1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 81

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 81)

Пусть незамкнутые ориентированные поверхности S1и S2 пересекаются по кривой L. Возьмем на S1 и S2 контуры C1 и C2 соответственно так, чтобы кривая L или ее часть составляла часть какконтура C1 , так и контура C2 . Если положительное направление обходаконтуров C1 и C2 индуцирует на L противоположные ориентации, то ориентации поверхностей S1 и S2 называются согласованными.Определение 33.5. Кусочно-гладкая поверхность S =QSSq где Sq , 1 6q=1q 6 Q, – простые гладкие поверхности, называется ориентируемой (двусторонней), если на каждой из поверхностей Sq , 1 6 q 6 Q, можно выбрать ориентацию (Sq , Nq ) таким образом, чтобы для любой пары Si , Sjимеющей линию пересечения, ориентации были согласованными.

Векторное поле N , составленное полями Nq (1 6 q 6 Q), назовем ориентирующимполем нормалей S.Для кусочно-гладкой поверхности S ориентирующее поле нормалей определено и непрерывно на S, за исключением, быть может, конечного числакусочно-гладких кривых, лежащих на S. Так же, как и для гладкой ори824ентируемой поверхности, для кусочно-гладкой ориентируемой поверхностисуществуют два и только два ориентирующих поля нормалей N1 и N2 составленные взаимно противоположными векторами.Определение 33.6. Пара (S, N ), где S – ориентируемая кусочно-гладкаяповерхность и N – выбранное ориентирующее поле нормалей, называетсяориентированной поверхностью.Так же, как на гладкой незамкнутой ориентированной поверхности,определяется положительное направление обхода контура на незамкнутойкусочно-гладкой ориентированной поверхности.Любая кусочно-гладкая замкнутая поверхность ориентируема.

При этомодна ориентация соответствует выбору внешних нормалей (внешняя сторона поверхности), другая - выбору внутренних нормалей (внутренняя сторона поверхности).Для указания ориентации (стороны) поверхности будем пользоваться следующей терминологией.Для замкнутых поверхностей, как уже говорилось, определяются внешняя и внутренняя стороны. Будем считать это определение наследственнымдля любых частей замкнутых поверхностей. Например, внутренняя сторонаполусферы - это сторона, соответствующая выбору нормалей, направленныхк центру. Для эллиптических цилиндра и параболоида, двухполостного и однополостного гиперболоидов и эллиптического конуса внутренней нормальюсчитаем вектор нормали, направленный внутрь полости, и соответственноопределяем внутреннюю и внешнюю стороны.

Определения внешней и внутренней стороны также будем считать наследственными для любых частейтаких поверхностей. Если (S, N ) – ориентированная поверхность и косинусугла вектора n с осью OZ не меняет знака для n ∈ N , то назовем соответствующую сторону S верхней, когда cos(n, OZ) > 0, и нижней, когдаcos(n, OZ) 6 0. Аналогично назовем сторону поверхности (S, N ) правой, когда cos(n, OX) > 0, n ∈ N , и левой, когда cos(n, OX) 6 0, n ∈ N . Вчастности, если поверхность S задана явной функцией z = z(x, y), т.е.S = {r : r(x, y) = (x, y, z(x, y)),825(x, y) ∈ D},z(x, y) ∈ C 1 (D), то полеr 0x × r 0y(−zx0 , −zy0 , 1) =qN = n: n= 0|r x × r 0y |1 + (zx0 )2 + (zy0 )2 задает верхнюю, а полеe = n:Nr 0y × r 0x(zx0 , zy0 , −1)n= 0=q|r x × r 0y |1 + (zx0 )2 + (zy0 )2 – нижнюю стороны S. Точно так же для поверхностиS = {r : r(y, z) = (x(y, z), y, z), (y, z) ∈ D} ,полеx(y, z) ∈ C 1 (D)N̂ = n :(1, −x0y , −x0z )r 0y × r 0z=qn= 0|r y × r 0z |1 + (x0y )2 + (x0z )2 задает правую, а полеN̆ = n :r 0z × r 0y(−1, x0y , x0z )n= 0=q|r y × r 0z |1 + (x0y )2 + (x0z )2 – левую стороны S.33.1ЗадачаОпределим, внешняя или внутренняя сторона поверхности S = {(x, y, z) :x2 + z 2 = 2az, z < a} является верхней (a > 0).Решение.

Условие z < a показывает, что ориентирующееполе нормалейк S,определяющее верхнюю сторону, есть N = {n}, n = − xa , 0, (a−z). Внешняяaи внутренняя стороны поверхности S как части цилиндра {(x, y, z) : x2 +z 2 = 2az} определяются полем нормален, направленных соответственно отоси симметрии этого цилиндра и к оси симметрии. Осью симметрии цилиндраявляется прямаяz = a, лежащаявыше точек поверхности S, следовательно,направлен к этой прямой.

Итак, верхняя сторонавектор n = − xa , 0, (a−z)aS – внутренняя82633.2ЗадачаОпределим, правая или левая сторона поверхности S = {(x, y, z) : x2 =y 2 + z 2 , x > 0} является внутренней.Решение. Поверхность S является частью конуса x2 = y 2 + z 2 , следовательно, внутренняя сторона S определяется полем нормалей N = {n}, направленных внутрь полости этого конуса, т.е.

к оси OX. Такой вектор n = (nx , ny , nz )в точке (x, y, z) ∈ S, z > 0 должен иметь отрицательную координату nz , Отсюда получаем, что ориентирующимполем нормалейвнутренней стороны S√является поле N = {n}, n = √12 , − √y2x , − √z2x . Так как nx = 1/ 2 > 0, товнутренняя сторона S является правой.34Additional Seminar 04. Координатный вид кососимметрических форм. Координатный вид дифференциальных форм. Точные и замкнутые дифференциальные формы. Сужение дифференциальных формПривести к координатному виду форму:34.1Задача № 3, Стр. 320, [14](2π 1 + π 2 − π 3 + 2π 4 ) ∧ (π 1 ∧ π 2 − 3π 2 ∧ π 4 ).34.2Задача № 4, Стр.

320, [14](2π 1 ∧ π 3 − 3π 1 ∧ π 4 + π 3 ∧ π 4 ) ∧ (5π 1 − 2π 2 + 3π 3 + π 4 ).Привести к координатному виду дифференциальные формы.34.3Задача № 12, Стр. 320, [14]d x(z 2 − y 2 )dx + y(x2 − z 2 )dy + z(y 2 − x2 )dz .112Решение. Здесь ωA= P dx + Q dy + R dz, dωA= ωrotA, гдеA = (P, Q, R) = x(z 2 − y 2 ), y(x2 − z 2 ), z(y 2 − x2 ) ,827rotA = (4yz, 4xz, 4xy) .Ответ.d x(z 2 − y 2 )dx + y(x2 − z 2 )dy + z(y 2 − x2 )dz =4yz dy ∧ dz + 4xz dz ∧ dx + 4xy dx ∧ dy.34.4Задача № 13, Стр. 320, [14]d x2 yz dy ∧ dz + xy 2 z dz ∧ dx + xyz 2 dx ∧ dy .233, гдеРешение. Здесь ωA= P dy ∧ dz + Q dz ∧ dx + R dx ∧ dy, dωA= ωdivAA = (P, Q, R) = x2 yz, xy 2 z, xyz 2 , divA = 6xyz.Ответ. d x2 yz dy ∧ dz + xy 2 z dz ∧ dx + xyz 2 dx ∧ dy = 6xyz dx ∧ dy ∧ dz.Выяснить, замкнуты или нет следующие формы:34.5Задача № 16, Стр.

320, [14]2zx dx + 2zy dy + (x2 + y 2 ) dz.34.6Задача № 17, Стр. 320, [14]2xyz dx + (x2 z − z 2 y) dy + x2 y dz.34.7Задача № 18, Стр. 320, [14](y + xy 2 z)exyz dx + (x + x2 yz)exyz dy + x2 y 2 exyz dz.34.8Задача № 20, Стр. 320, [14]z(x − y) cos(x + y − z)dx ∧ dy + x(y + z) cos(x + y − z)dy ∧ dz − y(x + z) cos(x +y − z)dz ∧ dx.34.9Задача № 21, Стр. 320, [14](x1 x2 + x3 x4 ) dx1 ∧ dx2 + (x1 x3 + x2 x4 ) dx1 ∧ dx4 + (x1 x4 + x2 x3 )dx2 ∧ dx3 +(x21 + x22 + x23 + x24 ) dx3 ∧ dx4 .82834.10Задача № 22, Стр. 320, [14](x4 x3 + x22 ) dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 + x1 x3 dx1 ∧ dx2 ∧ dx4 + (x2 x4 − x24 ) dx1 ∧ dx3 ∧ dx4 +x1 x2 dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 .Найти сужение формы ω на кривую L с указанной параметризацией:34.11Задача № 24, Стр.

320, [14]ω = (x + sin x) dy − y(cos x + 1)dxL = {(x, y) : x = x,34.12y = x cos x}.Задача № 25, Стр. 320, [14]ω = y dx − x dy, L = {(x, y) : x = y ln y, y = y}.34.13Задача № 26, Стр. 320, [14]ω = yz dx − xz dy + xy dz, L = {(x, y, z) : x = a cos t, y = a sin t, z = bt}.34.14Задача № 27, Стр. 320, [14]ω = xz dx + yz dy + (x2 + y 2 ) dz, L = {(x, y, z) : x = at sin t, y = at cos t, z =bt2 }.Найти сужение формы ω на поверхность S с указанной параметризацией:34.15Задача № 28, Стр. 320, [14]ω = x dy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy,S = {(x, y, z) : x = x, y = y, z = x sin y + y sin x}.82934.16Задача № 29, Стр.

320, [14]ω = −z(z 2 + y 2 )dx ∧ dy + y(z 2 + y 2 )dz ∧ dx + 2x dy ∧ dz,S = (x, y, z) : x = arctg yz + yz, y = y, z = z .34.17Задача № 30, Стр. 320, [14]ω = x dy ∧ dz + 2y dz ∧ dx + z dx ∧ dy,S = {(x, y, z) : x = x, y = xz ln(x2 + z 2 ), z = z}.34.18Задача № 31, Стр. 320, [14]ω = x dy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy, S – сфера радиусом R:S = {(x, y, z) : x = R cos ϕ cos ψ, y = R sin ϕ cos ψ, z = R sin ψ}.34.19Задача № 32, Стр. 320, [14]ω = z 2 (x + y)dx ∧ dy − z(x2 + y 2 )(dz ∧ dx + dy ∧ dz),S – геликоид: S = {(x, y, z) : x = au cos v, y = au sin v, z = bv}.34.20Задача № 33, Стр.

321, [14]ω = yz dy ∧ dz − xzdz ∧ dx + xy dx ∧ dy, S – тор: S = {(x, y, z) : x =(b + a cos ϕ) cos ψ, y = (b + a cos ϕ) sin ψ, z = a sin ψ}, a < b.34.21Задача № 34, Стр. 321, [14]ω = y dx ∧ dy − z dz ∧ dx + x dy ∧ dz, S – гиперболический параболоид S ={(x, y, z) : x = auv, y = a(u + v), z = a(u − v)}.34.22Задача № 35, Стр. 321, [14]ω = z(x2 + y 2 ) dx ∧ dy − x(y 2 + z 2 ) dy ∧ dz + y(x2 + z 2 ) dz ∧ dx, S – цилиндр,S = {(x, y, z) : x = R cos ϕ + R, y = R sin ϕ, z = h}.83035Additional Seminar 05.Пусть ω ∈ C(U ; Λp (Rn )), U ⊂ Rnx .

Если p = n (в этом случае форма имеетвид ωx = a(x) dx1 ∧ · · · ∧ dxn ), то можно определить интеграл от дифференциальной формы ω по области U . ПоложимZZω = a(x) dx.UUSee "Integration on Euclidean spaceВ правой части этой формулы стоит интеграл Лебега (или Римана) отфункции a по области U . Если ϕ : V → U , V ⊂ Rny , то ϕ∗ ω ∈ C(V ; Λn (Rn )) иZZϕ∗ ω = a(ϕ(y)) det ϕ0 (y) dy.VVЕсли det ϕ0 (y) > 0, то согласно формуле замены переменных в интегралеЛебега (или Римана)ZZ∗ϕω=V35.1ω.ϕ(V )Задача. С.

248. [14]Рассмотрим примеры1. n = p = 1,2. n = p = 2,Rωa1=a(t) dt =[α,β][α,β]RRRRωb2 =D3. n = p = 3,RRRRGRβa(t) dt.αb(u, v) du ∧ dv =Dωc3 =10RRb(u, v) dudv.11DRRRc(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz =GRRc(x, y, z) dxdydz.G10Отметим, что криволинейный интеграл второго рода может быть сведен к однократному интегралуот переноса 1-формы.11Отметим, что поверхностный интеграл второго рода может быть сведен к двукратному интегралу отпереноса 2-формы.831Дифференциальные формы на многообразииОпределение. Пусть M есть k-мерное многообразие в Rn . Дифференциальной формой ω степени p на многообразии M называется отображение,которое каждой точке x ∈ M ставит в соответствие форму ωx ∈ Λp (Tx M ). •Сумма и внешнее произведение форм на многообразии определяются обычным образом. Определим операцию внешнего дифференцирования.

Пустьa ∈ M и ψ — параметризация многообразия M в некоторой окрестностиU ⊂ Rn точки a. То есть, существует область W ⊂ Rk , такая, что M ∩ U =ψ(W ) и rang ψ 0 = k в W . Переменные в Rk обозначим через t = (t1 , . . . , tk ).Определение. Дифференциальная форма α степени p + 1, определеннаяна M ∩ U , называется внешним дифференциалом формы ω степени p, еслиψ ∗ α = d(ψ ∗ ω) в W .•Определение. Скажем, что p-форма ω на M принадлежит классу C m , еслиψ ∗ ω — форма класса C m . Для этого необходимо, чтобы многообразие M былокласса C m+1 , т.е.

Характеристики

Список файлов семинаров