1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 75
Текст из файла (страница 75)
231, [14]Найдем значение 3-формыω = 4π1 ∧ π2 ∧ π3 − 3π1 ∧ π2 ∧ π4 + π1 ∧ π3 ∧ π4 + 5π2 ∧ π3 ∧ π4на векторахξ 1 = (1, 0, 3, 0), ξ 2 = (5, 3, 4, −3), ξ 3 = (2, −1, 1, 2).21Seminar on 18.04.2019Дифференциальные формыПусть область D лежит в Rn . Совокупность всех n-мерных векторов, приложенных в точке x ∈ D, называют касательным пространством в точке x0и обозначают Tx0 D. Каноническим базисом в Tx0 D является базис e1 (x0 ),e2 (x0 ), . .
., en (x0 ), где ei (x0 ) – вектор, коллинеарный вектору ei базиса e1 ,e2 , . . ., en исходного пространства Rn . Пусть f ∈ C 1 (D), D ⊂ Rn . Тогда дифференциал df (x0 ) определен в каждой точке x0 ∈ D и является линейнойформойdf (x0 ) =∂f∂f∂f(x0 )dx1 +(x0 )dx2 + . . . +(x0 )dxn∂x1∂x2∂xnопределенной на векторе смещения h = (dx1 , dx2 , . . . , dxn ) ∈ Tx0 D. При переходе от точки к точке в области D форма df (x0 ), вообще говоря, меняется. Таким образом, гладкая функция f : D → R, порождает поле линейных формили 1-форм, определенных на соответствующих касательных пространствахTx D, x ∈ D.
С помощью внешнего умножения от задания 1-форм можноперейти к заданию p-форм.Определение. Дифференциальная форма порядка p (дифференциальная pформа) ω задана в области D ⊂ Rn , если для каждой точки x ∈ D задана770p-формаωx : (Tx D)p → R.Согласно определению дифференциал df (x) функции f : D → R, f ∈C 1 (D), есть дифференциальная форма первого порядка (дифференциальная1-форма), заданная в области D. Пусть в области D ⊂ R3 задано векторноеполе A = (P, Q, R).
Такое поле порождает в D две часто употребляемыедифференциальные формы:а) если поле A рассматривать как силовое поле, то для малого вектора h ∈Tx D смещения от точки x ∈ D скалярное произведениеA · h = P π 1 (h) + Qπ 2 (h) + Rπ 3 (h)дает величину работы поля A, отвечающей этому смещению. Поскольку в R3h = (dx, dy, dz), т. е. π 1 (h) = dx, π 2 (h) = dy, π 3 (h) = dz, тоA · h = P dx + Qdy + P dz.1= P dx + Qdy + Rdz, заданная в D, частоДифференциальная 1-форма ωAназывается формой работы векторного поля A.б) если поле A рассматривать как поле скоростей установившегося теченияжидкости, то для двух малых векторов h1 , h2 ∈ Tx D, смешанное произведениеA · (h1 × h2 ) = (P π 2 ∧ π 3 + Qπ 3 ∧ π 1 + Rπ 1 ∧ π 2 )(h1 , h2 )дает величину объема жидкости, протекающей за единицу времени через параллелограмм, натянутый на векторы h1 , h2 .Следовательно, получим дифференциальную 2-форму2ωA= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy,заданную в D, которая часто называется формой потока векторного поля A.По аналогии с трехмерным случаем для векторного поля A = (A1 , .
. . , An ),определенного в области D ⊂ Rn , формой работы и формой потока частоназывают соответственно дифференциальные 1-форму1ωA=nXAi (x)dxii=1771и (n − 1)-формуn−1ωA= A1 dx2 ∧ . . . ∧ dxn + A2 dx1 ∧ dx3 ∧ . . . ∧ dxn + . . . + An dx1 ∧ . . . ∧ dxn−1Пусть теперь ω ∈ C m (U ; Λp (Rn )) с произвольным p ∈ {1, 2, . . . , n}. Есликаноническое представление формы ω имеет видXak1 ... kp dxk1 ∧ .
. . ∧ dxkp ,ω=16k1 <...<kp 6nто положим по определениюXdω =dak1 ... kp ∧ dxk1 ∧ . . . ∧ dxkp ,16k1 <...<kp 6nгде dak1 ... kp есть дифференциальная 1-форма, являющаяся дифференциаломфункции ak1 ... kp (x).Операция внешнего дифференцирования линейна:d(λ ω) = λ dω,d(ω1 + ω2 ) = dω1 + dω2для любого λ ∈ R и любых форм ω, ω1 , ω2 ∈ C 1 (U, Λp (Rn )), p > 0.Теорема.
Для произвольной дифференциальной формыω ∈ C 2 (U ; Λp (Rn )), p > 0, справедливо равенство d(dω) = 0.•1nОбозначим через Rnx и Rmy пространства переменных x = (x , . . . , x ) и y =(y 1 , . . . , y m ) соответственно. Пусть ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕm ) есть отображение класnmса C k+1 из Rnx в Rmy , U ⊂ Rx и V ⊂ Ry — открытые связные множества(области), такие, что ϕ(U ) = V .Для каждой дифференциальной формы ω ∈ C k (V ; Λp (Rmy )) определим форму ϕ∗ ω ∈ C k (U ; Λp (Rnx )) по следующему правилу:(ϕ∗ ω)x (ξ 1 , . . .
, ξ p ) = ωϕ(x) (ϕ0 ξ 1 , . . . , ϕ0 ξ p ),где ϕ0 есть производная отображения ϕ в точке x:0ϕ :Rnx→Rmy ,ϕ0ij∂ϕi= j,∂x7720i(ϕ ξ) =nX∂ϕij=1∂xjξj .kpnОтображение ϕ∗ : C k (V ; Λp (Rmy )) → C (U ; Λ (Rx )) называется переносомдифференциальной формы при отображении ϕ.Заметим, что если f : V → R есть скалярная функция, то (ϕ∗ f )x = f (ϕ(x)).Отображение ϕ∗ линейно. То есть, если ω, ω1 и ω2 — дифференциальныеформы и C — скалярная постоянная, тоϕ∗ (ω1 + ω2 ) = ϕ∗ (ω1 ) + ϕ∗ (ω2 ),∗kЛемма. Если ω = dy , то (ϕ ω)x =nX∂ϕkj=1∂xjϕ∗ (C ω) = C ϕ∗ (ω).dxj .•Лемма. Если ω1 и ω2 — дифференциальные формы (произвольных степеней), тоϕ∗ (ω1 ∧ ω2 ) = ϕ∗ ω1 ∧ ϕ∗ ω2 .•1nОбозначим через Rnx и Rmy пространства переменных x = (x , .
. . , x ) и y =(y 1 , . . . , y m ) соответственно. Пусть ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕm ) есть отображение класnmса C k+1 из Rnx в Rmy , U ⊂ Rx и V ⊂ Ry — открытые связные множества(области), такие, что ϕ(U ) = V .Для каждой дифференциальной формы ω ∈ C k (V ; Λp (Rmy )) определим форму ϕ∗ ω ∈ C k (U ; Λp (Rnx )) по следующему правилу:(ϕ∗ ω)x (ξ 1 , . . . , ξ p ) = ωϕ(x) (ϕ0 ξ 1 , . . . , ϕ0 ξ p ),где ϕ0 есть производная отображения ϕ в точке x:0ϕ :Rnx→Rmy ,ϕ0ij∂ϕi= j,∂x0i(ϕ ξ) =nX∂ϕij=1∂xjξj .kpnОтображение ϕ∗ : C k (V ; Λp (Rmy )) → C (U ; Λ (Rx )) называется переносомдифференциальной формы при отображении ϕ.Заметим, что если f : V → R есть скалярная функция, то (ϕ∗ f )x = f (ϕ(x)).Отображение ϕ∗ линейно.
То есть, если ω, ω1 и ω2 — дифференциальныеформы и C — скалярная постоянная, тоϕ∗ (ω1 + ω2 ) = ϕ∗ (ω1 ) + ϕ∗ (ω2 ),773ϕ∗ (C ω) = C ϕ∗ (ω).∗kЛемма. Если ω = dy , то (ϕ ω)x =nX∂ϕkj=1∂xjdxj .•Лемма. Если ω1 и ω2 — дифференциальные формы (произвольных степеней), тоϕ∗ (ω1 ∧ ω2 ) = ϕ∗ ω1 ∧ ϕ∗ ω2 .•Упражнение. Если f — скалярная функция и ω — дифференциальная форма, тоϕ∗ (f ω) x = f (ϕ(x)) (ϕ∗ ω)x .•Таким образом, если форма ω задана в каноническом виде:Xωy =ak1 ... kp (y) dy k1 ∧ .
. . ∧ dy kp ,1≤k1 <...<kp ≤mто∗(ϕ ω)x =Xak1 ... kp (ϕ(x)) dϕk1 (x) ∧ . . . ∧ dϕkp (x).1≤k1 <...<kp ≤mmУтверждение. Если ω — форма степени m в Rm и ϕ : Rmx → Ry , то(ϕ∗ ω)x = ϕ∗ a dy 1 ∧ . . . ∧ dy mТеорема.x= det ϕ0 (x) a(ϕ(x)) dx1 ∧ . . . ∧ dxm .d(ϕ∗ ω) = ϕ∗ dω.••Определение. Дифференциальная форма ω ∈ C 1 (U ; Λp (Rn )) называется•замкнутой, если dω = 0 в U .Определение. Дифференциальная форма ω ∈ C k (U ; Λp (Rn )) называетсяточной, если существует форма α ∈ C k+1 (U ; Λp−1 (Rn )), такая, что ω = dα в•U.Очевидно, точная форма всегда замкнута.
Справедливость обратного утверждения зависит от области определения формы.Определение. Область U называется звездной относительно точки x0 ∈U , если для любой точки x1 ∈ U отрезок [x0 , x1 ] = {x ∈ Rn | x = tx1 + (1 −t)x0 , t ∈ [0, 1] } лежит в U .774Теорема (Пуанкаре). Пусть U — звездная относительно одной из своих точекобласть в Rn и ω ∈ C ∞ (U ; Λp (Rn )). Если dω = 0 в U , то существует α ∈C ∞ (U ; Λp−1 (Rn )), такая, что dα = ω.21.1•Пример на стр. 236, [14]Вычислим значение дифференциальной формыω = x1 x4 dx1 ∧ dx2 + x3 x4 dx2 ∧ dx3 + x1 x3 d1 ∧ dx3 + x3 x2 dx2 ∧ dx4 .на паре векторов ξ 1 = (1, 4, 1, 0) и ξ 2 = (2, 0, 3, 1), ξ 1 , ξ 2 ∈ Tx0 R4 , x0 =(1, 0, 2, −1).Решение.
ξ1 ξ2 1 4 dx1 ∧ dx2 =dx1 ∧ dx2 (ξ 1 , ξ 2 ) = 11 12 = = −8, ξ2 ξ2 2 0 ξ2dx2 ∧ dx3 =dx2 ∧ dx3 (ξ 1 , ξ 2 ) = 12 ξ2 ξ1dx1 ∧ dx4 =dx1 ∧ dx4 (ξ 1 , ξ 2 ) = 11 ξ2 ξ2dx2 ∧ dx4 =dx2 ∧ dx4 (ξ 1 , ξ 2 ) = 12 ξ2 4 = 0 4 ξ1 1=ξ24 2 ξ14 4=ξ24 0ξ13ξ231 = 12,30 = 1,10 = 4,1x10 = 1, x20 = 0, x30 = 2, x40 = −1.Следовательно,ω = −1 · (−8) − 2 · 12 + 2 · 1 + 0 · 4 = −14.21.2Пример на стр. 237, [14]Найдем dω, гдеω = x21 x23 x4 dx1 ∧ dx2 − x31 x3 x4 dx2 ∧ dx3 + x21 x2 x23 dx1 ∧ dx4 − x31 x23 dx2 ∧ dx4 .775Решение.dω = d(x21 x23 x4 ) ∧ dx1 ∧ dx2 − d(x31 x3 x4 ) ∧ dx2 ∧ dx3+ d(x21 x2 x23 ) ∧ dx1 ∧ dx4 − d(x31 x23 ) ∧ dx2 ∧ dx4 =(2x1 x23 x4 dx1 + 2x21 x3 x4 dx3 + x21 x23 dx4 ) ∧ dx1 ∧ dx2− (3x21 x3 x4 dx1 + x31 x4 dx3 + x31 x3 dx4 ) ∧ dx2 ∧ dx3+ (2x1 x2 x23 dx1 + x21 x23 dx2 + 2x21 x2 x3 dx3 ) ∧ dx1 ∧ dx4− (3x21 x23 dx1 + 2x31 x3 dx3 ) ∧ dx2 ∧ dx4 =− x21 x3 x4 dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 − 2x21 x2 x3 dx1 ∧ dx3 ∧ dx4− 3x21 x23 dx1 ∧ dx2 ∧ dx4 + x31 x3 dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 .21.3ЗадачаПусть ω(x,y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy есть дифференциальная 1-форма в области D ⊂ R2 .
Вычислить dω(x,y) .Решение.dω(x,y) = dP ∧ dx + dQ ∧ dy =21.4∂Q ∂P−∂x∂y(x, y) dx ∧ dy.Задача1= P dx + Qdy + Rdz есть дифференциальная 1-форма в областиПусть ωA1D ⊂ R3 . Вычислить dωA.Решение.1dωA=21.5∂R ∂Q∂P∂R−dy ∧ dz +−dz ∧ dx∂y∂z∂z∂x∂Q ∂P2+−dx ∧ dy = ωrotA∂x∂yЗадача2Пусть ωA= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy есть дифференциальная 2-форма2в области D ⊂ R3 . Вычислить dωA.776Решение.2dωA=21.6∂P∂Q ∂R++dx ∧ dy ∧ dz = divAdx ∧ dy ∧ dz.∂x∂y∂zЗадача1Пусть ωA= P dx + Qdy + Rdz, ϕ : R → D, D ⊂ R3 , A = (P, Q, R).
Вычислить1ϕ∗ ω A.Решение.1ϕ ∗ ωA= P̃ (t)x (t) + Q̃(t)y (t) + R̃(t)z (t) dt,000где ϕ(t) = (x(t), y(t), z(t)), P̃ (t) = P (x(t), y(t), z(t)), Q̃(t) = Q(x(t), y(t), z(t)),R̃(t) = R(x(t), y(t), z(t)), t ∈ [0, T ].21.7Задача2= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy, ϕ : R2 → D, D ⊂ R3 . ВычислитьПусть ωA2ϕ ∗ ωA.Решение.2ϕ ∗ ωA= P (x(u, v), y(u, v), z(u, v))(yu0 du + yv0 dv) ∧ (zu0 du + zv0 dv)+Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v))(zu0 du + zv0 dv) ∧ (x0u du + x0v dv)+R(x(u, v), y(u, v), z(u, v))(x0u du + x0v dv) ∧ (yu0 du + yv0 dv) =! x0 y 0 z 0 x0 y0 z0 e ev) u0 u0 du ∧ dv =Pe(u, v) u0 u0 + Q(u,v) u0 0u + R(u, xv yv zv xv yv zv Pe(u, v) Q(u,e v) R(u,e v) 000 xu du ∧ dv.yuzu00 x0yzv21.8vvЗадача11Пусть ωA= P dx + Qdy + Rdz, ϕ : R2 → D, D ⊂ R3 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
