1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 71

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 71)

Функция u = u(x, y) в точке (2, 3) достигает локальный максимум.15.5Задача № 36, §5, C. 122, [5]F (x1 , . . . , xn ) =nXaik xi xk = Ax · x,aik = aki ,i,k=1на сфереnPx2i = 1 равны наибольшему и наименьшему корню характеристи-i=1ческого уравнения матрицы aik .Решение. Построим функцию ЛагранжаL(x1 , .

. . , xn , λ) =nXi=1aii x2i + 2Xaik xi xk − λ16i<k6nНайдем стационарную точкуnP2ax+2a1k xk − 2λx1 = 0,11 1k=2...n−1P2ax+2ank xk − 2λxn = 0,nnnk=1nPx2i = 1.i=1732nXi=1!x2i − 1 .Получим задачу о нахождении собственных векторов ξ 1 , . . . , ξ n , удовлетворяющих уравнениюAξ k = λk ξ k ,где λ1 6 . .

. 6 λn , |ξ k | = 1, k = 1, . . . , n. Действительно, используя A∗ = A,нетрудно показать, что Imλk = 0, k = 1, . . . , n. Следовательно,F (ξ k ) = Aξ k · ξ k = λk .Затем мы используем теорему Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте, см. 18.2.15.6ЗадачаДоказать, что функция W (x, y, z) = (z − x)(z − y)(y − x) на единичной сфере{(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1} по модулю меньше 1.Решение.

Составим функцию Лагранжа:L(λ, x, y, z) = (z − x)(z − y)(y − x) − λ(x2 + y 2 + z 2 − 1)Найдем стационарную точку, разрешая систему уравнений∂x L(λ, x, y, z) = −(z − y)(y − x) − (z − x)(z − y) − 2λx = 0, ∂ L(λ, x, y, z) = −(z − x)(y − x) + (z − x)(z − y) − 2λy = 0,y∂z L(λ, x, y, z) = (z − y)(y − x) + (z − x)(y − x) − 2λz = 0,x2 + y 2 + z 2 = 1.(2x − y − z)(z − y) − 2λx = 0, (−2y + x + z)(z − x) − 2λy = 0,(2z − y − x)(y − x) − 2λz = 0,x2 + y 2 + z 2 = 1.Из сложения первых трех уравнений получимλ(x + y + z) = 0.733Легко видеть, что λ 6= 0.

Тогда3x(−x − 2y) − 2λx = 0, z = −x − y,(−3y − 3x)(y − x) − 2λ(−x − y) = 0, x2 + y 2 + xy = 1 .2Пусть x + y 6= 0 и x 6= 0.2λ = −3(x + 2y),z = −x − y,−3(y − x) + 2λ = 0, x2 + y 2 + xy = 1 ;2λ = −3x, z = −x,y = 0, x2 = 1 .22Получим точки a1 = ( √12 , 0, − √12 ), λ1 = − 2√3 2 , W (a1 ) = − √12 ,a2 = (− √12 , 0, √12 ), λ2 =3√,2 2W (a2 ) =√1 .2Пусть x + y = 0 и x 6= 0.λ = 3x2 , z = 0,y = −x, x2 = 1 .2Получим точки a3 = √12 , − √12 , 0λ4 = − 2√3 2 , W (a4 ) = − √12 ., λ3 =3√,2 2W (a3 ) =√1 ;2a4 = (− √12 , √12 , 0),W (a5 ) =√1 ;2a6 = (0, − √12 , √12 ),Пусть x + y 6= 0 и x = 0.x = 0, z = −y,λ = 23 y, y2 = 1 .2Получим точки a5 = (0, √12 , − √12 ), λ5 =3√,2 2λ6 = − 2√3 2 , W (a6 ) = − √12 .• Способ 1.

Здесь можно применить теорему Вейерштрасса о функции,непрерывной на компакте, см. 18.2.734• Способ 2. Либо нужно построить матрицу Гесса функции L по переменным (x, y, z) в точке (λ1 , a1 ) = (− 2√3 2 , √12 , 0, − √12 )∂ 2L(λ,a)=11∂x22∂2L∂x2∂2L∂y∂x∂2L∂z∂x∂2L∂x∂y∂2L∂y 2∂2L∂z∂y∂2L∂x∂z∂2L∂y∂z∂2L∂z 2 (λ1 , a1 ) =z1 − y1 − λ1y 1 − x1x1 − z1y1 − x 1x1 − z1 − λ1z1 − y1 (λ1 , a1 ) =x1 − z1z1 − y1y1 − x1 − λ11√− √12√2 2 127√√√1  ,2−− √2 2 22 11√√2 − 2 2 2и проверить её знакоопределенность на касательном пространствеTa1 M = {(h1 , h2 , h3 ) ∈ R3 | 2x1 h1 + 2y1 h2 + 2z1 h3 = 0} ={(h1 , h2 , h3 ) ∈ R3 | h1 − h3 = 0}к многообразию. Следовательно, для любого h ∈ Ta1 M∂ 2L∂ 2L∂ 2L∂ 2L22(λ,a)hh,hi=(λ,a)h+(λ,a)h+(λ1 , a1 )h231111 111 22222∂x∂x∂y∂z222∂ L∂ L∂ L6h21 8h1 h2 7h22+2(λ1 , a1 )h1 h2 +2(a1 )h1 h3 +2(a1 )h2 h3 = √ − √ + √ >∂x∂y∂x∂z∂y∂z2222 |h|111√ 6h21 − 8|h1 ||h2 | + 7h22 > √ 2h21 + 3h22 > √ h21 + h22 + h23 = √ .2222Следовательно, a1 – точка условного минимума.

Подобную процедуруможно осуществить для точек a2 , a3 , a4 , a5 , a6 .Домашняя работа15.7Пример № 6, С. 344, [13]Найти точки условного экстремума функции F (x, y) = 4x − y, если f (x, y) =x2 − y 2 − 15 = 0.73515.8Пример № 7, С. 345, [13]Найти экстремальные значения функции F (x, y) = x2 −y 2 на прямой f (x, y) =2x − y − 3 = 0.15.9Пример № 8, С. 346, [13]Исследовать, имеет ли функция F (x, y, z) = xy +xz +yz условный экстремумв точке (1, 1, 1), если f (x, y, z) = 2x3 y 2 z + 4x2 + 5y 2 + 6z 2 − 17 = 0.15.10Пример № 9, С. 347, [13]Найти точки условного экстремума функции F (x, y) = 2x3 +3a2 x+2y 3 +3a2 y,если f (x, y) = x2 + y 2 − a2 = 0 (a > 0).15.11Пример № 10, С.

347, [13]На сфере S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = a2 } расположены три материальные точки ai = (xi , yi , zi ) с массами mi , i = 1, 2, 3. При каком положении3P2222mi ka − ai k2 – моментточки a = (x, y, z) на сфере x + y + z = a суммаi=1инерции данной системы точек относительно точки a – будет минимальной?16Seminar on 28.03.2019. Room 405.Наибольшее и наименьшее значения функции. Для функции, непрерывной на ограниченном замкнутом множестве, существуют на этом множестветочка, в которой функция принимает наибольшее значение, и точка, в которой функция принимает наименьшее значение (теорема Вейерштрасса офункции, непрерывной на компакте, см.

18.2. Функция, дифференцируемаяв ограниченной области и непрерывная на ее границе, достигает своего наибольшего и наименьшего значений либо в стационарных точках, либо в граничных точках области.Определение 16.1. Множество M ⊂ Rn называется p-мерным многообразием с краем, если для любой точки a ∈ M реализуется одна из следующих736возможностей:1) существует диффеоморфизм ϕ : U → V некоторой окрестности U ⊂ Rnточки a на некоторую окрестность нуля V ⊂ Rn , такой, что ϕ(a) = 0 иϕ(M ∩ U ) = {x ∈ V | xp+1 = . . . = xn = 0};2) существует диффеоморфизм ϕ : U → V некоторой окрестности U ⊂ Rnточки a на некоторую окрестность нуля V ⊂ Rn , такой, что ϕ(a) = 0 иϕ(M ∩ U ) = {x ∈ V | xp > 0, xp+1 = . . .

= xn = 0},причем множество точек, для которых реализуется вторая возможность(это множество называется краем многообразия), не пусто.16.1Задача № 28.1, §5, C. 121, [5]Найти наибольшее max F (x, y) и наименьшее min F (x, y) значения функ(x,y)∈D(x,y)∈Dции F (x, y) = xy + x + y на заданном множестве D = {(x, y) ∈ R2 : −2 6x 6 2, −2 6 y 6 4}.Решение. Легко видеть, что стационарная точка (−1, −1) является седловойточкой.

В свою очередьmin F (2, y) = −4,y∈[−2,4]max F (2, y) = 14,y∈[−2,4]max F (−2, y) = 0,y∈[−2,4]min F (−2, y) = −6,y∈[−2,4]min F (x, −2) = −4,x∈[−2,2]max F (x, −2) = 0,x∈[−2,2]min F (x, 4) = −6,x∈[−2,2]max F (x, 4) = 14.x∈[−2,2]Ответ: min F (x, y) = −6, max F (x, y) = 14.(x,y)∈D16.2(x,y)∈DЗадача № 28.7, §5, C. 121, [5]Найти наибольшее max F (x, y) и наименьшее min F (x, y) значения функ2(x,y)∈D2(x,y)∈Dции F (x, y) = x −xy+y на заданном множестве D = {(x, y) ∈ R2 : |x|+|y| 61}.Решение. Точка a0 = (0, 0) является точкой локального минимума, посколь!2 −12ку она является стационарной и матрица Гесса ∂∂xF2 (a0 ) =явля−1 2737ется положительно определенной.Отметим, что ∂D = γ1 ∪ γ2 ∪ γ3 ∪ γ4 , где γi есть многообразие с краем,i = 1, 2, 3, 4.Рассмотрим многообразие с краем γ1 = {(x, y) ∈ R2 : x+y−1 = 0, 0 6 x 61}, где край составляют точки (1, 0) и (0, 1). Рассмотрим функцию ЛагранжаL(λ, x, y) = x2 −xy+y 2 −λ(x+y−1).

Найдем стационарную точку a1 = 12 , 21 ,λ1 = 12 , в которой∂ 2L(λ1 , a1 ) hh, hi = 6h21 = 3|h|2 ,2∂xh ∈ Ta1 γ1 = {(h1 , h2 ) ∈ R2 : h1 = −h2 }, F (a1 ) = 41 .Рассмотрим многообразие с краем γ2 = {(x, y) ∈ R2 : −x+y −1 = 0, −1 6x 6 0}, где край составляют точки (−1, 0) и (0, 1). Рассмотрим функциюЛагранжа L(λ, x, y) = x2 − xy + y 2 − λ(−x + y − 1). Найдем стационарнуюточку a2 = − 21 , 12 , λ2 = 32 , в которой∂ 2L(λ2 , a2 ) hh, hi = 2h21 = |h|2 ,2∂x|h| =6 0, h ∈ Ta2 γ2 = {(h1 , h2 ) ∈ R2 : h1 = h2 }, F (a2 ) = 43 ,Аналогичным образом можно получить точки a3 = − 21 , − 2111,−22 .

Здесь мы учитываем равенство F (−x, −y) = F (x, y).и a4 =Нужно отдельно рассмотреть значения функции в точках a5 = (1, 0),a6 = (0, 1), a7 = (−1, 0), a8 = (0, −1), поскольку каждая из этих точекпринадлежит краю соответствующего многообразия γi , i = 1, 2, 3, 4.Ответ: min F (x, y) = 0, max F (x, y) = 1.(x,y)∈D16.3(x,y)∈DЗадача № 30.1.а, §5, C. 121, [5]Найти наибольшее max F (x, y) и наименьшее min F (x, y) значения функ(x,y)∈D(x,y)∈Dции F (x, y) = 3 + 2xy на заданном множестве D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 6 1}.!022.Решение. Точка a0 = (0, 0) является стационарной, но ∂∂xF2 (0, 0) =2 0Рассмотрим функцию ЛагранжаL(λ, x, y) = 3 + 2xy − λ(x2 + y 2 − 1).738Найдем стационарные точки x2 = y 2 , ∂x L(λ, x, y) = 2y − 2λx = 0, 2x2 = 1,∂y L(λ, x, y) = 2x − 2λy = 0, λ = x.x2 + y 2 − 1 = 0,y111111Получим a1 = √2 , √2 , λ1 = 1; a2 = − √2 , − √2 , λ2 = 1; a3 = − √2 , √2 ,11λ3 = −1; a4 = √2 , − √2 , λ4 = −1.Поскольку∂2L∂x2(λ, x, y) hh, hi = −2λ(h21 + h22 ) + 4h1 h2 , h ∈ T(x,y) ∂D ={(h1 , h2 ) ∈ R2 : 2xh1 +2yh2 = 0}, рассмотрим∂2L∂x2(λ, x, y) hh, hi в двух точкахa1 и a3 :∂ 2L(λ1 , a1 ) hh, hi = −2(h21 + h22 ) + 4h1 h2 = −8h21 = −4|h|2 ,2∂x∀h ∈ Ta1 ∂D = {(h1 , h2 ) ∈ R2 : h1 = −h2 };∂ 2L(λ3 , a3 ) hh, hi = 2(h21 + h22 ) + 4h1 h1 = 8h21 = 4|h|2 ,2∂xh ∈ Ta3 ∂D = {(h1 , h2 ) ∈ R2 : h1 = h2 }.Ответ: min F (x, y) = F (a3 ) = F (a4 ) = 2, max F (x, y) = F (a1 ) =(x,y)∈D(x,y)∈DF (a2 ) = 4.16.4Задача № 31.3, §5, C.

121, [5]Найти наибольшее max F (x, y, z) и наименьшее min F (x, y, z) значения(x,y,z)∈G(x,y,z)∈Gфункции F (x, y, z) = x + y + z на заданном множестве G = {x2 + y 2 6 z 6 1}.Решение. Поскольку у функции F (x, y, z) нет стационарных точек, мы будетискать условные точки экстремума на границе ∂G = Γ1 ∪ Γ2 .

Здесь многообразия Γ1 = {x2 + y 2 − z = 0, z 6 1} и Γ2 = {x2 + y 2 6 1, z = 1} имеют общийкрай γ = {x2 + y 2 = 1, z = 1}.Отметим, что у функции ψ(x, y) = F (x, y, 1) = x + y + 1 нет точек локального экстремума. Т.е. на многообразии Γ2 у функции F нет точек условногоэкстремума.739Найдем точки локального экстремума функции ϕ(x, y) = F (x, y, x2 +y 2 ) =x + y + x2 + y 2 на множестве D = {x2 + y 2 6 1}. Легко видеть, что это бу!202∂ ϕ11дет точка c1 = (− 21 , − 21 ), в которой матрица Гесса ∂x2 (− 2 , − 2 ) =0 2является положительноопределенной. Ей соответствует точка условного минимума a1 = (− 21 , − 12 , 12 ).Найдем локальный условный экстремум в области на краю γ многообразияΓ1 . Построим функцию ЛагранжаLγ (λ, x, y) = x + y + 1 − λ(x2 + y 2 − 1) : 1 − 2λx = 0,1 − 2λy = 0, 2x + y 2 = 1.√−1−1−1Получим точки a2 = √2 , √2 , 1 , λ2 = √,F(a)=1−2 > − 12 ; a3 =22√11√ , √ , 1 , λ3 = √1 , F (a3 ) = 1 +2.222Здесь мы используем теорему Вейерштрасса о функции, непрерывной накомпакте, см.

18.2.Ответ. max F (x, y, z) = F (a3 ) = 1 +(x,y,z)∈G16.5√2,min F (x, y, z) = F (a1 ) = − 21 .(x,y,z)∈GПример № 11, С. 349, [13]Найдем наибольшее и наименьшее значения функцииF (x, y, z) = x2 − 2ax + y 2 − 2ay + z 2 − 2az (a > 0).в полушареG = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 6 4a2 , z > 0}Решение. Так как непрерывная функция и рассматривается на компакте,e 0 = (eто существуют точки a0 = (x0 , y0 , z0 ) и ax0 , ye0 , ze0 ) такие, чтоF (a0 ) = max F (P ),a∈G740F (ea0 ) = min F (P ).a∈GЕсли эти точки лежат внутри полушара, то их координаты должны удовлетворять системе 2x − 2a = 0,2y − 2a = 0,2z − 2a = 0.Отсюда видно, что внутри полушара есть только одна возможная экстремальная точка a1 = (a, a, a).Возможную экстремальную точку на полусфереS : {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 = 4a2 , z > 0}.Ищем как точку условного экстремума функцииF (x, y, z) = x2 − 2ax + y 2 − 2ay + z 2 − 2azпри условииx2 + y 2 + z 2 = 4a2 , z > 0.Запишем функцию ЛагранжаL(λ, x, y, z) = x2 − 2ax + y 2 − 2ay + z 2 − 2az − λ(x2 + y 2 + z 2 − 4a2 ).Координаты критической точки функции L(λ, x, y, z) должны удовлетворятьсистеме2x − 2a − 2λx = 0, 2y − 2a − 2λy = 0,2z − 2a − 2λz = 0, x2 + y 2 + z 2 = 4a2 .a2 = ( √2a3 , √2a3 , √2a3 ).Далее ищем возможную точку экстремума a3 = (x, y, 0) на круге x2 + y 2 <4a2 , z = 0.

Характеристики

Список файлов семинаров