1610907571-6fe73e068368dd3ebacff69ec111f514 (824677), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Åñëè ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñóùåñòâóåò è ðàâåí êàêîìó-ëèáî ÷èñëóíîñòü ñõîäèòñÿ êα.α, òî ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî ïîñëåäîâàòåëülim an = α èëè ¾an → α ïðè n → ∞¿.Ýòîò ôàêò îáîçíà÷àåòñÿ òàê:n→∞Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, íå ÿâëÿþùàÿñÿ ñõîäÿùåéñÿ, íàçûâàåòñÿ ðàñõîäÿùåéñÿ.Òåîðåìà. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîæåò èìåòü òîëüêî îäèí ïðåäåë.•Òåîðåìà.
Ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îãðàíè÷åíà.•Òåîðåìà. Ïóñòü{an }è{bn } ñõîäÿùèåñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èlim an = α, lim bn = β .n→∞n→∞Òîãäàà)á)lim (an + bn ) = α + β ;n→∞lim (an bn ) = αβ ;n→∞â) åñëèβ ̸= 0èbn ̸= 0äëÿ âñåõn ∈ N,òîαan= .n→∞ bnβ•limÄàëåå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë.Òåîðåìà. (Î ñðàâíåíèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ) Ïóñòü {an} è {bn} ñõîäÿùèåñÿ ïîñëåäî-lim an = α, lim bn = β .
Åñëè α < β , òî ñóùåñòâóåò òàêîå N ∈ N, ÷òî an < bnn→∞n>•âàòåëüíîñòè èäëÿ âñåõn→∞N.N ∈ N, {an } è {bn } ñõîäÿùèåñÿan < bn äëÿ âñåõ n > N , òî α 6 β .Ñëåäñòâèå. Ïóñòülim bn = β .n→∞Òåîðåìà. (Åñëèïîñëåäîâàòåëüíîñòè èlim an = α,•n→∞Ïðèíöèï äâóõ ïîëèöåéñêèõ ) Ïóñòü {an} è {bn} ÷èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíî-ñòè, ñõîäÿùèåñÿ ê îäíîìó è òîìó æå ïðåäåëóïîñëåäîâàòåëüíîñòü{cn }òàêæå ñõîäèòñÿ êp.16p.Åñëèan 6 cn 6 bnäëÿ âñåõn ∈ N,òî•{an } íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé (èëè ïîñëåäîâàëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå N ∈ N, ÷òî |ak − am | < ε•Îïðåäåëåíèå.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòüòåëüíîñòüþ Êîøè ), åñëè äëÿäëÿ âñåõk>NÒåîðåìà. (m > N.èÊðèòåðèé Êîøè ) Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áûëà ñõîäÿùåéñÿ, íåîá•õîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà áûëà ôóíäàìåíòàëüíîé.Ïóñòüanananan{an } ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Åñëè äëÿ âñåõ< an+1 , òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an }6 an+1 íåóáûâàþùåé ;> an+1 óáûâàþùåé ;> an+1 íåâîçðàñòàþùåé.n∈Níàçûâàåòñÿ âîçðàñòàþùåé ;Íåóáûâàþùàÿ èëè íåâîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííîé.
Óáûâàþùàÿ èëè âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàåòñÿ ñòðîãî ìîíîòîííîé.Òåîðåìà. (Âåéåðøòðàññ ) Ëþáàÿ îãðàíè÷åííàÿ ñâåðõó íåóáûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü•èìååò ïðåäåë.+∞ (áóäåì ïèñàòü an → +∞ ïðèn → ∞), åñëè äëÿ ëþáîãî A ∈ R+ ñóùåñòâóåò òàêîå N ∈ N, ÷òî an > A äëÿ âñåõ n > N .Ñêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an } ñòðåìèòñÿ ê −∞ (áóäåì ïèñàòü an → −∞ ïðèn → ∞), åñëè äëÿ ëþáîãî A ∈ R+ ñóùåñòâóåò òàêîå N ∈ N, ÷òî an < −A äëÿ âñåõ n > N .Ñêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{an }ñòðåìèòñÿ êÏðèìåðû.1. Åñëèq ∈ [0, 1),òî2. Åñëèq > 1,òîq n → +∞3. Åñëèk∈Nè4.
Åñëèa > 0,òî5.6.lim q n = 0.n→∞q > 1,limn→∞òîïðèn → ∞.nk= 0.n→∞ q nlim√na = 1.√lim n n = 1.n→∞qn=0n→∞ n!limäëÿ ëþáîãîq ∈ R.(7. (Îïðåäåëåíèå ÷èñëàe)Ñóùåñòâóåò ïðåäåëlimn→∞1+1 )n= e.n•{nk }k∈N âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xnk }k∈N íàçûâàåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }n∈N .Ïóñòü{xn }n∈N êàêàÿ-ëèáî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. ÅñëèÓïðàæíåíèå. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ êòîæå ñõîäèòñÿ êÒåîðåìà. (a.a, òî ëþáàÿ å¼ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü•Òåîðåìà Áîëüöàíî Âåéåðøòðàññà äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ) Ëþáàÿ îãðàíè-÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.17•Ïóñòü{xn }n∈N îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
Îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:in = inf{xk | k > n},Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{in }sn = sup{xk | k > n}.(ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{sn })ñõîäèòñÿ êåñòü íèæíèé ïðåäåë (âåðõíèé ïðåäåë ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòèlim xnèëèlim inf xnèëèlim sup xnn→∞lim xnn→∞n→∞{xn }. íèæíèé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòèa,òî ãîâîðÿò, ÷òîaÎáîçíà÷åíèÿ:{xn }, âåðõíèé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòèn→∞{xn }.Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îãðàíè÷åíà, òî å¼ âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû ñóùåñòâóþò.×èñëîaíàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íûì ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòèïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü{xnk }k∈N ,ñõîäÿùàÿñÿ ê{xn }n∈N ,åñëè ñóùåñòâóåòa.Òåîðåìà. Íèæíèé è âåðõíèé ïðåäåëû îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÿâëÿþòñÿ å¼ íàè-•ìåíüøèì è íàèáîëüøèì ÷àñòè÷íûìè ïðåäåëàìè ñîîòâåòñòâåííî.Òåîðåìà.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèëàñü, íåîáõîäèìî è•äîñòàòî÷íî, ÷òîáû å¼ âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû ñîâïàäàëè. 2. ×èñëîâûå ðÿäû.Ðÿäîì íàçûâàåòñÿ ïàðà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåésn+1 = sn + an+1äëÿ âñåõn ∈ N.Ýëåìåíòû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè{sn }n∈N{an }n∈N{an }n∈Nè{sn }n∈N ,s1 = a1òàêèõ, ÷òîèíàçûâàþòñÿ ÷ëåíàìè ðÿäà. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòüíàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà. Ãîâîðÿò, ÷òî ðÿä ñõî-äèòñÿ, åñëè ñõîäèòñÿ åãî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì, ïðåäåë êîòîðîé íàçûâàåòñÿñóììîé ðÿäà. Åñëè ðÿä íå ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ, òî ãîâîðÿò, ÷òî îí ðàñõîäèòñÿ.
Äëÿ ñà-ìîãî ðÿäà è äëÿ åãî ñóììû èñïîëüçóåòñÿ îäíî è òî æå îáîçíà÷åíèå:∞∑an . Òàêèì îáðàçîì,n=1∞∑an = lim sn = limn=1Òåîðåìà. (n→∞n→∞n∑ak .k=1Êðèòåðèé Êîøè äëÿ ðÿäîâ) Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðÿä ∑∞n=1 an ñõîäèëñÿ,∑m íåîáõîäèìîè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãîm > k > N.ε>0ñóùåñòâîâàëî òàêîåN ∈ N,÷òî|n=kan | < εäëÿ•∑∞ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû è λ ∈ R, òî ðÿäûÓïðàæíåíèå. Åñëèn èn=1 bn ∑n=1∑∞ n=1 λan è∑∞∑∞∑a∞∑∞∞•n=1 an .n=1 λan = λn=1 bn ,n=1 an +n=1 (an + bn ) =n=1 (an + bn ) ñõîäÿòñÿ è∞ 1∑Ïðèìåð. (Ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä ) Ðÿäðàñõîäèòñÿ.•n=1 n∑∞Òåîðåìà.
(Íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè ðÿäà) Åñëè ðÿän=1 an ñõîäèòñÿ, òî an → 0ïðè n → ∞.•∑∞∑∞Ðÿän=1 |an |. Èç àáñîëþòn=1 an íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ, åñëè ñõîäèòñÿ ðÿäâñåõ∑∞∑∞íîé ñõîäèìîñòè ðÿäà ñëåäóåò åãî ñõîäèìîñòü. Åñëè ðÿä ñõîäèòñÿ, íî íå ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî,òî ãîâîðÿò, ÷òî îí ñõîäèòñÿ óñëîâíî.Ïåðåñòàíîâêîé íàçîâ¼ì ëþáîå âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå18σìíîæåñòâàNíà ñåáÿ.∑∞n=1 an ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, òî ðÿäk=1 aσ(k) , ïîëó÷åííûé ïåðåñòàíîâêîé ÷ëåíîâ èñõîäíîãî ðÿäà, òîæå ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è ñóììû îáîèõ ðÿäîâ ñîâïàäàþò.Òåîðåìà. Åñëè ðÿäÒåîðåìà. (∑∞Ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ ) Ïóñòü∑∞n=1anè•∑∞n=1 bn ðÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëå-an 6∑bn äëÿ âñåõ n ∈ N.
Òîãäà∑∞∞åñëè ðÿäbñõîäèòñÿ,òîñõîäèòñÿðÿäan ;nn=1n=1∑∑∞∞aðàñõîäèòñÿ,òîðàñõîäèòñÿðÿäåñëè ðÿän=1 nn=1 bn .íàìè èà)á)Ñëåäñòâèå. ({bn }Ìàæîðàíòíûé ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà)|an | 6 bnäëÿ âñåõ n∑∞àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü ðÿäàn=1 an .òàêîâû, ÷òîÒåîðåìà. (à) åñëèá) åñëèÏðèçíàê Êîøè ) Ïóñòüα < 1,α > 1,Òåîðåìà. (•òî ðÿäòî ðÿä∑∞n=1 an∑∞n=1 anÏóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {an } è∑N. Òîãäà èç ñõîäèìîñòè ðÿäà ∞n=1 bn ñëåäóåò∈∑∞n=1an ïðîèçâîëüíûé ðÿä è√α = lim n |an |.n→∞•Òîãäààáñîëþòíî ñõîäèòñÿ;•ðàñõîäèòñÿ.Ïðèçíàê Äàëàìáåðà) Ïóñòü∑∞an ïðîèçâîëüíûéa n+1 lim = α.n→∞ann=1ðÿä è ñóùåñòâóåòÒîãäà∑α < 1, òî ðÿä ∑∞n=1 an àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ;∞á) åñëè α > 1, òî ðÿä•n=1 an ðàñõîäèòñÿ.∑∞Ïóñòüïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòón=1 an ïðîèçâîëüíûé ðÿä è {nk } âîçðàñòàþùàÿ∑nk+1 −1∑∞ðàëüíûõ ÷èñåë, òàêàÿ, ÷òî n1 = 1.
Îïðåäåëèì bk =m=nk am . Ãîâîðÿò, ÷òî ðÿäk=1 bk∑∞ïîëó÷åí ãðóïïèðîâêîé ÷ëåíîâ ðÿäàn=1 an .∑∞Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà∑∞k=1 bk ÿâëÿåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ∑∞ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäàa.Ïîýòîìóèçñõîäèìîñòèðÿäàn=1 an∑∞ n=1 n∑∞ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ðÿäàn=1 an ðÿä ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè, òî åãîk=1 bk .
Åñëè ∑∞ñõîäèìîñòü ñëåäóåò èç ñõîäèìîñòè ðÿäàk=1 bk .à) åñëèÒåîðåìà. (Ïðîðåæèâàþùèé ïðèçíàê Êîøè ) Ïóñòü {an} íåâîçðàñòàþùàÿïîñëåäîâà∑∞òåëüíîñòü ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë:òîëüêî òîãäà, êîãäà ñõîäèòñÿ ðÿäÏðèìåð.ÏóñòüÐÿä{an }∑∞n=11/npa1 > a2 > a3 > . . . > 0.∑∞kk=0 2 a2k .ñõîäèòñÿ ïðèp>1Ðÿäanñõîäèòñÿ òîãäà èp 6 1.∑∞•n=1è ðàñõîäèòñÿ ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë.
Ðÿä âèäà•n=1 (−1)n+1aníàçû-âàåòñÿ çíàêî÷åðåäóþùèìñÿ.Òåîðåìà. (an > an+1Ëåéáíèö ) Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü∑∞ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë {an} òàêîâà, ÷òîäëÿ âñåõn∈Nèlim an = 0,n→∞n+1n=1 (−1)òî ðÿäanñõîäèòñÿ.Ïóñòü äàíû íàáîðû ÷èñåë: {α1 , α2 , . . . , αn } è {β1 , β2 , . . . , βn }. Îáîçíà÷èì: B0∑n. . . , Bn =k=1 βk . Òîãäà βk = Bk − Bk−1 äëÿ k = 1, 2, . . . , n.B2 = β1 + β2 ,Ëåììà. (Ïðåîáðàçîâàíèå Àáåëÿ )n∑m=1αm βm = αn Bn −n−1∑(αm+1 − αm )Bm .m=119•= 0 , B 1 = β1 ,•L = max{|B1 |, |B2 |, . . .
, |Bn |} è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αm } ìîíîòîííà. Òîãäà•m=1 αm βm | 6 L(|α1 | + 2|αn |).Ëåììà. Ïóñòü|∑nÒåîðåìà. (1){an }Ïðèçíàê Àáåëÿ ) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìîíîòîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü;2) ñóùåñòâóåò ÷èñëî K ∈ R+ , òàêîå, ÷òî∑∞3) ðÿän=1 bn ñõîäèòñÿ.∑∞Òîãäà ñõîäèòñÿ ðÿän=1 an bn .Òåîðåìà. (1){an }äëÿ âñåõn ∈ N;•Ïðèçíàê Äèðèõëå ) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìîíîòîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü;2) ñóùåñòâóåòlim an = 0;n→∞K ∈ R∑+ , òàêîå, ÷òî |∞ñõîäèòñÿ ðÿän=1 an bn .3) ñóùåñòâóåòÒîãäà|an | 6 K∑mn=1 bn |6Käëÿ âñåõm ∈ N.Äâîéíîé ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå èç÷èì ÷åðåç{γij }•N×NâR.Îáîçíà-äâîéíóþ ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Äâîéíûì ðÿäîì íàçûâàåòñÿ ïàðàäâîéíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé{γij }è{σmn },σmn =òàêèõ, ÷òîm ∑n∑γiji=1 j=1äëÿ âñåõm, n ∈ N.∑∞i,j=1 γij ñõîäèòñÿ ê ÷èñëó G, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóþòN, òàêèå, ÷òî |σmn − G| < ε äëÿ âñåõ m > mε è n > nε .
Åñëè ìû çàìåíèìÑêàæåì, ÷òî äâîéíîé ðÿämε ∈ N è n ε ∈γij íà |γij |, òî ïîëó÷èì îïðåäåëåíèå àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè äâîéíîãî ðÿäà. Ìû èññëåäóåìñõîäèìîñòü äâîéíûõ ðÿäîâ, ïîëó÷åííûõ ïðîèçâåäåíèåì äâóõ îáû÷íûõ ðÿäîâ.Òåîðåìà. (èB∑∞∑∞Î ïðîèçâåäåíèè ðÿäîâ) Ïóñòü∑ðÿäûi=1 ai èj=1 bj ñõîäÿòñÿ àáñîëþòíî ê A∞ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà äâîéíîé ðÿäi,j=1ai bjñõîäèòñÿ àáñîëþòíî êAB .•card N = card N × N, ñóùåñòâóåò áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå φ : N → N ×∑N∞. Áîëååòîãî, òàêèõ îòîáðàæåíèé ìîæíî ïîñòðîèòü áåñêîíå÷íî ìíîãî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
