1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 78
Текст из файла (страница 78)
278, [14]Проверим, что векторное поле√y √z √xA=z+ √ , x+ √ , y+ √2 y2 x2 zпотенциально в первом октанте (x > 0, y > 0, z > 0) и найдем его потенциал.Решение. Необходимым и достаточным условием потенциальности поля является выполнение равенства rotA = 0. Поэтому существует функция u(x, y, z),такая, что ∇u = A т. е.√√yzx√dx +dz.du =z+ √x+ √y+ √dy +2 y2 x2 zФункцию u находим, пользуясь рассмотренным выше правилам:Zx0 Zy0 √11u(x0 , y0 , z0 ) = u(1, 1, 1) +1+ √dx +x0 + √dy+2 y2 x1Zz0 √x0y0 + √2 z1√√√dz = y0 x0 + z0 y0 + x0 z0 − 3 + u(1, 1, 1).1√√√Итак, потенциалом поля A является функция u(x, y, z) = y x+z y +x z +C, где C – произвольная постоянная.79524.3Пример на стр. 265, [14]Проверив, что поле A = (x − y + z, y + z − x, x + y − 2z) соленоидально,найдем его векторный потенциал.Решение.
Поле A соленоидально, так какdivA = ∂x (x − y + z) + ∂y (y + z − x) + ∂z (x + y − 2z) = 1 + 1 − 2 = 0Одним из векторных потенциалов поля A является поле W = (Wx , Wy , Wz ),гдеWx = 0,ZWy =(x + y − 2z) dx =x2+ yx − 2zx,2x2− yx − zx + ϕ(y, z),Wz = (x − y − z)dx + ϕ(y, z) =2 2 2xx∂y ϕ(y, z) = x − y + z + ∂z+ yx − 2zx + ∂y − + yx + zx = −y + z,22Zy2ϕ(y, z) = − + zy.2Итак, векторным потенциалом поля A = (x − y + z, y + z − x, x + y − 2z)является векторное поле F = W + ∇u, гдеx2 − y 2x2− xy − xz + zyW = 0, + yx − 2xz,22и u – произвольная функция класса C 2 .Домашняя работа.24.4Задача 141 на стр. 332, [14]Доказать следующие соотношения:а) div(u∇u) = u∆u + |∇u|2 ;б) div(u∇v) = u∆v + ∇u · ∇v;в) ∇(u + v) = ∇u + ∇v;796г) div(A + B) = divA + divB,д) div(uc) = c · ∇u,c – постоянный вектор;е) ∇(uv) = u∇v + v∇u;ж) div(A × B) = B · rotA − A · rotB;з) div(uA) = udivA + A · ∇u;и) div∇u = ∆u;к) rot∇u = 0;л) rot(A + B) = rotA + rotB;24.5Задачи 146-152 на стр.
333, [14]Проверить, является ли поле F потенциальным, и если да, то найти его потенциал:146. F = 2xyi + (x2 + 1)j.147. F = (y + 1)2 i + 2x(y + 1)j.148. F = cos yi + x sin yj.149. F = (y + z)i + (x + z)j + (x + y)k.150. F = (yz + 1)i + xzj + xyk.151. F =i+j+kx+y+z .152. F = iex sin y + jex cos y + k.24.6Задачи 159-161 на стр. 333, [14]Проверить, является ли поле соленоидальным, и если да, то найти его векторный потенциал (с точностью до слагаемого ∇u, где u ∈ C 1 (D)).159.
F = (y + z)i + (x + z)j + (x + y)k.160. F = (6x + 7yz)i + (6y + 7xz)j + (6z + 7xy)k.161. F = 2yi − zj + 2xk.79724.7Задача 115 на стр. 274, §10, [5]12r2 (−y, x), rНайти работу поля F == x2 +y 2 , вдоль ориентированной противчасовой стрелки окружности:1)x2 + y 2 = 1;2)(x − 2)2 + y 2 = 1.25Seminar on 02.05.2019. Формула Грина. Формула СтоксаСм. дополнительный семинар 35.Теорема (формула Грина). Пусть область D лежит в R2 и граница ∂D обQSласти D состоит из конечного числа кусочно-гладких контуров ∂D =γq .q=1Обозначим через ∂D+объединение контуров γq (1 6 q 6 Q), ориентиро-ванных так, чтобы при их обходе область D оставалась слева. Тогда еслифункции P (x, y) и Q(x, y) непрерывны в D вместе со своими частными производными ∂y P и ∂x Q тоIZZ ∂Q ∂PP dx + Qdy =−dx ∧ dy.∂x∂y∂D+DЕсли через ω 1 обозначить форму P dx + Qdy, то формула Грина запишется ввидеIZZω=∂D+dω.DЕсли контур Γ лежит на поверхности S, то назовем часть S, ограниченнуюΓ, поверхностью, натянутой на контур Γ.
Если поверхность Γ ориентируема иконтур Γ ориентирован, то ориентацию S, при которой заданный обход контура Γ положителен, назовем согласованной с ориентацией Γ.Теорема (формула Стокса). Пусть область D лежит в R3 , функции P , Q,R ∈ C 1 (D); ориентированный контур Γ ⊂ D и S ⊂ D – натянутая на Γ ориентированная поверхность, ориентация которой согласована с ориентацией Γ.798ТогдаIZZP dx + Qdy + Rdz =(∂y R − ∂z Q) dy ∧ dz+ΓS(∂z P − ∂x R) dz ∧ dx + (∂x Q − ∂y P ) dx ∧ dy.На практике поверхностный интеграл второго рода, стоящий справа, частопереводят в поверхностный интеграл первого рода и пользуются формулойСтокса в видеZ Z cos α cos β cos γIP dx + Qdy + Rdz = ∂x∂y∂zPSΓQR dS,где cos α, cos β, cos γ – направляющие косинусы.
вектора нормали к S, характеризующего ориентацию S.Если через ω обозначить форму P dx + Q dy + R dz, то формула Стоксазапишется в виде в терминах векторного анализа формула Стокса выглядиттак. Пусть область D, контур Γ и поверхность S удовлетворяют сформулированным выше условиям; n – единичный вектор нормали к S, характеризующий ориентацию S, τ – единичный вектор касательной к Γ, направленныйсоответственно ориентации Γ. Тогда циркуляция гладкого в D векторногополя A вдоль контура Γ равна потоку rotA через поверхностьZZZZ(A · τ ) ds = P dx + Qdy + Rdz =(rotA · n) dS =ΓΓSZ Z cos α cos β cos γ ∂x∂y∂zPSQR25.1Пример на стр. 271, [14]ВычислимZ(cos y + y sin x + y 2 ) dx − (cos x + x sin y + x2 ) dy,γ799 dS.где γ – часть кривой r = a(1 + cos ϕ) (a > 0) от точки A = (2a, 0) до точкиO = (0, 0), лежащая в верхней полуплоскости (декартова и полярная системыкоординат совмещены)Решение.
Замкнем кривую A˘O отрезком O˘A оси OX. Направление кривойA˘O индуцирует обход полученного контура так, что областьD = {(r, ϕ) : 0 < ϕ < π, 0 < r < a(1 + cos(ϕ))},ограниченная им, остается слева. Следовательно, применяя формулу Грина,получаем, чтоZZZZIZZω + ω = ω = −2(x + y) dxdy =(x + y) dx ∧ dy = −2γa(1+cosZ ϕ)Zπ−22− a33r2 (cos ϕ + sin ϕ) dr =dϕ00ZπDD∂DOA(1 + cos ϕ)3 sin ϕ + cos ϕ + 3 cos2 ϕ + 3 cos3 ϕ + cos4 ϕ dϕ =02 3a3Zπ4 (1 + cos ϕ)3 d cos ϕ − a3 3ππZ2Z23 sin2 t dt +00sin4 t dt =02 312Γ(3/2)Γ(1/2) Γ(5/2)Γ(1/2)a (1 + cos ϕ)4 |π0 − a3 3+3 43Γ(2)Γ(3)8 3 5πa3=− a −,34Zπ/2Γ(α) Γ(β), Re(α) > 0, Re(β) > 0.B(α, β) = 2 (sin t)2α−1 (cos t)2β−1 dt =Γ(α + β)0Так как OA = {x = x, y = 0, 0 6 x 6 2a}, то сужением формы ω на OAявляется форма ψ ∗ ω = dx.
Следовательно,Z(cos y + y sin y + y 2 ) dx − (cos x + x sin y + x2 ) dy =Rγdx = 2a.0OAОтвет.Z2aω=H∂Dω−Rω = − 83 a3 −5πa34OA800− 2a.25.2Пример на стр. 273, [14]Пусть D – односвязная область в R2 , кусочно-гладкий контур γ лежит в Dи f ∈ C 2 (D). Преобразуем в двойной интеграл криволинейный интегралI∂fds,∂nγгде n – вектор внешней нормали к контуру γ.Решение. Не ограничивая общности, можно считать вектор n единичным,тогда n = (cos α, sin α), τ = (− sin α, cos α) и∂f∂f∂f∂f∂f=cos α +sin α = −cos α.(− sin α) +∂n∂x∂y∂y∂xПрименяя полученное выше равенство, получаем в силу формулы Грина, чтоII I∂f∂f∂f∂f∂fds =cos α +sin α ds =dy −dx∂n∂x∂y∂x∂yγγγZZ 2∂ f ∂ 2f+dx ∧ dy,∂x2 ∂y 2Dγгде Dγ – область, ограниченная контуром γ.25.3Задача 100 на стр. 272, §10, [5]Пусть G – ограниченная плоская область с кусочно гладкой границей ∂G,ориентированной так, что область G находится (локально) слева от касательного к ∂G вектора.
Доказать, что площадь µG можно вычислять по любойиз формулIIx dy = −µG =∂G1y dx =2∂GIx dy − y dx.∂GРешение. Самостоятельно.25.4Задача 103.5 на стр. 272, §10, [5]Найти площадь области, ограниченной кривой (x2 + y 2 )2 = a2 (x2 − y 2 ), x > 0.801(Решение.8Воспользоваться параметризацией√x(ϕ) = |a| cos 2ϕ cos ϕ,√y(ϕ) = |a| cos 2ϕ sin ϕ,ϕ ∈ (− π4 , π4 ] и задачей 25.3:πZ4 ppsin 2ϕ2cos 2ϕ cos ϕ − √sin ϕ + cos 2ϕ cos ϕ dϕ =x dy = acos 2ϕIµD =− π4∂Da2ππZ4Z4cos ϕ(cos 2ϕ cos ϕ − sin 2ϕ sin ϕ) dϕ = a2− π4cos ϕ cos 3ϕ dϕ =− π4πa2Z4(cos 4ϕ + cos 2ϕ) dϕ = a2a2sin 4ϕ π4 sin 2ϕ π4= . +4 02 02025.5Пример на стр. 275, [14]Найдем циркуляцию векторного поляA = (x(y + z), y(x + z), z(x + y))вдоль кривойΓ = {x2 + y 2 + z 2 = 2r1 x, x2 + y 2 = 2r2 x, z > 0 (0 < r2 < r1 )},положительно ориентированной на внешней стороне сферы x2 +y 2 +z 2 = 2r1 x.Первый способ решения. Интегралы 2-го рода.
Кривая Γ лежит какна сфере x2 + y 2 + z 2 = 2r1 x, так и на цилиндре x2 + y 2 = 2r2 x, но условиямприменения формулы Стокса удовлетворяет только часть сферы, посколькуона является гладкой поверхностью, натянутой на Γ. Следовательно,IIP dx + Q dy + R dz = x(y + z) dx + y(x + z) dy + z(x + y) dz =ΓΓZZ2ωrotA=ZZS8(z − y)dy ∧ dz + (x − z)dz ∧ dx + (y − x)dx ∧ dy,SСм. задачи 11.5, sem4.13.05.802где S есть часть внешней стороны верхней полусферы x2 +y 2 +z 2 = 2r2 x, z >0, лежащая внутри цилиндра x2 +y 2 = 2r1 x. Поскольку на верхней полусферевнешняя сторона является одновременно верхней стороной, то, выразив явнозависимость z от x и y, получаем запись ориентированной поверхностиS = {(x, y, z) ∈ R3 : z =p2xr1 − x2 − y 2 , (x, y) ∈ D},где D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 2r2 x}.
Находим соответствующий переносψ ∗ ω подынтегральной формы ω:(r1 − x)dx − ydy(r1 − x)dx − ydy,dz = p=z2r1 x − x2 − y 2r1 − xyψ ∗ ω = (z − y)dy ∧ dx − (x − z) dy ∧ dxzz yr1− r1 dx ∧ dy.+ (y − x)dx ∧ dy =zСледовательно,ZZZZ2ω =(z − y)dy ∧ dz + (x − z)dz ∧ dx + (y − x)dx ∧ dy =SSZZ yr1− r1z(x, y)ZZ dx ∧ dy =Dyr1− r1z(x, y)dxdy.DТак как D симметрична относительно оси OX, а функция f (x, y) = √yr12r1 x−x2 −y 2нечетна относительно y, тоZZyr1dxdy = 0z(x, y)Dи следовательно,IP dx + Q dy + R dz = −r1 µ(D) = −πr1 r22 .ΓВторой способ решения. Интегралы 1-го рода.
Единичныйвекторny z1внешней нормали к сфере x2 + y 2 + z 2 = 2r1 x равен x−rr1 , r1 , r1 . Частьверхней полусферы, лежащей внутри цилиндра x2 +y 2 = 2r2 x, как и в первом803случае, запишем в видеnop22S = r, r(x, y) = (x, y, 2r1 x − x − y ), (x, y) ∈ D ,D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 2r2 x}.Применяя формулу Стокса, получим, чтоZZA · τ ds = x(y + z) dx + y(x + z) dy + z(x + y) dz =ΓΓ x−ryzZ Z r1 1r1r1 ∂x∂y∂z x(y + z) y(x + z) z(x + y)S dS =ZZ ZZx − r1yz(z − y) + (x − z) + (y − x) dS =(y − z) dS.r1r1r1SSТак какsqdS = 1 + (zx0 )2 + (zy0 )2 dxdy =то1+ZZ ZA · τ ds = r1Γ25.6(r1 − x)2y2r1+dxdy=dxdy,z 2 (x, y)z 2 (x, y)z(x, y)y − z(x, y)z(x, y)dxdy = −πr1 r22 .DПример на стр. 276, [14]Применяя формулу Стокса, вычислим интегралZz dx + 2x dy − y dz,A˘Bгде A˘B – криваяx2 + y 2 = 2ax, az = xy, z > 0, O = (0, 0, 0), A = (2a, 0, 0) (a > 0).Решение.
Так как отрезок AO оси OX лежит на поверхности параболоидаaz = xy, то, объединяя его с кривой O˘A, получим контур Γ, лежащий на804поверхности az = xy. Обход полученного контура, индуцированный направлением кривой A˘B, положителен, если рассматривать его на нижней сторонепараболоида. Итак, натянутая на контур (Γ, T ) часть (S, N ) параболоида,az = xy с согласованной ориентацией естьS = {r : r(x, y) = (x, y,xy),a(x, y) ∈ D},D = {(x, y) : x2 + y 2 < 2ax, y > 0}иr 0y × r 0xn= 0|r x × r 0y |Так какZz dx + 2x dy − y dz = 0,AOто в силу аддитивности интеграла имеем, чтоZIz dx + 2x dy − y dz = z dx + 2x dy − y dzΓA˘BКак и в предыдущем примере, проведем два вычисления интеграла по контуру Γ.Первый способ. Интегралы 2-го рода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
