1610907571-6fe73e068368dd3ebacff69ec111f514 (824677), страница 2
Текст из файла (страница 2)
(D.•x + (−y) íàçûâàåòñÿ âû÷èòàíèåì, à å¼ ðåçóëüòàò, íàçûâàåìûé ðàçíîñòüþ ýëåìåíòîâ x è y , îáû÷íî çàïèñûâàþò êîðî÷å: x − y . Îáðàòíûé ýëåìåíò, ââåä¼ííûé−1−1â ñâîéñòâå M3, îáîçíà÷àåòñÿ òàêæå ÷åðåç xèëè 1/x. Áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ x · (1/y) = xyxíàçûâàåòñÿ äåëåíèåì.
ż ðåçóëüòàò, êàê ïðàâèëî, îáîçíà÷àþò âûðàæåíèåì(èëè x/y ),yêîòîðîå íàçûâàåòñÿ äðîáüþ (èëè ÷àñòíûì ýëåìåíòîâ x è y ). Ïðè ýòîì x íàçûâàåòñÿ ÷èñëèòåëåì äðîáè, à y çíàìåíàòåëåì.Áèíàðíàÿ îïåðàöèÿÎïðåäåëåíèå. ÏîëåXíàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííûì, åñëè îíî ñîäåðæèò ïîäìíîæåñòâîòàêîå, ÷òîP1.
åñëèx, y ∈ X+ ,òîx + y ∈ X+èxy ∈ X+ ;4X+ ,x ∈ X ðåàëèçóåòñÿ îäíà è òîëüêî îäíà èç ñëåäóþùèõ òð¼õ âîçìîæíîñòåé:x = 0, (−x) ∈ X+ .•P2. äëÿ êàæäîãîx ∈ X+ ,ÝëåìåíòxïîëÿXíàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, åñëè(−x) ∈ X+ .xÏóñòüx>yx>yx<yx6yèyè îòðèöàòåëüíûì, åñëèX . Ââåä¼ì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:áîëüøå ýëåìåíòà y ) ⇔ (x − y) ∈ X+ ;áîëüøå èëè ðàâåí ýëåìåíòó y ) ⇔ ((x − y) ∈ X+ èëè x = y );ìåíüøå ýëåìåíòà y ) ⇔ (y − x) ∈ X+ ;ìåíüøå èëè ðàâåí ýëåìåíòó y ) ⇔ ((y − x) ∈ X+ èëè x = y ). ýëåìåíòû óïîðÿäî÷åííîãî ïîëÿxxxx(ýëåìåíò(ýëåìåíò(ýëåìåíò(ýëåìåíòÌû áóäåì èñïîëüçîâàòü êîðîòêóþ çàïèñü âèäàñòâàì:x ∈ X+ ,a<xèx < b.a < x < b, ðàâíîñèëüíóþ äâóì íåðàâåíx ∈ R+ ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâóÇàìåòèì òàêæå, ÷òî âêëþ÷åíèåx > 0.<, >, 6 è > íàçûâàþòñÿ íåðàâåíñòâàìè.
Íåðàâåíñòâà, ñîäåðæàùèå çíàêè < è > íàçûâàþòñÿ ñòðîãèìè, à íåðàâåíñòâà ñî çíàêàìè 6 è > íåñòðîÂûðàæåíèÿ, ñîäåðæàùèå çíàêèãèìè.Îïðåäåëåíèå. Óïîðÿäî÷åííîå ïîëåXíàçûâàåòñÿ ïîëíûì (èëè íåïðåðûâíûì ), åñëè îíîA è B ïîëÿ X , òàêèõ,a 6 b äëÿ âñåõ a ∈ A è b ∈ B , ñóùåñòâóåò ýëåìåíò c ∈ X , òàêîé, ÷òî a 6 c 6 b äëÿ âñåõa ∈ A è b ∈ B.•îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáûõ íåïóñòûõ ïîäìíîæåñòâ÷òîÌîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáûå äâà ïîëíûõ óïîðÿäî÷åííûõ ïîëÿè′èX′èçîìîðôíû. ÝòîF : X → X , òàêîå, ÷òî F (x + y) =x < y ⇔ F (x) < F (y) äëÿ âñåõ x, y ∈ X . Òàêèì îáðà-îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèåF (x) + F (y), F (xy) = F (x)F (y)Xçîì, ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà ïîëíîå óïîðÿäî÷åííîå ïîëå îïðåäåëåíî åäèíñòâåííûìîáðàçîì.
Ïîëíîå óïîðÿäî÷åííîå ïîëå íàçûâàåòñÿ ïîëåì âåùåñòâåííûõ ÷èñåë è îáîçíà÷àåòñÿR.Ýëåìåíòû ìíîæåñòâàìíîæåñòâàR+Rìû áóäåì íàçûâàòü âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè. Ýëåìåíòûíàçîâ¼ì ïîëîæèòåëüíûìè âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè, à ïðîòèâîïîëîæíûå êíèì îòðèöàòåëüíûìè.Òåîðåìà. (◦1 . ÂRÑëåäñòâèÿ èç àêñèîì ïîëÿ )ñóùåñòâóþò òîëüêî îäèí íóëü è òîëüêî îäíà åäèíèöà.◦2 . Ó êàæäîãî◦3 .
(ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí ïðîòèâîïîëîæíûé ýëåìåíò.Çàêîí ñîêðàùåíèÿ äëÿ ñëîæåíèÿ ) Åñëè a, b, c ∈ R è a + c = b + c, òî a = b.◦4 . Ó êàæäîãî◦5 . (x∈Rx ∈ R \ {0}ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí îáðàòíûé ýëåìåíò.Çàêîí ñîêðàùåíèÿ äëÿ óìíîæåíèÿ ) Åñëè a, b, c ∈ R, c ̸= 0 è ac = bc, òî a = b.◦6 . Äëÿ êàæäîãî◦7 . Åñëèxy = 0,◦8 . Äëÿ êàæäîãîÒåîðåìà. (x∈Ròîñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîx=0x∈Rèëèx · 0 = 0.y = 0.ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî(−1) · x = −x.Ñëåäñòâèÿ èç àêñèîì ïîðÿäêà) Ïóñòü a, b, c ∈ R.
Òîãäà5•◦1 . (Òðàíçèòèâíîñòü) åñëè a > b è b > c, òî a > c;◦2 . åñëèa>b◦3 . åñëèa > b,◦4 . (èb > c,òîa > c;a + c > b + c;òîñëîæåíèå íåðàâåíñòâ) åñëè x > y è a > b, òî x + a > y + b;◦5 . åñëèa>bèc > 0,òîac > bc.◦6 . åñëèa>bèc < 0,òîac < bc.◦7 . Äëÿ ëþáîãî◦8 .x ∈ R \ {0}âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîxx > 0.•1 > 0.Ìîäóëåì (èëè àáñîëþòíîé âåëè÷èíîé ) âåùåñòâåííîãî ÷èñëàòåëüíîå ÷èñëî|x|,òàêîå, ÷òîx∈Ríàçûâàåòñÿ íåîòðèöà-{x,x > 0,|x| =−x, x < 0.Òàêæå, ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó¾çíàê¿):x∈Råãî çíàêsgn x(÷èòàåòñÿ ¾ñèãíóì¿ èëèx > 0,1,sgn x = 0,x = 0,−1, x < 0.|x| > 0 äëÿ ëþáîãî x ∈ R è èç |x| = 0 ñëåäóåò x = 0. Êðîìå òîãî, |x| = x·sgn xx = |x| · sgn x.Î÷åâèäíî, ÷òîèx, y ∈ R.Òåîðåìà.
Ïóñòü◦1 .|xy| = |x| · |y|;◦2 . åñëè◦3 . (◦4 .Òîãäàε ∈ R+ ,òî|x| < ε ⇔ −ε < x < εè|x| 6 ε ⇔ −ε 6 x 6 ε;íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà) |x + y| 6 |x| + |y|;|x| − |y| 6 |x − y|.•A ⊂ R îãðàíè÷åíî ñâåðõó, åñëè ñóùåñòâóåò a ∈ R, òàêîå, ÷òî x 6 ax ∈ A. Àíàëîãè÷íî, ìíîæåñòâî A ⊂ R îãðàíè÷åíî ñíèçó, åñëè ñóùåñòâóåò b ∈ R,òàêîå, ÷òî x > b äëÿ âñåõ x ∈ A. Ïðè ýòîì a íàçûâàåòñÿ âåðõíåé ãðàíüþ èëè ìàæîðàíòîéìíîæåñòâà A, à b åãî íèæíåé ãðàíüþ èëè ìèíîðàíòîé. Åñëè ìíîæåñòâî îãðàíè÷åíî èñâåðõó, è ñíèçó, òî îíî íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì.
Åñëè a åñòü âåðõíÿÿ (íèæíÿÿ) ãðàíüìíîæåñòâà A è a ∈ A, òî a íàçûâàåòñÿ ìàêñèìóìîì (ìèíèìóìîì ) ìíîæåñòâà A. Çàïèñûâàåòñÿ ýòî òàê: a = max A (a = min A).Ñêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâîäëÿ âñåõÎïðåäåëåíèå. ×èñëîñòîãî ìíîæåñòâàà)aAa∈R(çàïèñûâàåòñÿÿâëÿåòñÿ âåðõíåé ãðàíüþá) äëÿ ëþáîãîíàçûâàåòñÿ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ èëè ñóïðåìóìîì íåïó-y<aa = sup A),A;x ∈ A,ñóùåñòâóåòåñëèòàêîé, ÷òî6x > y.b ∈ R íàçûâàåòñÿ òî÷íîé íèæíåé ãðàíüþ èëè èíôèìóìîì(çàïèñûâàåòñÿ b = inf A), åñëèà) b ÿâëÿåòñÿ íèæíåé ãðàíüþ A;á) äëÿ ëþáîãî y > b ñóùåñòâóåò x ∈ A, òàêîé, ÷òî x < y .×èñëîíåïóñòîãî ìíîæåñòâà•Ýòè îïðåäåëåíèÿ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ïî-äðóãîìó: äëÿ ïðîèçâîëüíîãîþòx, y ∈ A,òàêèå, ÷òîx > sup A − εèAε>0ñóùåñòâó-y < inf A + ε.Ñóïðåìóì îãðàíè÷åííîãî ñâåðõó ìíîæåñòâàA ⊂ Rîáëàäàåò ñëåäóþùèìè î÷åâèäíûìèñâîéñòâàìè:1. åñëèsup A ∈ A,òîsup A = max A;2.sup Aåñòü íàèìåíüøàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà3.sup Aîïðåäåë¼í åäèíñòâåííûì îáðàçîì;4. ìíîæåñòâî−A = {x ∈ R | (−x) ∈ A}Àíàëîãè÷íûìè ñâîéñòâàìè îáëàäàåòÒåîðåìà.
Åñëè íåïóñòîå ìíîæåñòâîòàêîå, ÷òîc = sup A.îãðàíè÷åíî ñíèçó èòîinf(−A) = − sup A.inf A.A ⊂ R îãðàíè÷åíî ñâåðõó, òî ñóùåñòâóåò ÷èñëî c ∈ R,•Òåîðåìà. ÏóñòüA ⊂ B,A;A è B íåïóñòûå îãðàíè÷åííûåsup A 6 sup B (inf A > inf B).ñâåðõó (ñíèçó) ìíîæåñòâà âR.Åñëè•Â íåêîòîðûõ ñèòóàöèÿõ óäîáíî èñïîëüçîâàòü ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, äîïîëíåííîå äâóìÿ ýëåìåíòàìè−∞è+∞,êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòü è ïëþñ áåñ-êîíå÷íîñòü ñîîòâåòñòâåííî. Ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ñ ýòèìè äâóìÿ ýëåìåíòàìèíàçûâàåòñÿ ðàñøèðåííîé ÷èñëîâîé ïðÿìîé è îáîçíà÷àåòñÿR.Áåñêîíå÷íûå ýëåìåíòû íà-äåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1.(+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞, (+∞) · (+∞) = +∞, (−∞) · (−∞) = +∞,−(+∞) = −∞, −(−∞) = +∞;2.x + (+∞) = +∞, x + (−∞) = −∞3.x · (+∞) = +∞è4.−∞ < x < +∞äëÿ ëþáîãî5.
âûðàæåíèÿx · (−∞) = −∞èx/(+∞) = x/(−∞) = 0äëÿ ëþáîãîäëÿ ëþáîãîx ∈ R;x ∈ R+ ;x ∈ R;(+∞) + (−∞), 0 · (±∞), (±∞)/(±∞)íå èìåþò ñìûñëà è íàçûâàþòñÿíåîïðåäåë¼ííîñòÿìè.Íàòóðàëüíûå ÷èñëà.ëþáîãîx ∈ A÷èñëîÌíîæåñòâî(x + 1)A⊂R1 ∈ A è äëÿìíîæåñòâà R è R+íàçûâàåòñÿ èíäóêòèâíûì, åñëèòàêæå ïðèíàäëåæèòA.Î÷åâèäíî, ÷òîÿâëÿþòñÿ èíäóêòèâíûìè. Ïåðåñå÷åíèå ëþáîé ñîâîêóïíîñòè èíäóêòèâíûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ èíäóêòèâíûì ìíîæåñòâîì. Ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåëNåñòü ïåðåñå÷åíèå âñåõèíäóêòèâíûõ ìíîæåñòâ.
Ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñàìî ÿâëÿåòñÿ èíäóêòèâíûì.Óòâåðæäåíèå. (ìíîæåñòâî, òîÏðèíöèï ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ) Åñëè A ⊂ N è A èíäóêòèâíîåA = N.•7×àñòî ïðèíöèï ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè èñïîëüçóåòñÿ â äðóãîé ôîðìóëèðîâêå: ïóñòüP (n) êàêîå-ëèáî óòâåðæäåíèå, êàñàþùååñÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëàP (n)à èç èñòèííîñòèñëåäóåò èñòèííîñòüP (n + 1),òîP (n)n.ÅñëèP (1)èñòèííî,èñòèííî äëÿ âñåõn ∈ N.Ýòà ôîðìóëèðîâêà, î÷åâèäíî, ýêâèâàëåíòíà ïðåäûäóùåé. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òîèç ïåðâîé ôîðìóëèðîâêè ñëåäóåò âòîðàÿ, äîñòàòî÷íî âçÿòüäîêàçàòåëüñòâà îáðàòíîãî óòâåðæäåíèÿ îïðåäåëèìÒåîðåìà. (◦1 .n>1Î ñòðóêòóðå ìíîæåñòâà N)äëÿ ëþáîãîk◦3 .
åñëèk∈Nè◦4 . åñëèk íàòóðàëüíûå ÷èñëà èèm íàòóðàëüíûå ÷èñëà, òîm◦5 . äëÿ ëþáîãîA = {n ∈ N | P (n)}.(n ∈ A).Äëÿêàê óòâåðæäåíèån ∈ N;◦2 . åñëèèP (n),k ̸= 1,k∈Nòî(k + m) ∈ Nèkm ∈ N;(k − 1) ∈ N;k < m,òî(m − k) ∈ N;íå ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîãî ÷èñëàn,òàêîãî, ÷òîk < n < k + 1.•Îòìåòèì åù¼ äâà ñâîéñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë:◦6 . åñëè n ∈ N, òî (−n) ̸∈ N;◦7 . åñëè n ∈ N è n ̸= 1, òî 1/n ̸∈ N.n ∈ N è x ∈ R îïðåäåëèì âåùåñòâåííîå ÷èñëî xn êàê ïðîèçâåäåíèå x · x . .
. x,nâ êîòîðîì n ðàç ñòîèò ÷èñëî x. ×èñëî x íàçûâàåòñÿ n-é ñòåïåíüþ ÷èñëà x è ÷èòàåòñÿ2¾x â ñòåïåíè n¿. Èñòîðè÷åñêè ïðèíÿòî âûäåëÿòü äâà ñïåöèàëüíûõ ñëó÷àÿ: x íàçûâàåòñÿ31¾x â êâàäðàòå ¿, à x ¾x â êóáå ¿. Î÷åâèäíî, ÷òî x = x äëÿ âñåõ x ∈ R. Êðîìå òîãî, ïî0îïðåäåëåíèþ ïîëîæèì, ÷òî x = 1 äëÿ âñåõ x ∈ R.Äëÿ ëþáûõÒåîðåìà.
(n∈NÍåðàâåíñòâî Áåðíóëëè ) Äëÿ ëþáîãî âåùåñòâåííîãî ÷èñëà x > −1 è ëþáîãîñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîÒåîðåìà. ((1 + x)n > 1 + nx.Ïðèíöèï Àðõèìåäà) Ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íå ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûìñâåðõó. Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ ëþáîãîÑëåäñòâèå. Äëÿ ëþáûõa∈Rèx∈Rb ∈ R+Ñëåäñòâèå. Ïóñòü âåùåñòâåííûå ÷èñëàn ∈ N.•Òîãäàñóùåñòâóåòñóùåñòâóåòx, yèzn ∈ N,n ∈ N,òàêîå, ÷òîòàêîå, ÷òîòàêîâû, ÷òîn > x.a < nb.y 6 x 6 y + z/nx = y.••äëÿ âñåõ•Çàìåòèì, ÷òî â ôîðìóëèðîâêå ýòîãî ñëåäñòâèÿ ìû ìîãëè áû ïîòðåáîâàòü âûïîëíåíèÿ äðóãîãî íåðàâåíñòâà:y − z/n 6 x 6 y .Óòâåðæäåíèå ïðè ýòîì íå èçìåíèëîñü áû. Êðîìå òîãî,óòâåðæäåíèå îñòàíåòñÿ áû â ñèëå, åñëè ýòè íåðàâåíñòâà áóäóò âûïîëíÿòüñÿ ëèøü äëÿ âñåõíàòóðàëüíûõ ÷èñåëÖåëûå ÷èñëà.x,n,áîëüøèõ íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî ÷èñëà.Ìíîæåñòâîì öåëûõ ÷èñåëòàêèõ, ÷òî ëèáîx ∈ N,ëèáîÓòâåðæäåíèå. Äëÿ êàæäîãî(−x) ∈ N,x∈RÄëÿ êàæäîãî âåùåñòâåííîãî ÷èñëàxZíàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåëëèáîx = 0.ñóùåñòâóåòn ∈ Z,öåëîå ÷èñëîn,òàêîå, ÷òî8•n 6 x < n + 1, íàçûâàåòñÿ÷åðåç [x].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
