1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 68
Текст из файла (страница 68)
151 [16]Уравнениеx4 + y 4 = x2 + y 2(11.1)определяет y как многозначную функцию от x. В каких областях эта функция1) однозначна; 2) двузначна; 3) трехзначна; 4) четырехзначна?Определить точки ветвления этой функции и ее однозначные непрерывныеветви.Решение.Нарисуем график кривой, используя полярную систему коор(x = r cos ϕ,динатТаким образом,y = r sin ϕ.r2 (ϕ) =11==12 + 1 (1 − cos(2ϕ))2(1+cos(2ϕ))cos4 ϕ + sin4 ϕ4411=.11312 (2ϕ)+cos+cos(4ϕ)22447032Пусть t = x . Заметим, что06√Следовательно 0 6 t 6124 +t−t=√√(1+ 2)(1− 2)−(t − 2 )(t − 2 )(1+ 2).2Из уравнения (11.1) находимssr√111+2y(x) = ±++ x2 − x4 , если 0 ≤ |x| 6,242ssr√111+2y(x) = ±−+ x2 − x4 , если 1 ≤ |x| 6,242y = 0, если x = 0.704и t > 0.Отсюда непосредственно следует:1) уравнение (11.1) ни при каких значениях не определяет единственнойфункции (нет общих точек, в которых совпадали бы все четыре значения).2) Уравнение (11.1) определяет две функции, еслиs√1+ 20 < |x| < 1 и |x| =23) Если x = 0 или |x| = 1, то y(x) имеет три значения.
Поэтому на множестве{−1, 0, 1} уравнениеопределяет три функции.q (11.1)√4) Если 1 < |x| < 1+2 2 , то уравнение (11.1) определяет непрерывные четыре функции.(F (x, y) = 0,Точки ветвления находятся из системы уравненийFy0 (x, y) = 0,((x4 + y 4 − x2 − y 2 = 0,x4 + y 4 − x2 − y 2 = 0,Замечания:4y 3 − 2y = 0,(y 2 − 12 )y = 0. q √• Точки ветвления имеют вид (±1, 0), ± 1+2 2 , ± √12 . Отметим, что точка (0, 0) не является точкой ветвления.11.4ЗадачаПрименить к примеру 11.3 теорему о неявнойи записать в явном q функции√1+ 21√виде неявную функцию ϕ(x), когда x0 ∈ 1,, y0 ∈ 0, 2 .2Решение.
Мы можем применить теорему о неявной функции к F (x, y) =x4 + y 4 − x2 − y 2 в точке (x0 , y0 ), удовлетворяющей уравнению F (x0 , y0 ) =0 и условию Fy0 (x0 , y0 ) 6= 0, и получить неявную функцию ϕ(x). Здесь мыподразумеваем, что отображениеgx (y) = y −(x4 + y 4 − x2 − y 2 )4y03 − 2y0является сжимающим и имеет неподвижную точку ϕ(x), x изменяется в малой окрестности точки x0 . Более того, lim ϕ(x) = y0 .x→x0705 q √ 1+ 21, y0 ∈ 0, √2 . ТогдаПусть F (x0 , y0 ) = 0, x0 ∈ 1,2sϕ(x) =1−2r1+ x2 − x4 .4Здесь мы пользуемся единственностью неподвижной точки.11.5Задача № 3367, [2]Найти точки ветвления и непрерывные однозначные ветви y = y(x) (−1 6x 6 1) многозначной функции y, определяемой уравнением (x2 + y 2 )2 =x2 − y 2 .
(Лемниската Бернулли).Решение. Самостоятельно показать, чтоsr11y(x) = ± −x2 − + 2x2 + .24(Найдем только точки ветвления. Разрешим систему уравненийгде F (x, y) = (x2 + y 2 )2 − x2 (+ y2,((x2 + y 2 )2 − x2 + y 2 = 0,(x2 + y 2 )2 − x2 + y 2 = 0,4y(x2 + y 2 ) + 2y = 0,y(x2 + y 2 + 12 ) = 0.Ответ. Точки ветвления (0, 0), (1, 0), (−1, 0).Домашняя работа. Построить графики неявных функций:706F (x, y) = 0,Fy0 (x, y) = 0,11.6Задача № 370, [2]а) x2 − xy + y 2 = 1 (эллипс);б) x3 + y 3 − 3xy = 0 (декартов лист);ppв) |x| + |y| = 1 (парабола);22г) x 3 + y 3 = 1 (астроида);д) sin x = sin y;е) cos(πx2 ) = cos(πy);ж) xy = y x (x > 0, y > 0);з) x − |x| = y − |y|.11.7Задача № 370.1, [2]а) min{x, y} = 1;б) max{x, y} = 1;в) max{|x|, |y|} = 1;г) min{x2 , y} = 1.12Seminar on 14.03.2019. Room 405.
Дифференцирование неявного отображения.Теорема 12.1. ( О дифференцируемости неявного отображения). Пусть выполнены условия теоремы о неявной функции и отображение F непрерывнодифференцируемо (по x и по y) в некоторой окрестности точки (x0 , y 0 ) вX × Y . Тогда неявная функция ϕ непрерывно дифференцируемо в некоторойокрестности точки x0 в X и−1ϕ0 (x) = − Fy0 (x, ϕ(x))◦ Fx0 (x, ϕ(x)).707(12.1)Теорема 12.2. ( О гладкости неявного отображения). Пусть выполнены условия теоремы о неявной функции и отображение F k раз непрерывно дифференцируемо (по x и по y) в некоторой окрестности точки (x0 , y 0 ) в X × Y .Тогда неявная функция ϕ k раз непрерывно дифференцируема в некоторойокрестности точки x0 в X.12.1Пример 4, §3, C.
62, [5]Пусть f (u, v) – дифференцируемая в R2 функция, u = xy, v = x2 − y 2 .Выразить∂f∂xи∂f∂yчерез∂f∂vи∂f∂v .Решение.∂f∂f∂f=y+ 2x ,∂x∂u∂v12.2∂f∂f∂f=x− 2y .∂y∂u∂vПримерСамостоятельно записать формулу (12.1) случаях• (n = 1, m = 1)∂F ∂ϕ ∂F·+= 0.∂z ∂x∂x• (n = 2, m = 1)∂F ∂z∂ϕ∂x∂ϕ∂y+∂F∂x∂F∂y= 0;• (n = 1, m = 2)∂F1∂z1∂F2∂z1∂F1∂z2∂F2∂z2!dϕ1dxdϕ2dx!∂ϕ1∂y∂ϕ2∂y!+∂F1∂x∂F2∂x+∂F1∂x∂F2∂x!= 0.• (n = 2, m = 2)∂F1∂z1∂F2∂z1∂F1∂z2∂F2∂z2!∂ϕ1∂x∂ϕ2∂x708∂F1∂y∂F1∂y!= 0.12.3Пример 7, §3, C. 62, [5]Найти в точке (1, 1) частные производные функции u = ϕ(x, y), заданнойнеявно уравнениемu3 − 2u2 x + uxy − 2 = 0.Решение.
Из уравнения найдем значение функции и в данной точке: u =ϕ(1, 1) = 2. ФункцияF (x, y, u) = u3 − 2u2 x + uxy − 2равна нулю в точке (1, 1, 2) и непрерывна в ее окрестности, а ее частныепроизводные∂F= −2u2 + uy,∂xтакже непрерывны, причем∂F= ux,∂y∂F∂u (1, 1, 2)∂F= 3u2 − 4ux + xy∂u6= 0.
Следовательно, данным уравнени-ем в окрестности точки (1, 1, 2) определяется непрерывно дифференцируемаяфункция u = ϕ(x, y). Так как в точке (1, 1, 2) частные производные функцииF соответственно равны∂F∂F∂F(1, 1, 2) = −6,(1, 1, 2) = 2,(1, 1, 2) = 5∂x∂y∂uто частные производные функции u = ϕ(x, y) в этой точке равны∂ϕ6∂ϕ2(1, 1) = ,(1, 1) = − .∂x5∂y512.4Задача 60.1, §3, C. 74, [5]Найти в указанной точке частные производные функции ϕ(x, y), заданнойнеявно уравнением:F (x, y, u) = u3 + 3xyu + 1 = 0,x = 0, y = 1.Решение. u3 = −1. Получим точку (0, 1, −1), Fu0 (0, 1, −1) = 3 6= 0.
Следовательно, существует неявная функция u = ϕ(x, y),F 0 (0, 1, −1)∂ϕ(0, 1) = − x0= 1,∂xFu (0, 1, −1)Fy0 (0, 1, −1)∂ϕ(0, 1) = − 0= 0.∂yFu (0, 1, −1)70912.5Задача 60.2, §3, C. 74, [5]Найти в указанной точке частные производные функции ϕ(x, y), заданнойнеявно уравнением:eu − xyu − 2 = 0,(1, 0).Решение. eu = 2. Получим точку (1, 0, ln 2), Fu0 (1, 0, ln 2) = 2 6= 0. Следовательно, существует неявная функция u = ϕ(x, y),∂ϕFx0 (1, 0, ln 2)(0, 1) = − 0= 0,∂xFu (1, 0, ln 2)Fy0 (1, 0, ln 2) ln 2∂ϕ(0, 1) = − 0=.∂yFu (1, 0, ln 2)212.6Задача 60.3, §3, C.
74, [5]Найти в указанной точке частные производные функции ϕ(x, y), заданнойнеявно уравнением:u + ln(x + y + u) = 0,(1, −1).Решение. Уравнение u + ln u = 0 имеет единственный корень u0 . Получимточку (1, −1, u0 ), Fu0 (1, −1, u0 ) = 1 + u10 6= 0. Следовательно, существует неявная функция u = ϕ(x, y),−1∂ϕFx0 (1, −1, u0 )(1, −1) = − 0=,∂xFu (1, −1, u0 ) 1 + u0Fy0 (1, −1, u0 )∂ϕ−1(1, −1) = − 0=.∂yFu (1, −1, u0 ) 1 + u012.7Пример 8, §3, C. 63, [5]Найти в точке (1, 0, 1, −2) частные производные функций u = ϕ1 (x, y) и v =ϕ2 (x, y), заданных неявно системой уравнений(xu + yv − u3 = 0,x + y + u + v = 0.710Решение.
Функции F1 = xu + yv − u3 и F2 = x + y + u + v равны нулю вточке (1, 0, 1, −2) и непрерывны в ее окрестности, их частные производныетакже непрерывны, и якобиан2 ∂(F1 , F2 ) x−3uy (1, 0, 1, −2) = −2 ∂(u, v) (1, 0, 1, −2) = 11не равен нулю в заданной точке. Следовательно, данной системой уравненийв окрестности точки (1, 0, 1, −2) определяются единственным образом непрерывно дифференцируемые функции u = ϕ1 (x, y) и v = ϕ2 (x, y). Значениячастных производных функций F1 и F2 в точке (1, 0, 1, −2) соответственноравны∂F1= 1,∂x∂F2= 1,∂x∂F1= −2,∂y∂F2= 1,∂y∂F1∂F2∂F1∂F2= −2,= 1,= 0,= 1.∂u∂u∂v∂vНаходим матрицу, элементами которой являются искомые значения производных:∂ϕ1∂x∂ϕ2∂x∂ϕ1∂y∂ϕ2∂y!=−−2 01!−11 −2111212.8!=110!−1 −21 −211!=12−1− 320!.Задача 75, §3, C.
75, [5]Найти в точке (1, 2) частные производные дифференцируемых функций u =ϕ1 (x, y) и v = ϕ2 (x, y), заданных неявно уравнениями(xeu+v + 2uv = 1,yeu−v −u1+v= 2x,ϕ1 (1, 2) = ϕ2 (1, 2) = 0.Решение. Функции F1 (x, y, u, v) = xeu+v + 2uv − 1 и F2 (x, y, u, v) = yeu−v −u1+v− 2x равны нулю в точке (1, 2, 0, 0) и непрерывны в ее окрестности, их711частные производные также непрерывны, и якобиан!!∂F1 ∂F111∂u∂vdet ∂F(1, 2, 0, 0) = det= −3,∂F221−2∂u∂v!!∂F1 ∂F11 0∂x∂y(1,2,0,0)=,∂F2 ∂F2−21∂x∂y∂ϕ1∂x∂ϕ2∂x∂ϕ1∂y∂ϕ2∂y!(1, 2, 0, 0) = −1!−1111 −22313−13!0=−2 1!− 1310!−2 1=0−1− 1313!Домашняя работа12.9Задача 61.1, §3, C.
74, [5]Найти в указанной точке частные производные функции ϕ(x, y), заданнойнеявно уравнением:x2 − 2y 2 + 3u2 − yu + y = 0,12.10а) (1, 1, 1/3), б) (1, 1, 0).Задача 61.2, §3, C. 74, [5]Найти в указанной точке частные производные функции ϕ(x, y), заданнойнеявно уравнением:x cos y + y cos u + u cos x = 1,12.11(0, 1, 0).Задача № 62, §3, C. 74, [5]∂uНайти ∂u∂x и ∂y в точке (1, −2) для каждой дифференцируемой функции u(x, y),заданной неявно уравнением u3 − 4xu + y 2 − 4 = 0.12.12Задача 66, §3, C. 74, [5]Найти в точке (x0 , y0 , z0 ) дифференциал функций ϕ(x, y, z), заданных уравнением u3 − 3(x + y)u2 + z 3 = 0.71212.13Задача № 77, §3, C.
75, [5]Найти dz(1, 1) функции z = 2u + v, если u = u(x, y) и v = v(x, y) – дифференцируемые функции, заданные неявно уравнениями(u + ln v = x,v − ln u = y.13Seminar on 18.03.2019. Room 5213Обратная функция, определяемая неявно. X = Y = Rn :F (x, y) = g(y) − x,g(y) = x,y = g −1 (x).Теорема 13.1. (Об обратной функции). Пусть в некоторой окрестностиUy ⊂ Rn точки y 0 задано непрерывно дифференцируемое отображение g :Uy → Rn , такое, что detg 00 (y 0 ) = 0. Тогда в некоторой окрестности Ux ⊂Rn точки x0 = g(y0 ) определено обратное отображение g −1 , которое является непрерывно дифференцируемым, и(g −1 )0x (x) = (g 0y )−1 (y)|y=g−1 (x) .Замена переменных в выражениях, содержащих обыкновенные производныеПусть дано некоторое выражениеdy d2 yV = V (x, y, , 2 )dx dxсодержащее независимое переменное x, функцию x 7→ y(x) и производныеот y по x до некоторого порядка. Требуется перейти к новым переменным независимой переменной t и функции от нее t 7→ u(t).
Причем эти переменныесвязаны с прежними переменными x и y уравнениямиx = f (t, u),y = g(t, u).Из уравнений находим∂g∂g ∂u∂t + ∂u ∂t= ∂f ∂f ∂u∂t + ∂u ∂td dydy= dt dxdx2dxdtdy=dxdydtdxdt271313.1ПримерВспомнить формулы производных функций (и их вывод): xα , cos x, sin x, tg x,ln x, ex .13.2ПримерВспомнить формулы производных обратных функций (и их вывод): arcsin x,arccos x, arcctg x, arctg x, ln x.13.3ПримерПусть(x = ϕ(u, v),y = ψ(u, v)Найти частные производные первого и второго порядков от обратных функций u = u(x, y), v = v(x, y).Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
