1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Применяя формулу Стокса и учитывая указанную сторону поверхности параболоида, получаем, чтоIZZz dx + 2x dy − y dz =dz ∧ dx + 2dx ∧ dy − dy ∧ dz =ΓSZZ Zπ/2 2aZcos ϕxy1−2−dy ∧ dx =dϕr2 (cos ϕ − sin ϕ) dr − a2 π =aaa0D8a230Zπ/2(cos4 ϕ − sin ϕ cos3 ϕ) dr − a2 π =04a23Γ(5/2)Γ(1/2) 1−Γ(3)48052a2 a2 π−a π =−−.322Второй способ.
Интегралы 1-го рода. Так какr 0xy 0x(y, x, −a)= 1, 0,, r y = 0, 1,,n= paaa2 + x2 + y 2x−a √ y√√IZ Z a2 +x2 +y2222222a +x +ya +x +y dS =z dx + 2x dy − y dz =∂x∂y∂zΓSz2x−yZZZZ−y + x − 2a2a2 a2 πp−,dS =(−y + x − 2a) dxdy = −32a2 + x 2 + y 2SDтак какq1p 2dS = 1 + (zx0 )2 + (zy0 )2 dxdy =a + x2 + y 2 dxdy.aДомашняя работа.25.7Задача 103 на стр.
272, §10, [5]Найти площадь области, ограниченной кривыми:6) (x2 + y 2 )2 = 2ax3 ;7) x3 + y 3 = x2 + y 2 , x = 0, y = 0.25.8Пример на стр. 273, [14]Вычислим интеграл ГауссаZu(x0 , y0 ) =cos(r, n)ds,|r|Lгде L – простой гладкий контур в R2 , r = (x − x0 , y − y0 ) – вектор из точкиM0 = (x0 , y0 ), не лежащей на L, в точку M = (x, y) контура L и n – векторвнешней нормали к L.806Используя формулу Стокса, вычислить интегралы25.9Задача 61 на стр. 293, §11, [5]I(x + z) dx + (x − y) dy + x dz,LL – эллипсx2a2+y2b2= 1, z = c, ориентированный отрицательно относительновектора (0, 0, 1).25.10Задача 62 на стр.
293, §11, [5]Iy 2 dx + z 2 dy + x2 dz,LL – граница треугольника с вершинами в точках (a, 0, 0), (0, a, 0), (0, 0, a),ориентированная положительно относительно вектора (0, 1, 0).26Seminar on 06.05.2019. Формула Гаусса-ОстроградскогоСм. дополнительные семинары 35 и 36. 9 .Теорема (формула Гаусса–Остроградского). Пусть область G лежитв R3 и граница ∂G области G состоит из конечного числа кусочно-гладкихповерхностей. Тогда если функции P , Q, R ∈ C 1 (D), тоZZZZZP dy ∧ dz + Q dz ∧ dx + R dx ∧ dy =(∂x P + ∂y Q + ∂z R) dx ∧ dy ∧ dz,G∂Gгде первый интеграл берется по внешней относительно G стороне ∂G.2Если через ωAобозначить форму P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy, тоформула Гаусса–Остроградского запишется в видеZZZZZ22ωA =dωAG∂G91223Заметим, формулы dψ ∗ ωA= ψ ∗ ωrotA, dψ ∗ ωA= ψ ∗ ωdivA.
См. задачи 21.8, 21.11807в терминах векторного анализа формула Гаусса–Остроградского выглядиттак. Пусть область G удовлетворяет сформулированному выше условию. Тогда поток гладкого в G векторного поля A через поверхность ∂G равен интегралу от divA по G:ZZZZ(A · n) dS =∂GZZZP dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy =divA dxdydz.G∂GЕстественная область применения формул Грина и Гаусса- Остроградского – это интегралы второго рода по замкнутым контурам на плоскости и замкнутым поверхностям в пространстве.
Но иногда, особенно в пространстве,вычисления упрощаются, если замкнуть незамкнутую поверхность или кривую и считать данный интеграл как разность преобразованного интеграла позамкнутой поверхности или кривой и соответствующего интеграла по замыкающему множеству. В качестве такого множества обычно берутся отрезкипрямых или части плоскостей, параллельных координатным, поскольку потаким множествам интеграл второго рода вычисляется наиболее просто.26.1Задача. Cм. формулы (27), (28) на стр. 300, §12, [5]Пусть G – ограниченная область, G ⊂ Π, с кусочно гладкой границей ∂G,ориентированной внешней нормалью n.
Доказать формулы:Первая формула ГринаZZZZZZZZ∂v∇u · ∇v dxdydz =udS −u∆v dxdydz,∂nGG∂GВторая формула ГринаZZZZZ(u∆v − v∆u) dxdydz =(u∇v − v∇u) · n dS.G∂GСамостоятельно.80826.2ЗадачаПусть G – ограниченная область, G ⊂ Π, с кусочно гладкой границей ∂G,ориентированной внешней нормалью n. Доказать, чтоZZZZZZZ∂u2∆u dx ∧ dy ∧ dz,dS =ω∇u=∂n∂GG∂Gгде n – вектор внешней нормали к поверхности ∂G.Самостоятельно.26.3Пример на стр. 306, [14]Вычислим интегралZZy 2 dz ∧ dx − x2 dy ∧ dz + z 2 dx ∧ dy,Sгде S – часть поверхности телаG = {(x, y, z) : 2x2 + 2y 2 6 az 6 x2 + y 2 + a2 } (a > 0),вырезанная условием y > 0, и нормаль, характеризующая ориентацию S, вточке M = (0, a/2, 5a/4) образует острый угол с осью OZ.Решение.
Замкнем поверхность S частью плоскости y = 0. Тогда полученная поверхность ∂F будет границей тела:F = {(x, y, z) : y > 0, 2x2 + 2y 2 6 az 6 x2 + y 2 + a2 }.Точка M = (0, a/2, 5a/4) лежит на верхней границе тела и нормаль в этойточке направлена вверх, следовательно, интеграл берется по внешней сторонеповерхности ∂F .
На поверхности S1 – части плоскости y = 0, входящей в∂F , внешняя нормаль направлена противоположно оси OY , следовательно,запись ориентированной поверхности S1 естьS1 = {y = 0, (x, z) ∈ D, D = {(x, z) : 2x2 < az < x2 + a2 }}.809Итак, в силу формулы Гаусса–ОстроградскогоZZ(−x2 dy ∧ dz + y 2 dz ∧ dx + z 2 dx ∧ dy) =SZZZ∂FZ−(−x2 dy ∧ dz + y 2 dz ∧ dx + z 2 dx ∧ dy)(−x2 dy ∧ dz + y 2 dz ∧ dx + z 2 dx ∧ dy) =S1ZZZZZ(−2x + 2y + 2z) dxdydz −F(−x2 dy ∧ dz + y 2 dz ∧ dx + z 2 dx ∧ dy).S1Находим сужение ψ ∗ ω 2 формы ω 2 = −x2 dy ∧ dz + y 2 dz ∧ dx + z 2 dx ∧ dy наS1 : dy = 0, ψ ∗ ω 2 = 0. Так какF = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x2 + 2y 2 6 az 6 x2 + y 2 + a2 , (x, y) ∈ D},810D = {x2 + y 2 < a2 , y > 0}, то, следовательно,ZZ(−x2 dy ∧ dz + y 2 dz ∧ dx + z 2 dx ∧ dy) =SZZ(−x2 dy ∧ dz + y 2 dz ∧ dx + z 2 dx ∧ dy) =∂FZZZ(−2x + 2y + 2z)dx ∧ dy ∧ dz =Fx2 +y 2 +a2aZZ2Zdxdy2x2 +2y 2aD2a2(−x + y + z) dz =ZZ a(−x + y)(a2 − x2 − y 2 )D1222222+ (3x + 3y + a )(a − x − y ) dxdy =2ZπZa 2dϕ(a3 r2 − ar4 )(− cos ϕ + sin ϕ)a2001 48π2 35+ (a r + 2a r − 3r ) dr = a4 ( + ).215 226.4Пример на стр.
308, [14]Найдем поток векторного поля A = x3 i + y 3 j + z 3 k черезa) боковую поверхность конуса G = {(x, y, z) ∈ R3 : H 2 (x2 + y 2 ) 6 z 2 R2 , 0 6z 6 H}, (R > 0) (в сторону внешней нормали);б) через полную поверхность этого конуса (в сторону внешней нормали).Решение. Обозначим через n единичный вектор внешней нормали к границе∂G конуса G.Начнем с п. б). В силу формулы Гаусса–Остроградского поток векторного811поля A через поверхность ∂G естьZZZZZA · n dS =divA dxdydz =G∂GZHZZ(3x2 + 3y 2 + 3z 2 ) dz =dxdyx2 +y 2 <R2HRZ2π36πx2 +y 2ZRdϕ0ZR √ZHr dr0(r2 + z 2 ) dz =Hr/RHr r 3 H 3 r3 + H −dr =r H−R3R330ZR2π3H H 33πR2 H 233Hr − r (+ 3 ) + rH dr =(R + 2H 2 ).RR10340Вычисление потока векторного поля A через боковую поверхность конусаG проведем двумя способами.1. Обозначим через S1 и S2 соответственно внешнюю сторону боковой и верхней поверхности конуса G.
Тогда вектор n, характеризующий ориентациюS2 , сонаправлен оси OZ, следовательно, запись ориентированной поверхности естьS2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = x, y = y, z = H, (x, y) ∈ D,D = {(x, y) : x2 + y 2 < R2 }},n = k = r 0x × r 0y = i × j.2Находим сужение ψ ∗ ωAформы2ωA= x3 dy ∧ dz + y 3 dz ∧ dx + z 3 dx ∧ dy8122на S2 : dz = 0, ψ ∗ ωA= H 3 dx ∧ dy.
Следовательно,ZZZZA · n dS =S1ZZA · n dS −A · n dS =S2∂G23πR H 2(R + 2H 2 ) −10ZZH 3 dxdy =x2 +y 2 6R23πR2 H 2πR2 H(R + 2H 2 ) − πR2 H 3 =(3R2 − 4H 2 ).10102. Вектор n, характеризующий ориентацию S1 – боковой поверхности конуса G, образует с осью OZ тупой угол, т. е. внешней стороной поверхности S1является нижняя сторона.
Поэтому запишем ориентированную поверхностьS1 так:S1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = x, y = y, z =px2 + y 2 , (x, y) ∈ D,D = {(x, y) : x2 + y 2 < R2 }},n r 0y × r 0x .2формыНаходим сужение ψ ∗ ωA2ωA= x3 dy ∧ dz + y 3 dz ∧ dx + z 3 dx ∧ dyна S1 : dz =2ψ ∗ ωAdx+y dy)H (x√,Rx2 +y 2H x4 dy ∧ dx H y 4 dy ∧ dx H 3 2p=+ p+ 3 (x + y 2 )3/2 dx ∧ dy =R x2 + y 2R x2 + y 2RH H2 2x4 + y 4 2 3/2− 2 (x + y ) + pdy ∧ dx.RRx2 + y 2813Следовательно,ZZZZx3 dy ∧ dz + y 3 dz ∧ dx + z 3 dx ∧ dy =A · n dS =S1S1ZZ HH2 2x4 + y 4 2 3/2pdy ∧ dx =− 2 (x + y ) +RRx2 + y 2DZZ 44 H2 22 3/22 x +yp− H (x + y ) + Rdxdy =R3x2 + y 2HR3DZ2πdϕ0HR3ZR − H + R (cos ϕ + sin ϕ) r4 dr =22440Z2πdϕ0ZR R2−H +(3 + cos(4ϕ)) r4 dr =420πR2 H(3R2 − 4H 2 )10Домашняя работа.С помощью теоремы Гаусса-Остроградского вычислить интеграл.26.5Задача 45 на стр.
291, §11, [5]ZZ(5x + y) dy ∧ dz + z dx ∧ dy,Sгде S:1) внешняя сторона полной поверхности конуса x2 + y 2 6 z 2 , 0 6 z 6 4;2) внутренняя сторона эллипсоидаx24+y29+ z 2 = 1;3) внешняя сторона границы области 1 < x2 + y 2 + z 2 < 4.26.6Задача 46 на стр. 291, §11, [5]ZZx2 dy ∧ dz + y 2 dz ∧ dx + z 2 dx ∧ dy,S814где S:1) внутренняя сторона поверхности параллелепипеда 0 6 x 6 a, 0 6 y 6 b,0 6 z 6 c;2) внешняя сторона полной поверхности26.7x2a2+y2b26z2c2 ,0 6 z 6 c (конус).Задача 49 на стр.
291, §11, [5]Доказать для объема G тела, ограниченного гладкой поверхностью S, формулуZ Z1 x dy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy .V = 3S27Seminar on 13.05.2019. Подготовка к контрольной работеПрорешать• домашнюю работу: 18.7, 18.8, 18.9, 19.7, 19.8, 19.9, 20.5, 21.9, 21.10, 21.11,21.12, 22.6, 22.7, 22.8, 22.9, 23.5, 23.6, 23.7, 23.8, 24.4, 24.5, 24.6, 24.7, 25.7,25.8, 25.9, 25.10, 26.5, 26.6, 26.7;• задачи дополнительных семинаров 32, 33, 34, 35, 36.Пример задачи на контрольной работеДано• векторное полеA = (x2 y, xy 2 , xyz);• контур γ = {x2 + y 2 = 1,z = c}, ориентированный против часовойстрелки относительно вектора k = (0, 0, 1);• внешняя поверхность S тела V = {x2 +y 2 +z 2 6 1, x > 0, y > 0, z > 0}.Вычислить:8151.
циркуляцию поля A вдоль ориентированного контура γ;2. поток поля A через внешнюю поверхность S.Примеры вопросов на коллоквиуме• Записать пример соленоидального поля и посчитать циркуляцию по замкнутому контуру γ;• Записать пример потенциального поля и посчитать поток поля черезповерхность S;• Записать якобиан перехода от декартовых координат к полярным;• Записать якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим;• Записать якобиан перехода от декартовых координат к сферическим.28Seminar on 16.05.2019.
Коллоквиум. Дополнительныевопросы по трем контрольным работам 10, 17, 2729Seminar on 20.05.2019. Коллоквиум. Дополнительныевопросы по трем контрольным работам 10, 17, 2730Seminar on 23.05.2019. Подведение итогов и формирование списка оценок31Additional Seminar 01. Равномерная сходимость рядов Фурье816Теорема 31.1. Пусть f ∈ C 0, α [−π, π] с α ∈ (0, 1] и f (−π) = f (π).
Тогдаряд Фурье функции f сходится к f равномерно на [−π, π].Теорема 31.2. Пусть функция f интегрируема на [−π, π], продолжена периодически на R и f (−π) = f (π). Если f ∈ C 0, α [a, b], где α ∈ (0, 1] и[a, b] ⊂ R, то для любого δ ∈ (0, (b − a)/2) ряд Фурье функции f сходится кf равномерно на [a + δ, b − δ].Замечание.31.1Теорема 31.1 имеет отношение к задаче 6.5.ЗадачаПоказать, используя теорему 31.1 что ряд Фурье функции f (x) сходится равномерно на множестве :1. f (x) = x2 ;2. f (x) = 1 −|x|π ;3.
f (x) = |x|α , α ∈ (0, 1]; См. задачу 4.5.31.2Задача 129, §22, [4]Пусть функция f абсолютно интегрируема на отрезке [−π, π] и непрерывнана отрезке [a, b] ∈ [−π, π]. Доказать, что если интегралZδ|fx∗ (t)|dt,t0где fx∗ (t) = f (x + t) + f (x − t) − f (x + 0) − f (x − 0), при некотором δ > 0сходится равномерно относительно x ∈ [a, b], то ряд Фурье функции сходитсяк ней равномерно на [a, b].32Additional Seminar 02.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
