1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Ориентация кусочно-гладкойкривой L ⊂ R3817Определение 32.1. Пусть L – незамкнутая кривая без точек само-пересечения,лежащая в R3 , с концами в точках A и B. Выбор в паре (A, B) начальной иконечной точек называется ориентацией кривой L. Выражения L = A˘B иL = B˘A являются записью кривой с противоположными ориентациями.Наглядно, задать ориентацию кривой L = AB – это значит указать, какнаправлена (или как проходится) эта кривая от точки A к точке B, или отточки B к точке A.Замкнутую кривую, которая после удаления любой своей точки (”разрезания” кривой в этой точке) становится незамкнутой кривой без точек самопересечения, часто называют контуром. Контур можно ориентировать, разрезав его в произвольно в точке и ориентируя полученную незамкнутую кривую.
Если контур лежит на плоскости OXY , то он является границей односвязной ограниченной области D ⊂ R2 . В таком случае ориентация контурачаще задается направлением его обхода: положительным направлениемобхода принято считать такое, при котором область D остается слева, и отрицательным – противоположное.Пусть L ⊂ R3 – простая гладкая кривая, т.е.L = {(x, y, z) : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a, b]},6 0, и концевыегде a < b, отображение r = (x(t), y(t), z(t)) ∈ C 1 [a, b], |rt0 | =точки A и B кривой L есть соответственно образы точек a и b. Тогда ориентация L = A˘B соответствует ориентации [a, b], а ориентация L = B˘A –ориентации [b, a] отрезка изменения - параметра t на прямой R.
Говорят, чтокривая L = A˘B проходится при возрастании, а кривая B˘A – при убываниипараметра t. , Тогда векторное поле T = {τ }, гдеr 0tdx dy dzτ = 0 =, ,,|r t |ds ds dspи ds = (x0t )2 + (yt0 )2 + (zt0 )2 dt – дифференциал длины дуги L – являетсязаданным на L непрерывным полем касательных к L единичных векторов,при этом направление векторов τ совпадает с направлением движения покривой L = A˘B при увеличении параметра t, так как a < b. Таким образом,818на простой гладкой ориентированной кривой L = AB однозначно определеносогласованное с ее ориентацией непрерывное поле единичных касательных кL векторов. Векторное поле T = {−τ } является заданным на L непрерывнымполем касательных к L единичных векторов, направление которых совпадаетс направлением движения по L при уменьшении параметра t.Кусочно-гладкая ориентированная кривая L также однозначно определяетсогласованное с ее ориентацией векторное поле T единичных касательных кL векторов только уже, вообще говоря,.
определенное не во всех точках Lи непрерывное на множестве своего определения. Ориентированную кривуюL вместе с соответствующим полем единичных касательных векторов будемобозначать (L, T ).32.1Пример на стр. 221, [14]Запишем какое-нибудь параметрическое представление x(t), y(t) петли кривой x3 + y 3 = 3axy так, чтобы эта петля проходилась в положительном направлении при возрастании параметра t (a > 0).Решение. Если положить t = y/x (x > 0), то получим, чтоx = 3at/(t3 + 1),y = 3at2 /(t3 + 1).При этом петля кривой x3 +y 3 = 3axy расположена в первом квадранте x ≥ 0,y ≥ 0 и проходится при изменении t на луче (0, +∞). Так как для 0 6 t 6 1имеем 0 6 x 6 y, то обход петли начинается по той ее части, которая лежит ниже биссектрисы y = x первого координатного угла и, следовательно,действительно при возрастании t петля обходится в положительном направлении.32.2Пример на стр.
221, [14]Запишем параметрическое представление лемнискаты:(x2 + y 2 )2 = 2a2 xyтак, чтобы каждая ее петля проходилась в положительном направлении привозрастании параметра (a > 0).819Решение. Так как в полярных координатах уравнение лемнискаты есть:r2 (ϕ) = a2 sin2 ϕ, то для правой петли имеем(√x = a cos ϕ sin 2ϕ,π06ϕ6 ,√2y = a sin ϕ sin 2ϕ,а для левой –(√x = a cos ϕ sin 2ϕ,√y = a sin ϕ sin 2ϕ,π6ϕ63π.2При этом, когда ϕ возрастает от 0 до π/2, то правая петля проходится в положительном направлении, поскольку изменению ϕ на [0, π/4] соответствуетчасть лемнискаты, лежащая в первом квадранте ниже прямой y = x.
Так жепроверяется, что левая петля проходится В положительном направлении привозрастании ϕ от π до 3π/2.32.3Пример на стр. 221, [14]Запишем параметрическое представление контура квадрата: |x| + |y| = a(a > 0) так, чтобы этот контур проходился в положительном направлениипри возрастании параметра t.Решение. Подберем функцию x = x(t), такую, чтобы при возрастании tзначения x(t) сначала убывали от a до −a, затем возрастали от −a до a;например, можно положить x(t) = a cos t.
Чтобы точка x(t), y(t) двигаласьпо верхней границе квадрата |x| + |y| = a, координата y = y(t), t ∈ [0, π],должна удовлетворять соотношению y = a − |x|, т.е.y(t) = a − a| cos t|.На нижней границе квадрата координата y = y(t) должна удовлетворять соотношению y = −a + |x|, т. е. y = −a + a| cos t|, t ∈ [π, 2π]. Объединяя обеполученные формулы, запишем параметризацию контура квадрата следующим образом:x = a cos t,y = asgn sin t − a cos tsgn(sin 2t),820t ∈ [0, 2π].32.4Пример на стр. 227, [14]Найдем параметрическое представление окружности L = {(x, y, z) : x2 +y 2 +z 2 = a2 , x + y + z = 0}, такое, чтобы направление ее обхода при возрастаниипараметра было положительным на верхней стороне плоскости x + y + z = 0(a > 0).Решение.
Точка O = (0, 0, 0) лежит внутри рассматриваемой окружности,следовательно, на верхней стороне плоскости вектор M~O из точки M окружности L в точку O идет налево от вектора касательного к окружности L вточке и направленного в сторону возрастания параметра. Найдем одну изпараметризаций окружности L.
Исключая z из системы x2 + y 2 + z 2 = a2 ,x + y + z = 0 получаем, что координаты x и y точек окружности связаныуравнением x2 + y 2 + xy =a22.Это уравнение на плоскости OXY определяетэллипс, главные оси которого образуют угол π/4 с осями координат, поэтомуβαβαx = √ cos t + √ sin t и y = √ cos t − √ sin t,2222где α и β – полуоси этого эллипса. Для вычисления α и β, подставив выражения x и y в уравнение эллипса, получаем соотношение3α2β2 2a22cos t +sin t =222откуда α =√a ,3β = a.
Итак,aaaaL = {(x, y, z) : x = √ cos t + √ sin t, y = √ cos t − √ sin t,626r 22z = −acos t, 0 < t < 2π}.3Для требуемого направления обхода вектор p = (px , py , pz ) = τ × M~Oдолжен быть направлен в ту же сторону от плоскости x + y + z = 0, что инормальный вектор этой плоскости, определяющий верхнюю ее сторону, т. е.821должно выполняться неравенство pz ≥ 0. Так какdx dy dzτ =, ,=dt dt dt!raaaa2sin t− √ sin t + √ cos t, − √ sin t − √ cos t, a36262и M~O = (−x, −y, −z), тоpz =dxdy−y + xdtdta2= − √ < 0;3таким образом, полученная параметризация окружности L дает при возрастании t от 0 до 2π противоположное требуемому направление обхода.
Заменяяt на −u, получаем следующее параметрическое представление окружности:aaaaL = {(x, y, z) : x = √ cos u − √ sin u, y = √ cos u + √ sin u,626 r22z = −acos u, 0 < u < 2π},3и поскольку сделано преобразование параметра с отрицательной производной, то такая параметризация задает противоположную предыдущей, а значит, требуемую ориентацию окружности L = {(x, y, z) : x + y + z = 0, x2 +y 2 + z 2 = a2 }.33Additional Seminar 03. Ориентация кусочно-гладкойповерхности в R3Пусть S ⊂ R3 – простая гладкая поверхность, т.е.S = {(x, y, z) :x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v),(u, v) ∈ D},где область D ⊂ R2 жорданова, гомеоморфизм6 0,r = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ⊂ C 1 (D) и |r 0u × r 0v | =822(u, v) ∈ D.nТогда векторное поле N = n :n=r 0u ×r 0v|r 0u ×r 0v |oявляется определенным на Sнепрерывным полем единичных нормальных векторов к S.Определение.
Гладкая (т. е. имеющая в каждой точке касательную плоскость) поверхность S ⊂ R3 называется ориентируемой или двусторонней,если на ней можно задать непрерывное поле единичных нормальных векторов. Такое поле будем называть ориентирующим полем нормалей S.Как следует из вышесказанного, простая гладкая поверхность ориентируема. Лист Мебиуса является примерам гладкой, но неориентируемой – односторонней – поверхности. Это, в частности, показывает, что лист Мебиусанельзя задать как простую гладкую поверхность никаким способом параметризации.Так как в каждой точке гладкой поверхности имеются два и только дваразличных единичных нормальных вектора противоположного направления,то для ориентируемой поверхности существуют два и только два ориентирующих поля нормалей N1 и N2 , причем векторы этих полей в данной точкеs0 ∈ S взаимно противоположны.
Для простой гладкой поверхности такимиполями являются поляr 0u × r 0vN1 = n : n = 0,|r u × r 0v |N2 =r 0v × r 0un: n= 0|r u × r 0v |Определение 33.1. Ориентируемая поверхность с выбранным ориентирующим полем нормалей называется ориентированной поверхностью.Ориентированную поверхность будем обозначать парой (S, N ), где N –выбранное ориентирующее поле нормалей.Не строго можно сказать, что выбор направления нормали определяет сторону поверхности.
Поэтому ориентацию поверхности часто называют выбором стороны поверхности – отсюда термин "двусторонняя поверхность". Например, на сфере можно задать непрерывное поле внешних – направленныхот центра – нормальных векторов или сказать, что задана внешняя сторонасферы; если же задать поле внутренних – направленных к центру – нормальных векторов, то можно сказать, что задана внутренняя сторона сферы.Определение 33.2.
Точку s поверхности S назовем внутренней, если у нее823существует такая окрестность U (s), что множество U (s) S несвязно.Точку s поверхности S назовем граничной, (краевой), если для любой ееокрестности U (s) множество, U (s) S связно.Определение 33.3. Пусть контур L лежит на поверхности S. Если частьS1 поверхности S, для которой точки L – граничные, не имеет других граничных точек и является связным ограниченным множеством, то скажем, что контур L ограничивает часть S1 поверхности S или что поверхность S1 натянута на контур L.Если незамкнутая поверхность S ориентирована, то для любого контура,лежащего на S, определяется положительное (согласованное с ориентациейS) направление обхода такое, что ограниченная этим контуром часть поверхности S оставалась слева при обходе контура по соответствующей сторонеповерхности.Определение 33.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
