1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 82
Текст из файла (страница 82)
ψ было отображением класса C m+1 .•Определение. Пусть ψ — определенная выше параметризация (одна карта)k-мерного многообразия M в U . Если ω — дифференциальная k-форма наM ∩ U , то положимZZω=ψ(W )ψ ∗ ω.•WВведем понятие интеграла по всему многообразию.Определение. Носителем функции f : Rn → R называется замыканиемножества {x ∈ Rn | f (x) 6= 0} в Rn . Обозначается носитель через supp f . •Определение. Функция f : Rn → R называется финитной, если supp f естькомпактное множество в Rn .•Лемма (Урысон). Пусть компакт K содержится в открытом множестве U ⊂Rn . Существует функция f : Rn → [0, 1] класса C ∞ , такая, что supp f ⊂ U иf (x) = 1 при x ∈ K.•832Теорема (О разбиении единицы).
Пусть K — компакт в Rn и {U1 , . . . , Um }есть его открытое покрытие (т.е., все Ui — открытые множества в Rn и∞K ⊂ ∪mi=1 Ui ). Существует набор бесконечно дифференцируемых (класса C )функций f1 , . . . , fm : Rn → R, таких, что1) supp fi ⊂ Ui для всех i = 1, . . . , m;P2) mi=1 fi (x) = 1 для всех x ∈ K;Pn3) mi=1 fi (x) 6 1 для всех x ∈ R .•Если выполняются условия (2) и (3), то набор функций {f1 , . . . , fm } являетсяразбиением единицы на K. Если выполнено еще и условие (1), то говорят, чторазбиение единицы {f1 , . . . , fm } подчинено покрытию {U1 , .
. . , Um }.Пусть M — компактное k-мерное многообразие, т.е., множество M являетсякомпактом в Rn и многообразием (с краем или без). Пусть {(U1 , ψ1 ), . . . , (Um , ψm )}есть атлас на M . То есть, {U1 , . . . , Um } — открытое покрытие M , и каждое множество Ui есть область действия одной параметризации ψi . Пусть{ϕ1 , .
. . , ϕm } — разбиение единицы на M , подчиненное покрытию {U1 , . . . , Um }.Тогда для любой дифференциальной формы ω на M справедливо представmPление: ω =ϕi ω. Если ω — форма степени k, то положимi=1Zω=Mm ZXϕi ω =ZmXi=1 M ∩Ui=1 Mϕi ω.iТеорема (Стокс). Пусть M — компактное ориентируемое k-мерное многообразие и ω — дифференциальная (k − 1)-форма на M . ТогдаZZdω =ω.M∂MПри этом ориентации многообразия M и его края ∂M должны быть согла•сованы.Определение.
Пусть M есть k-мерное многообразие в R3 . При k = 1 интеграл от любой дифференциальной 1-формы по M называется криволинейным833интегралом второго рода. При k = 2 интеграл от любой дифференциальной2-формы по M называется поверхностным интегралом второго рода.3636.1•Additional Seminar 06.Задача 64 на стр. 311, §12, [5]Среда вращается как твердое тело вокруг оси с постоянной угловой скоростью ω. Пусть v – поле линейных скоростей точек в фиксированный моментвремени.
Найти rotv (воспользоваться цилиндрическими координатами).36.2Задача 65 на стр. 311, §12, [5]В простейшем случае система уравнений Максвелла электромагнитного поляимеет видε ∂Eµ ∂H= rotH, −= rotE, divE = 0, divH = 0.c ∂tc ∂tЗдесь E и H – векторные поля электрической и магнитной напряженности,ε, µ, c = const>0. Полагая все функции достаточно гладкими, доказать, чтоE и H удовлетворяют волновому уравнению∂ 2Ec2=∆E,∂t2εµ36.3c2∂ 2H=∆H.∂t2εµЗадача 97 на стр. 316, §12, [5]В условиях задачи 36.1 найти циркуляцию поля v:1) по окружности радиуса R, которая лежит в плоскости, перпендикулярнойоси вращения, и ориентирована по направлению вращения;2) по окружности радиуса R, которая ориентирована так же, как и в 1), ноплоскость которой составляет угол α с осью вращения.36.4Задача 98 на стр.
316, §12, [5]В условиях задачи 36.1 примем ось вращения за ось Oz, направив ее по вектору угловой скорости. Пусть G – ограниченная односвязная область в плос834кости Oxy с границей γ – кусочно гладким простым замкнутым контуром,Ц – цилиндр с основанием G и образующими, параллельными оси вращения.Пусть Γ – замкнутая кусочно гладкая кривая на поверхности цилиндра Ц,которая взаимно однозначно проектируется на γ. Доказать, что циркуляцияполя v по Γ равна 2ω · µG, где µG – площадь G.36.5Задача 99 на стр. 316, §12, [5]Магнитное поле прямого бесконечного проводника постоянного тока I (I >0) задается как поле вектора напряженности H. Если ось Oz совместить спроводником по направлению тока, тоH = 2I−yi + xjx2 + y 21) Убедиться, что rotH = 0 (в отличие от rotv из задачи 36.1).2) Найти циркуляцию поля H по окружности радиуса R с центром на осиOz:а) лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Oz;б) лежащей в плоскости, которая составляет угол α с осью Oz.3) Взяв такие же, как и в задаче 36.4, область G с границей γ, цилиндр Ц икривую Γ на его поверхности и допустив, что ось Oz не является образующейцилиндра Ц, доказать, что циркуляция H по Γ равна циркуляции H по γ.4) Допустив, что O ∈ G, и взяв окружность с центром O, лежащую в G,доказать, что циркуляции H по γ и по этой окружности равны.5) Доказать, что если контур Γ (из 3)) не охватывает ось Oz, т.
е. проводникс током, то циркуляция H по Γ равна нулю, а если Γ охватывает ось Oz, тоциркуляция H по Γ такая же, как и по окружности из п. 2).36.6Задача 120 на стр. 319, §12, [5]Найти векторный потенциал магнитного поля бесконечного прямого проводника постоянного тока I (ось z направить по проводнику, см. задачу 36.5).83536.7Задача 121 на стр.
319, §12, [5]Электрический заряд q, движущийся с постоянной скоростью v, создает впространстве (вакууме) в фиксированный момент времени магнитное поленапряженностиv×r,4πr3где r – вектор с началом в заряде, а концом в M , r = |r|. Найти векторныйH(M ) = qпотенциал этого поля.36.8Задача 131 на стр. 320, §12, [5]Из уравнений электростатикиdivE =ρ,ε0rotE = 0,где E – поле электрической напряженности, ρ – плотность распределениязарядов, ε0 =const>0, вывести закон ГауссаZZQn · E dS =ε0∂Gо пропорциональности потока напряженности через границу области G (свнешней нормалью n) и полного заряда Q, находящегося в этой области.36.9Задача 132 на стр.
320, §12, [5]Пусть поле скоростей v движущейся сплошной среды потенциально. Доказать, что если среда несжимаема, то потенциал u поля v гармоничен (можновоспользоваться тем, что объемный расход среды через любую замкнутуюповерхность равен нулю).836Литература[1] В.В. Городецкий, Н.И. Нагнибида, П.П. Настасиев, Методы решения задач по функциональному анализу: Учеб. пособие. K.: Выща шк. 1990.[2] Б.П.
Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Учеб. пособие. - 13-е изд., испр. - М.: Изд-во. Моск. ун-та, ЧеРо.1997.[3] Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин, Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость: Учеб. пособие/ Под ред. Л.Д. Кудрявцева. - 2-е изд.,перераб. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 496 с.[4] Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И.
Чехлов, М.И. Шабунин, Сборникзадач по математическому анализу. Том 2. Интегралы. Ряды: Учеб. пособие. Под ред. Л.Д. Кудрявцева. - 2-е изд., перераб. М.: ФИЗМАТЛИТ,2003.[5] Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин, Сборникзадач по математическому анализу. Том 3. Функции нескольких переменных: Учеб. пособие. Под ред. Л.Д. Кудрявцева. - 2-е изд., перераб.М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.[6] П.К. Суетин, Классические ортогональные многочлены. 3-е изд. перераб.и доп.
- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.[7] В.Н. Старовойтов, Сборник основных определений и теорем, Математический анализ, 1-й семестр.837[8] В.Н. Старовойтов, Сборник основных определений и теорем, Математический анализ, 2-й семестр.[9] В.Н. Старовойтов, Сборник основных определений и теорем, Математический анализ, 3-й семестр.[10] В.Н. Старовойтов, Сборник основных определений и теорем, Математический анализ, 4-й семестр.[11] П.Л. Ульянов, А.Н. Бахвалов, М.И.
Дьяченко, К.С. Казарян, П. Сифуэнтес. Действительный анализ в задачах – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 416с.[12] B. Demidovich, Problems in mathematical analysis, MIR, 1989.[13] И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий, Задачи и упражнения по математическому анализу: Учеб. пособие. - М.: Изд-во Моск.ун-та, 1988.[14] И.А. Виноградова, С.Н.
Олехник, В.А. Садовничий, Математическийанализ в задачах и упражнениях: Учеб. пособие. - М.: Изд-во Моск. ун-та,1991.[15] И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач, Математический Анализ: Введение в Анализ, Производная, Интеграл, Справочное пособие повысшей математике. Т. 1 М.: Едиториал УРСС, 2001.[16] И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач, Справочное пособиепо высшей математике.
Т. 2: Математический анализ: ряды, функциивекторного аргумента. — М.: Едиториал УРСС, 2003.[17] И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач, Справочное пособиепо высшей математике. Т. 3: Математический анализ: кратные н криволинейные интегралы. — М.: Едиториал УРСС, 2001.[18] Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, 3-й том.838[19] G. Helmberg, Getting Acquainted with Fractals, Walter de Gruyter GmbH& Co. KG.
2007[20] V.A. Zorich, Mathematical Analysis I, Second Edition, Springer, 2012839.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
