñòâèå.
Ïóñòü ôóíêöèèâ íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êèa.lim h(x) = A.x→a21Åñëè ñóùåñòâóþò ïðåäåëûx→a•ÔóíêöèÿÔóíêöèÿf :R→Rf :R→RÏðèìåð. (Ïåðâûéf (−x) = f (x) äëÿ âñåõ x ∈ R.íàçûâàåòñÿ íå÷¼òíîé, åñëè f (−x) = −f (x) äëÿ âñåõ x ∈ R.sin xçàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë ) x→0lim= 1.xíàçûâàåòñÿ ÷¼òíîé, åñëè• 2. Íåïðåðûâíûå ôóíêöèè.f íåïðåðûâíà â òî÷êå a ∈ dom f , åñëè äëÿ ëþáîãîε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå δ > 0, ÷òî |f (x) − f (a)| < ε äëÿ âñåõ x ∈ dom f , óäîâëåòâîðÿþùèõíåðàâåíñòâó |x − a| < δ (èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî, íåðàâåíñòâó 0 < |x − a| < δ ).•Îïðåäåëåíèå.
Ñêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿÑðàâíèâ ýòî îïðåäåëåíèå ñ îïðåäåëåíèåì ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå, ìû çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿfa ∈ dom fíåïðåðûâíà â òî÷êåòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàf : R → R íåïðåðûâíà â òî÷êå a ∈ R.|f (x)| 6 K äëÿ âñåõ x ∈ (a − δ, a + δ).Òåîðåìà. Ïóñòü ôóíêöèÿèK ∈ R+ ,òàêèå, ÷òîÒåîðåìà. Ïóñòü ôóíêöèÿñóùåñòâóåòδ > 0,lim f (x) = f (a).x→aÒîãäà ñóùåñòâóþòf : R → R íåïðåðûâíà â òî÷êå a ∈ Rf (x) > 0 äëÿ âñåõ x ∈ (a − δ, a + δ).èf (a) > 0.fègíåïðåðûâíû â òî÷êåa ∈ R.Òîãäà•òàêîå, ÷òîÒåîðåìà.
Ïóñòü ôóíêöèèδ>0•Òîãäà(f + g) è f g íåïðåðûâíû â òî÷êå a;g(a) ̸= 0, òî ôóíêöèÿ f /g íåïðåðûâíà â òî÷êå a.1) ôóíêöèè2) åñëèÒåîðåìà. Ïóñòü ôóíêöèÿíåïðåðûâíà â òî÷êåg(a).g :R→R•íåïðåðûâíà â òî÷êåa ∈ R,à ôóíêöèÿf ◦ g íåïðåðûâíà â òî÷êå a.)()lim f g(x) = f lim g(x) , åñëè ôóíêöèÿ fÒîãäà ôóíêöèÿÈç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî(x→ax→af :R→R•íåïðåðûâíà âg(a) = lim g(x).òî÷êåx→aÃîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ ðàçðûâíà (èëè òåðïèò ðàçðûâ ) â òî÷êåa,åñëè îíà íå ÿâëÿåòñÿíåïðåðûâíîé â ýòîé òî÷êå. Òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè ìîæíî êëàññèôèöèðîâàòü.
Äëÿ ýòîãîââåäåì ïîíÿòèå îäíîñòîðîííåãî ïðåäåëà ôóíêöèè.A íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ñëåâà ôóíêöèè f â òî÷êå a åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåòδ > 0, ÷òî |f (x) − A| < ε äëÿ âñåõ x ∈ (a − δ, a) ∩ dom f .•×èñëîòàêîåÏðåäåë ñëåâà â òî÷êå×èñëîAaîáîçíà÷àåòñÿlim f (x), lim f (x)x→a−0x→a−èëè ïðîñòîf â òî÷êå a åñëè äëÿx ∈ (a, a + δ) ∩ dom f .íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ñïðàâà ôóíêöèèñòâóåò òàêîåδ > 0,|f (x) − A| < ε÷òîÏðåäåë ñëåâà â òî÷êåaîáîçíà÷àåòñÿäëÿ âñåõlim f (x), lim f (x)x→a+0x→a+èëè ïðîñòîÓïðàæíåíèå. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ôóíêöèÿäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáûfÑêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿf (a).faf (x) = (sgn x)2èìååò â òî÷êåÍàïðèìåð, ôóíêöèÿÑêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿf áûëà íåïðåðûâíàf (a − 0) = f (a + 0) = f (a).èìååò â òî÷êåax=0ε>0ñóùå-•f (a + 0).a ∈ dom f ,íåîáõî-•f (a − 0) = f (a + 0) ̸=óñòðàíèìûé ðàçðûâ.ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà, åñëèñóùåñòâóþò, íî íå ñîâïàäàþò.
Íàïðèìåð, ôóíêöèÿëþáîãîâ òî÷êåóñòðàíèìûé ðàçðûâ, åñëèèìååò â òî÷êåf (a − 0).f (x) = sgn xf (a − 0)èìååò âf (a + 0)òî÷êå x = 0èðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà.f èìååò â òî÷êå a ðàçðûâ âòîðîãî ðîäà, åñëè õîòÿ áû îäèí èçf (a + 0) íå ñóùåñòâóåò. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ f (x) = sin(1/x) èìååòÑêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿïðåäåëîâf (a − 0)èëè22â òî÷êåx = 0f (x) = 1/xðàçðûâ âòîðîãî ðîäà (îáà ïðåäåëà íå ñóùåñòâóþò). Ôóíêöèÿòàêæå èìååò â òî÷êåx=0ðàçðûâ âòîðîãî ðîäà (îáà ïðåäåëà íå ñóùåñòâóþò).E , åñëè îíà íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êåE , îáîçíà÷àþò ÷åðåçC(E). Âûðàæåíèå ¾f íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ¿ áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî f íåïðåðûâíà íà âñåéÑêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâåýòîãî ìíîæåñòâà. Ìíîæåñòâî ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ íà ìíîæåñòâåñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ.Ïðèìåðû.1) Ôóíêöèèsin x2) Ôóíêöèÿ1/xÒåîðåìà.
(ècos xíåïðåðûâíû íàR.íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâåR \ {0}.•Î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ) Ïóñòü ôóíêöèÿ f : R → Ríåïðåðûâíà íà[a, b].Åñëèf (a) < 0èf (b) > 0,òî ñóùåñòâóåò òî÷êàc ∈ (a, b),òàêàÿ, ÷òî•f (c) = 0.Ñ ïîìîùüþ ýòîé òåîðåìû ìîæíî ïðèáëèæåííî íàõîäèòü ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿf (x) = 0(ìåòîäîì äåëåíèÿ îòðåçêà ïîïîëàì).Òåîðåìà.
(Âåéåðøòðàññ ) Ïóñòü fîãðàíè÷åíà íà[a, b]è ñóùåñòâóþò: R → R íåïðåðûâíàÿ íà [a, b] ôóíêöèÿ. Òîãäà fòî÷êè α, β ∈ [a, b], òàêèå, ÷òî f (α) = min f (x) è f (β) =x∈[a,b]•max f (x).x∈[a,b]E ⊂ dom f . Ñêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ f ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà E , åñëè äëÿ ëþáîãîε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå δ > 0, ÷òî |f (x′ ) − f (x′′ )| < ε äëÿ âñåõ x′ , x′′ ∈ dom f , óäîâëåòâîðÿ′′′þùèõ íåðàâåíñòâó |x − x | < δ .ÏóñòüÎ÷åâèäíî, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íàòî÷êå ìíîæåñòâàÒåîðåìà. (E,òî îíà íåïðåðûâíà â êàæäîéE.Êàíòîð Ãåéíå ) Åñëè ôóíêöèÿ f : [a, b] → R íåïðåðûâíà, òî îíà ðàâíîìåðíîíåïðåðûâíà íà•[a, b]. 3.
Ìîíîòîííûå ôóíêöèè.(f (x′ ) 6 f (x′′ ) f (x′ ) >6 x′′ .()′′′′′′Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ óáûâàþùåé (âîçðàñòàþùåé ), åñëè f (x ) > f (x ) f (x ) < f (x )′′′′′′äëÿ âñåõ x , x ∈ dom f , óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó x < x .Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ íåóáûâàþùåé (íåâîçðàñòàþùåé ), åñëè)f (x′′ ) äëÿ âñåõ x′ , x′′ ∈ dom f , óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó x′Ôóíêöèÿöèÿffíàçûâàåòñÿ ìîíîòîííîé, åñëè îíà íåóáûâàþùàÿ èëè íåâîçðàñòàþùàÿ. Ôóíê-íàçûâàåòñÿ ñòðîãî ìîíîòîííîé, åñëè îíà óáûâàþùàÿ èëè âîçðàñòàþùàÿ.Òåîðåìà. Ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò èìåòü ðàçðûâû òîëüêî ïåðâîãî ðîäà.•Òåîðåìà. Ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò èìåòü íå áîëåå, ÷åì ñ÷åòíîå ÷èñëî ðàçðûâîâ.•Òåîðåìà.
Ïóñòüf : [a, b] → R íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ. Äëÿ òîãî, ÷òîáûðûâíîé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû()f [a, b] = [f (a), f (b)].fáûëà íåïðå-•Àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî è äëÿ íåâîçðàñòàþùèõ ôóíêöèé.(f : [a,) b] → R âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ, òî ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ê íåéôóíêöèÿ f: f [a, b] → R, êîòîðàÿ òîæå ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé. Åñëè äîïîëíèòåëüíî−1èçâåñòíî, ÷òî f íåïðåðûâíà, òî fòîæå íåïðåðûâíà.•Òåîðåìà. Åñëè−123Àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî è äëÿ óáûâàþùèõ ôóíêöèé.Çàìåòèì, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû ôóíêöèÿf : [a, b] → Ráûëà îáðàòèìîé, íåîáõîäèìî èäîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà áûëà ñòðîãî ìîíîòîííîé. 4. Ïîêàçàòåëüíàÿ, ëîãàðèôìè÷åñêàÿ è ñòåïåííàÿ ôóíêöèè.Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ (ax ).a ∈ R+ è x ∈ R.
Ìû óæå îïðåäåëèëè an , a1/n äëÿ= an+m äëÿ n, m ∈ N, à a−1 è a1/n ïîêà( 1/n÷òî)n ÿâëÿþòñÿ−1âåùåñòâåííûå ÷èñëà, ÷òî aa=1è a= a.xÍàøà öåëü îïðåäåëèòü a äëÿ âñåõn ∈ N è a−1 äëÿ a ̸= 0, ïðè÷åì an amñèìâîëàìè, îáîçíà÷àþùèìè òàêèåÏîëîæèì ïî îïðåäåëåíèþËåììà.Äëÿ âñåõa0 = 1a ∈ R+äëÿ âñåõp∈Qè âñåõa ∈ R.îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíû ÷èñëàap ,îáëàäàþùèåñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:◦1 .a−p = 1/(ap )◦2 .ap1 +p2 = ap1 ap2◦3 . Ïóñòüäëÿ ëþáîãîäëÿ âñåõp1 , p 2 ∈ Qèp ∈ Q.p 1 , p 2 ∈ Q.p1 < p2 .Òîãäàap1 < ap2ïðèa ∈ (1, ∞)èap1 > ap2ïðèa ∈ (0, 1).•Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êàæäîãî a ∈ R+ íà ìíîæåñòâå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë Q îïðåäåëåíàpôóíêöèÿ p 7→ a ñî çíà÷åíèÿìè â R+ , êîòîðàÿ, êàê ñëåäóåò èç ñëåäóþùåé ëåììû, ÿâëÿåòñÿíåïðåðûâíîé.Ëåììà.lim ap = ap0Q∋p→p0äëÿ êàæäîãîa ∈ R+Ìû îïðåäåëèëè ïîêàçàòåëüíóþ ôóíêöèþ íàËåììà.è êàæäîãîQ.p0 ∈ Q.Äîîïðåäåëèì å¼ íàsup{ar | r < x, r ∈ Q} = inf{ar | r > x, r ∈ Q}•R.äëÿ ëþáîãîÏóñòüa > 1.x ∈ R.•xrrÏîëîæèì ïî îïðåäåëåíèþ a = sup{a | r < x, r ∈ Q} = inf{a | r > x, r ∈ Q}.
Òàêèìxîáðàçîì, ôóíêöèÿ a ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíà íà R ïðè a ∈ (1, +∞). Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿxxåòñÿ a ïðè a ∈ (0, 1), à ïðè a = 1, êàê óæå îòìå÷àëîñü, a = 1 äëÿ âñåõ x ∈ R.  èòîãå,xìû îïðåäåëèëè a äëÿ âñåõ a ∈ R+ è âñåõ x ∈ R. Ýòà ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ïîêàçàòåëüíîéxè îáîçíà÷àåòñÿ expa (ò.å., a = expa x). ×èñëî a íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì ïîêàçàòåëüíîéxôóíêöèè. Åñëè a = e, òî èíäåêñ a îïóñêàþò è ïèøóò ïðîñòî exp. Ôóíêöèþ exp x = eíàçûâàþò ýêñïîíåíòîé èëè ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèåé. Èçó÷èì ñâîéñòâà ôóíêöèèËåììà.lim ar = axQ∋r→xäëÿ ëþáîãîËåììà.ax1 ax2 = ax1 +x2Ëåììà.ÅñëèËåììà.Òåîðåìà.äëÿ âñåõx ∈ R.•x1 , x2 ∈ R.x1 , x2 ∈ R è x1 < x2 , òî ax1 < ax2lim ax = ax0R∋x→x0Ïðèäëÿ ëþáîãîa ∈ R+ \ {1}expa .•ïðèa ∈ (1, +∞) è ax1 > ax2ïðèa ∈ (0, 1).•x0 ∈ R.ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ•expaÿâëÿåòñÿ áèåêöèåéRíàR+ .
•Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ.expa : R → R+ ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé ïðè a ∈ R+ \ {1}, ìîæíî îïðåäåëèòü îáðàòíîå ê íåìó îòîáðàæåíèå, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèåé ñÏîñêîëüêó îòîáðàæåíèå24a è îáîçíà÷àåòñÿ loga . Êàê ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ, loga : R+ → R ÿâëÿåòñÿ áèåêòèâíûì îòîáðàæåíèåì. Åñëè a = e, ýòà ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ íàòóðàëüíûì ëîãàðèôìîìè îáîçíà÷àåòñÿ ln èëè log.îñíîâàíèåìÒåîðåìà.1)2)3)4)xËîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:= x äëÿ âñåõ x ∈ R è aloga y = y äëÿ âñåõ y ∈ R+ .loga (a )loga (y1 y2 ) = loga y1 + loga y2 äëÿ âñåõ y1 , y2 ∈ R+ .lim loga y = loga y0 äëÿ ëþáîãî y0 > 0.R+ ∋y→y0loga y p = p loga yÒåîðåìà.a > 1,Åñëèy>0äëÿ ëþáîãîòîlogaè ëþáîãîp ∈ R.•0 < a < 1, âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ, à åñëèòî óáûâà-•þùàÿ.Òåîðåìà.(xp )q = xpqäëÿ âñåõx ∈ R+èp, q ∈ R.•Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ.pÌû óæå îïðåäåëèëè a äëÿ âñåõ a > 0 è p ∈ R. Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì ðàññìîòðåòüpôóíêöèþ x , ãäå ïåðåìåííàÿ x ïðîáåãàåò ìíîæåñòâî R+ , à p ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî,píàçûâàåìîå ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè (èëè ïðîñòî ñòåïåíüþ ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
