1610907571-6fe73e068368dd3ebacff69ec111f514 (824677), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëàòàêîå, ÷òîx. Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà x îáîçíà÷àåòñÿx îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç {x} è îïðåäåëÿåòñÿ êàê x − [x]. Íå÷èñëà x ñ ìíîæåñòâîì, ñîñòîÿùèì èç îäíîãî ýëåìåíòà x.öåëîé ÷àñòüþ ÷èñëàn 6 x < n + 1.ñëåäóåò ïóòàòü äðîáíóþ ÷àñòüZ äåëèòñÿ íà äâà íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâà ÷¼òíûõè íå÷¼òíûõ ÷èñåë.
×èñëî n ∈ Z íàçûâàåòñÿ ÷¼òíûì, åñëè ñóùåñòâóåò k ∈ Z, òàêîå, ÷òîn = 2k . ×èñëî n ∈ Z íàçûâàåòñÿ íå÷¼òíûì, åñëè ñóùåñòâóåò k ∈ Z, òàêîå, ÷òî n = 2k + 1.Îòìåòèì åù¼, ÷òî ìíîæåñòâîÂåùåñòâåííûå ÷èñëà âèäà k/n, ãäå k ∈ Zn ∈ N, íàçûâàþòñÿ ðàöèîíàëüíûìè. Ìíîæåñòâî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë îáîçíà÷àåòñÿ÷åðåç Q. Âåùåñòâåííûå ÷èñëà, íå ÿâëÿþùèåñÿ ðàöèîíàëüíûìè, íàçûâàþòñÿ èððàöèîíàëüíûìè.
Ïðè îïðåäåëåíèè ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà k/n âîçíèêàåò ïðîáëåìà, ñâÿçàííàÿ ñ òåì,÷òî äðîáü km/(nm) çàäà¼ò òî æå ñàìîå ÷èñëî äëÿ êàæäîãî m ∈ Z. Òî åñòü, ðàöèîíàëüíûåÐàöèîíàëüíûå è èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà.è÷èñëà çàäàþòñÿ íåîäíîçíà÷íî. Ìû îáîéä¼ì ýòó ïðîáëåìó ñëåäóþùèì îáðàçîì. Íàòóðàëü-ℓ ̸= 1 íàçûâàåòñÿ äåëèòåëåì öåëîãî ÷èñëà k , åñëè k = mℓ äëÿ íåêîòîðîãî m ∈ Z.÷òî äðîáü k/n ÿâëÿåòñÿ íåñîêðàòèìîé, åñëè ÷èñëà k è n íå èìåþò îáùèõ äåëè-íîå ÷èñëîÑêàæåì,òåëåé (òàêèå ÷èñëà íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïðîñòûìè ). Òåïåðü ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòüðàöèîíàëüíûå ÷èñëà, êàê íåñîêðàòèìûå äðîáè.
Ïðè ýòîì äëÿ êàæäîãîîäíîçíà÷íî îïðåäåë¼ííûåÍåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òîëåå, ïîëåQk∈ZQèn ∈ N,òàêèå, ÷òîp∈Qñóùåñòâóþòp = k/n.åñòü óïîðÿäî÷åííîå ïîëå.  òî æå âðåìÿ, êàê ìû óâèäèì äà-íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì. Äëÿ íà÷àëà ìû ïîêàæåì, ÷òî èððàöèîíàëüíûå ÷èñëàñóùåñòâóþò, òî åñòü, ÷òîQ ̸= R.Èñòîðè÷åñêè, èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà âîçíèêëè ïðè ïî2ïûòêå ðåøèòü êâàäðàòíîå óðàâíåíèå x = a, ãäå a ∈ R+ . Ïîëîæèòåëüíîå ðåøåíèå ýòîãî√óðàâíåíèÿ íàçûâàåòñÿ êâàäðàòíûì êîðíåì èç ÷èñëà a è îáîçíà÷àåòñÿa èëè a1/2 .
Äëÿíåêîòîðûõa,íàïðèìåð, äëÿa = 2,íå óäàëîñü íàéòè ðàöèîíàëüíîå ÷èñëîx,óäîâëåòâî-ðÿþùåå ýòîìó óðàâíåíèþ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ñòàíîâèòñÿÿñíî, ÷òî ðåøåíèå äîëæíî ñóùåñòâîâàòü.  ñàìîì äåëå, èñõîäÿ èç òåîðåìû Ïèôàãîðà,xÿâëÿåòñÿ äëèíîé ãèïîòåíóçû ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ äëèíîé êàòåòîâ, ðàâíîéåäèíèöå. Ìû ñåé÷àñ ïîêàæåì, ÷òî âR+ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå êâàäðàòíîãîóðàâíåíèÿ.Òåîðåìà.
(x ∈ R+ ,Î êâàäðàòíîì êîðíå ) Äëÿ êàæäîãî a ∈ R+òàêîå, ÷òîÏî àíàëîãèè ñ êâàäðàòíûì êîðíåì äëÿ ïðîèçâîëüíûõ a√na = a1/n êîðåíü ñòåïåíè n êàê åäèíñòâåííîå âÊîðåíü ñòåïåíè3Q ̸= R.•∈ R+ è n ∈ N ìîæíî îïðåäåëèòüR+ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ xn = a.íàçûâàåòñÿ êóáè÷åñêèì.Òåîðåìà. Âåùåñòâåííîå ÷èñëîÈòàê,ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ÷èñëîx2 = a.√2ÿâëÿåòñÿ èððàöèîíàëüíûì.•Ìíîæåñòâî èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ïîëåì íå ÿâëÿåòñÿ, òàê êàê ðàçíîñòüäâóõ èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë (êàê è ïðîèçâåäåíèå) ìîæåò áûòü ÷èñëîì ðàöèîíàëüíûì.Åù¼ îäèí âûâîä, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ñäåëàòü ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå, ñîñòîèò â òîì, ÷òîQ íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì.  ñàìîì äåëå, ðàññìîòðèì ìíîæåñòâà A = {x ∈ Q | x >0 è x < 2} è B = {x ∈ Q | x > 0 è x2 > 2}.
Î÷åâèäíî, ÷òî a < b äëÿ âñåõ√a ∈ A è b ∈ B .2, êîòîðîå íåÎäíàêî, åäèíñòâåííûì ÷èñëîì, ðàçäåëÿþùèì ýòè ìíîæåñòâà, ÿâëÿåòñÿïðèíàäëåæèò Q.ïîëå2Óòâåðæäåíèå. Åñëè÷èñëîp,òàêîå, ÷òîaèba < p < b.âåùåñòâåííûå ÷èñëà èa < b,òî ñóùåñòâóåò ðàöèîíàëüíîå•Âåùåñòâåííîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì êàêîãî-ëèáînn−1óðàâíåíèÿ âèäà a0 x + a1 x+ . . . + an−1 x + an = 0 ñ n ∈ N è ñ ðàöèîíàëüíûìè èëè, ÷òî9ýêâèâàëåíòíî, öåëûìè êîýôôèöèåíòàìèak , k = 0, 1, .
. . , n. ïðîòèâíîì ñëó÷àå ÷èñëîíàçûâàåòñÿ òðàíñöåíäåíòíûì. 2. Ãåîìåòðè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë.×èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.Ìåæäó ìíîæåñòâîì òî÷åê íà ïðÿìîé è ìíîæåñòâîì âåùåñòâåííûõ÷èñåë ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ìû ÷àñòî áóäåì íàçûâàòüR âåùåñòâåííîé ÷èñëîâîéïðÿìîé, à âåùåñòâåííûå ÷èñëà òî÷êàìè íà ýòîé0,ïðÿìîé. Ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ íà ïðÿìîé ïðàâåå òî÷êèíàçîâ¼ì ïîëîæèòåëüíîéïîëóîñüþ, à ëåâåå îòðèöàòåëüíîé ïîëóîñüþ.Ââåä¼ì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:[a, b] = {x ∈ R | a 6 x 6 b} îòðåçîê (çàìêíóòûé èíòåðâàë, çàìêíóòûé ïðîìåæóòîê),(a, b) = {x ∈ R | a < x < b} èíòåðâàë (îòêðûòûé èíòåðâàë, îòêðûòûé ïðîìåæóòîê),[a, b) = {x ∈ R | a 6 x < b}, (a, b] = {x ∈ R | a < x 6 b} ïîëóèíòåðâàëû .Èíòåðâàëû, îòðåçêè è ïîëóèíòåðâàëû áóäåì íàçûâàòü ïðîìåæóòêàìè è îáîçíà÷àòü×àñòî, ïî àíàëîãèè, ÷èñëîâóþ ïðÿìóþRîáîçíà÷àþò ÷åðåç⟨a, b⟩.(−∞, +∞).x ∈ R íàçûâàåòñÿ ëþáîé èíòåðâàë, ñîäåðæàùèé ýòó òî÷êó.
Äëÿêàæäîãî ε > 0 èíòåðâàë (x − ε, x + ε) íàçûâàåòñÿ ε-îêðåñòíîñòüþ òî÷êè x. Äëèíîé ïðîìåæóòêà ⟨a, b⟩ íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà (b − a). Åñëè I ïðîìåæóòîê, òî åãî äëèíó áóäåìîáîçíà÷àòü ÷åðåç |I|. Ðàññòîÿíèåì ìåæäó òî÷êàìè a è b íàçûâàåòñÿ äëèíà ïðîìåæóòêà ñêîíöàìè a è b, êîòîðàÿ, î÷åâèäíî, ðàâíà |a − b|.Îêðåñòíîñòüþ òî÷êèA ⊂ Ra ∈ A ñóùåñòâóåòU , òàêîé ÷òî a ∈ U ⊂ A.
Ìíîæåñòâî A ⊂ R íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì,åñëè ìíîæåñòâî R \ A îòêðûòî. Ïóñòîå ìíîæåñòâî ∅ ñ÷èòàåòñÿ è îòêðûòûì, è çàìêíóòûì.Ìíîæåñòâîíàçûâàåòñÿ îòêðûòûì, åñëè äëÿ êàæäîé òî÷êèèíòåðâàë (îòêðûòûé)Ýòî, âïðî÷åì, ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ îòêðûòûõ è çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ. Î÷åâèäíî, ÷òî÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿÏóñòüMRòàêæå ÿâëÿåòñÿ è îòêðûòûì, è çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì. ìíîæåñòâî.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâàMíàçûâàåòñÿ îòîá-a : N → M . Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå îáî{an }n∈N , {an }∞n=1 , {an , n ∈ N} èëè ïðîñòî {an }.  ÷àñòíîñòè, åñëè â êà÷åñòâåM âçÿòü P(X) ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ êàêîãî-ëèáî ìíîæåñòâà X , òî ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà X .  ñëåäóþùåé òåîðåìå â êà÷åñòâå M âçÿòîðàæåíèåçíà÷åíèÿ:ìíîæåñòâî âñåõ îòðåçêîâ íà ÷èñëîâîé ïðÿìîé.Òåîðåìà. (Î âëîæåííûõ îòðåçêàõ ) Åñëè {Ik } ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòðåçêîâ ÷èñëîâîéïðÿìîé, òàêèõ, ÷òîòî÷êàc ∈ R,I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ Ik ⊃ . .
.Áîëåå òîãî, åñëè äëÿ ëþáîãîåäèíñòâåííàÿ òî÷êà âÏóñòü(ò.å.,Ik ⊃ Ik+1k ∈ N), òî ñóùåñòâóåòc ∈ ∩k∈N Ik ).k ∈ N, òàêîå, ÷òî |Ik | < ε, òî c •∩k∈N Ik .ε ∈ R+Nm = {k ∈ N | k 6 m}.ñóùåñòâóåòÑêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâîñóùåñòâóåò áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå ýòîãî ìíîæåñòâà íàýòîì ÷èñëîäëÿ âñåõêîòîðàÿ ïðèíàäëåæèò âñåì ýòèì îòðåçêàì (ò.å.,mNmíàçûâàåòñÿ êîëè÷åñòâîì ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâàAÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì, åñëèm ∈ N. ÏðèA íàçûâàåòñÿäëÿ íåêîòîðîãîA.Ìíîæåñòâîáåñêîíå÷íûì, åñëè îíî íå ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì.Ñèñòåìà ìíîæåñòâASíàçûâàåòñÿ ïîêðûòèåì ìíîæåñòâàA,10A ⊂ ∪U ∈S U , òî åñòü,S . Åñëè S ′ ⊂ S è A ⊂åñëèÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì îáúåäèíåíèÿ âñåõ ìíîæåñòâ ñèñòåìû∪U ∈S ′ U ,S′òîíàçûâàåòñÿ ïîäïîêðûòèåì ïîêðûòèÿS.Ñðàçó çàìåòèì, ÷òî ëþáîå ïîäïî-êðûòèå ÿâëÿåòñÿ òàêæå è ïîêðûòèåì ìíîæåñòâà.
Åñëè ñèñòåìàSñîñòîèò èç êîíå÷íîãî÷èñëà ìíîæåñòâ, òî îíà íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûì ïîêðûòèåì.Òåîðåìà. (Î êîíå÷íîì ïîäïîêðûòèè ) Ëþáîå ïîêðûòèå îòðåçêà ÷èñëîâîé ïðÿìîé ñèñòåìîé•èíòåðâàëîâ ñîäåðæèò êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå ýòîãî îòðåçêà.Òî÷êàp∈Rÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâàñîäåðæèòñÿ õîòÿ áû îäíà òî÷êà èçÓïðàæíåíèå. Òî÷êàòîãäà, êîãäà â ëþáîéÒåîðåìà. (A \ {p}.A ⊂ R,åñëè â ëþáîé å¼ îêðåñòíîñòèp ∈ R ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà A ⊂ R òîãäà è òîëüêîå¼ îêðåñòíîñòè ñîäåðæèòñÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê èç A.•Òåîðåìà Áîëüöàíî Âåéåðøòðàññà) Åñëè A ⊂ R îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî,ñîäåðæàùåå áåñêîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê, òîíàäëåæàùóþAèìååò ïðåäåëüíóþ òî÷êó (íå îáÿçàòåëüíî ïðè-•A).2Ðàññìîòðèì äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå R = R × R äâóõ ÷èñ2ëîâûõ ïðÿìûõ. Ýëåìåíòû ìíîæåñòâà R ìû òîæå áóäåì íàçûâàòü òî÷êàìè. Êàæäàÿ òî÷2êà x ∈ R åñòü óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà (x1 , x2 ) âåùåñòâåííûõ ÷èñåë x1 è x2 , íàçûâàåìûõ2êîîðäèíàòàìè òî÷êè x.
Ïî ýòîé ïðè÷èíå ìíîæåñòâî R íàçûâàþò êîîðäèíàòíîé ïëîñ2êîñòüþ. Òî÷êà 0 = (0, 0) íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì êîîðäèíàò. Êàæäîé òî÷êå x ∈ R ìîæ2íî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå âåêòîð ñ íà÷àëîì â 0 è êîíöîì x. Ïîýòîìó òî÷êè â R×èñëîâàÿ îêðóæíîñòü.ìû áóäåì òàêæå íàçûâàòü âåêòîðàìè. Âåêòîðû ìîæíî ñêëàäûâàòü è óìíîæàòü íà âå-x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 ) è tx = (tx1 , tx2 ) äëÿ ëþáîãî t ∈ R. Âåëè÷èíó)1/2|x − y| := (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2íàçûâàþò åâêëèäîâûì ðàññòîÿíèåì ìåæäó òî÷êàìèx è y êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè.
 ýòîì ïóíêòå ó íàñ íå âñòðåòèòñÿ äðóãèõ ðàññòîÿíèé, ïîýòîìó ñëîâî ¾åâêëèäîâî¿ ìû áóäåì îïóñêàòü. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè x äî íà÷àëà êîîðäèíàò0 íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíîé èëè ìîäóëåì âåêòîðà x è îáîçíà÷àåòñÿ |x|.ùåñòâåííîå ÷èñëî:(Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèå, êîòîðîå áóäåò ïîñòîÿííî èñïîëüçîâàòüñÿ â äàëüíåéøåì. Åñëè íàìçàäàí íàáîð{a1 , a2 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
