1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 63

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 63)

е. существует такая постоянная c > 0, что для всех x ∈ [−π, π]и всех n ∈ N выполняется неравенство nXbk sin kx 6 c.k=1Домашняя работа3.15Задача 2943(ax, еслиf (x) =bx, если(−π, π).3.16−π < x < 0,0 6 x < π,где a и b – постоянные, в интервалеЗадача 2951f (x) = x cos x в интервале (−π, π).3.17Задача 2945f (x) = cos ax в интервале (−π, π), a ∈/ Z.3.18Задача 2970f (x) = ln 2 cos x2 .4Seminar on 14.02.2019. Room 405. Поточечная сходимость тригонометрических рядов Фурье. Условие ДиниПродолжим функцию f периодически на всю числовую ось R.

Нетрудно652посчитать, чтоZπSn (f, x) =1+21f (y)π−πnXZπ!cos((y − x)k)f (y)Dn (y − x) dy =dy =k=1−π{сделаем замену y − x = t}π−xZZπ=f (x + t) Dn (t) dt = f (x + t) Dn (t) dt,−π−x−πгдеDn (t) =1+21πnX!cos(kt)=k=11 sin(t(n + 1/2)),2πsin(t/2)ZπDn (t) dt = 1.−πПусть(f (x + t) − f (x),ϕx (t) =f (x + t) −Замечание 4.1.(Sn (f, x) − f (x),Sn (f, x) −f (x − 0) = f (x + 0),(f (x−0)+f (x+0)),2f (x − 0) 6= f (x + 0).f (x − 0) = f (x + 0),(f (x−0)+f (x+0)),2f (x − 0) 6= f (x + 0),Zπϕx (t) Dn (t) dt=−πТеорема 4.1.

( Риман) Пусть f ∈ L1 (a, b), где [a, b] — произвольный ограниченный интервал в R. ТогдаZblimZbf (y) sin py dy = limp→∞f (y) cos py dy = 0.p→∞a•aЛемма 4.1. Для любого δ ∈ (0, π) имеет место равенствоZDn (t) dt = 0.limn→∞[−π,π]\(−δ,δ)(Теорема 4.2. lim Sn (f, x) =n→∞0Zδlimn→∞−δf (x),f (x − 0) = f (x + 0),f (x−0)+f (x+0),2f (x − 0) 6= f (x + 0)sin((n + 21 )t)ϕx (t)dt = 0.2π sin( 2t )653•⇐⇒ ∃δ >Теорема 4.3. Пусть f ∈ L1 (−π, π), x ∈ [−π, π] и выполняется условиеДини:Zδ|f (x + t) − f (x)|dt < ∞|t|−δдля некоторого δ > 0.

Тогда Sn (f, x) → f (x) при n → ∞.В данном случаеZδ−δsin((n + 21 )t)ϕx (t) ·dt =2 sin( 2t )Zδ(f (x + t) − f (x))·t−δ1sin( 2t )· sint2 1n+t dt.2Теорема 4.4. Пусть f ∈ L1 (−π, π), x ∈ [−π, π], существуют пределыlim f (y) = f (x − 0), lim f (y) = f (x + 0) и выполняется второе условиеy%xy&xДини:ZδZ0|f (x + t) − f (x + 0)|dt < ∞,|t||f (x + t) − f (x − 0)|dt < ∞|t|−δ0для некоторого δ > 0. Тогда Sn (f, x) →f (x + 0) + f (x − 0)при n → ∞.2Заметим, что в этом случаеZδ−δsin((n + 12 )t)ϕx (t) ·dt =2 sin( 2t )Zδ0Z0Z0−δsin((n + 21 )t)(f (x + t) − f (x − 0)) ·dt+2 sin( 2t )sin((n + 21 )t)dt =(f (x + t) − f (x + 0)) ·2 sin( 2t )(f (x + t) − f (x − 0))·t−δZδ1sin( 2t )t2 1· sinn+t dt+2(f (x + t) − f (x + 0))·t06541sin( 2t )t2· sin 1n+t dt.2Обозначим через C 0, α [−π, π], α ∈ (0, 1), пространство непрерывных на [−π, π]функций f , которые удовлетворяют условию Гёльдера: |f (x2 ) − f (x1 )| 6C |x2 − x1 |α для некоторой константы C.

При α = 1 условие Гёльдера называется условием Липшица. C 0, α [−π, π] является банаховым пространством снормойkf kC 0, α [−π,π] = max |f (x)| +x∈[−π,π]|f (x2 ) − f (x1 )|.|x2 − x1 |αx1 ,x2 ∈[−π,π]maxФункции из C 0, α [−π, π] удовлетворяют условиям Дини.Замечание 4.2. Показать, что из f ∈ C 0,β [a, b] следует f ∈ C 0,α [a, b],0 < α < β 6 1.Доказательство. Для x, y ∈ [a, b]: x − y β 6 C|x − y|α |b − a|β−α .|f (x) − f (y)| 6 C|x − y| = C b − aβЗамечание 4.3. Показать, что если f, g ∈ C 0,α [a, b], то f · g ∈ C 0,α [a, b],0 < α 6 1.Доказательство. СамостоятельноЗамечание 4.4. Показать, что если f ∈ C 0,α [a, b], g ∈ C 0,β [c, d], 0 < α 6 1,0 < β 6 1, то g ◦ f ∈ C 0,γ [a, b], γ = min{α · β, 1}.Доказательство.

СамостоятельноТеорема 4.5. Если функция f (x) на отрезке [a; b] удовлетворяет условиюГёльдера, то в каждой внутренней точке x0 этого отрезка ряд Фурье сходится к значению f (x0 ).4.12∞PПример((−1)n−1 sinnnx =x, x ∈ (−π, π),См. задачи 2.4, 3.1.0,x = ±π.Тригонометрический ряд Фурье в точках x = ±π сходится к11( lim f (x) + lim f (x)) = ( lim x + lim x) = 0.x→−π+0x→−π+02 x→π−02 x→π−0n=16554.2hπПример 1, |x| < h∞Psin(nh)+ π2cos(nx) =0, h < |x| 6 π, См. задачу 3.2.nn=1 12 , x = ±h.4.3Задача 2948, [2]Исследовать поточечную сходимость ряда Фурье к функции f (x) = ex намножестве [−π, π].

http://www.yotx.ru/#!1/3_e/ubW/tb@35Sam0fuX@wf7DvJ6XW9s/X9/YP9kk07MYWDMF4PGA8Huzu7@xvbJyvh4Cb5@sbmyHg7u52CLi7sbW9s7mxtb2zuyH/@9/Y2930AOEbe7u7u/sH@yQadgN0wHjcAW0xHkEHu/tb@xsb5@sh4Ob5@sZmCLi7ux0C7m5sxuyP/@N/Z2Nz1A@Mbe7i50Y2v7bHdD/ve/sbO3u7njAcI3dvZ2d3f3D/ZJNOzGzs4B4xF2yn1vbJyvh4Cb5@sbmyHg7u52CLi7sbW9s7mxtb2zuyH/@9/Y2930AOEbe7u70I2t7bPdDfnf/8bO3u7mjgcI39jZ293d3Nja3jrY3ZD//W9c7O1uXniA8I2Lvd3d3f2DfRINu7F1ucV43Dq4Ztb2ycr4eAm@frG5sh4O7udgi4u7G1vbO5sbW9s7sh//vf2Nvd9ADhG3u7u9CNre2z3Q353//Gzt7u5o4HCN/Y2dvd3dzY2t462N2Q//1vXOztbl54gPCNi73dXejG1vYWYndD/ve/Adrb3QwT6Jht04YDxuXZwyHg9293f2AQc=Решение.Найдем коэффициенты разложения1a0 =πZπeπ − e−πe dy =.πy−πПусть n ∈ N:an =1πZππZ1πey cos(ny) dy = ey cos(ny) + n ey sin(ny) dy  =−ππ−π−πZπeπ − e−π1(−1)n + nbn , bn =ey sin(ny) dy =ππ−ππZ1 yπe sin(ny) − n ey cos(ny) dy  = −nan .−ππ−π656В итогеan =(eπ − e−π )(−1)n ,2π(1 + n )bn =n(eπ − e−π )(−1)n+1 .2π(1 + n )!∞1 X (−1)n+(cos(nx) − n sin(nx))2 n=1 n2 + 1(eπ − e−π )xe ∼πЭтот ряд сходится равномерно на множестве [−π + η, π − η], ∀η ∈ (0, π).Следовательно, ряд Фурье сходится поточечно к функции f (x) на множестве (−π, π).Пусть δ ∈ (0, π).

В точках x = ±π мы используем второе условие Дини вточках π и −π, соответственно:Z0π+t|eπ−e |dt = eπ|t|−δZδ−z(1 − e )dz < eπz0Zδ|e−π+t − e−π |dt = e−π|t|0Zδzdz = δeπ , где e−z > 1−z, z > 0,z0Zδ(et − 1)dt < eδ−πt0Zδ(1 − e−t )dt <tZδ0tdt = δ.t0Следовательно, в точках x = ±π тригонометрический ряд Фурье сходится к(eπ +e−π )24.4≈ 11.59195.ЗадачаИсследовать поточечную сходимость ряда Фурье к функции f (x) =Rx44ey dy0на множестве [−π, π].Решение.Функция f (x) является четной функцией, непрерывной по Лип-шицу на множестве [−π, π]:|f (x2 ) − f (x1 )| 6 L|x2 − x1 |,f 0 (x) = 4x3 exp(x16 ),x1 , x2 ∈ [0, +∞),16sup |f 0 (x)| = 4π 3 eπ =: L.x∈[−π,π]Либо можно было воспользоваться Замечанием 4.4: из x4 ∈ C 0,1 [−π, π] иRt y4e dy ∈ C 0,1 [0, π 4 ] следует, что f (x) ∈ C 0,1 [−π, π].06574.5НеравенствоДоказать неравенство|xα2 − xα1 | < |x2 − x1 |α ,α ∈ (0, 1], 0 6 x1 6 x2 .Решение.Пусть α ∈ (0, 1] и 0 < x1 < x2 :0 < xα2 − xα1 = αZx2dz=αz 1−αx14.6xZ2 −x1dτ6α(x1 + τ )1−αxZ2 −x10dττ 1−α= (x2 − x1 )α ;0ЗадачаИсследовать поточечную сходимость ряда Фурье к функции f (x) = |x|5/2 ·1на множестве [−π, π].

http://www.yotx.ru/#!1/3_e/ubW/tb@35Sam0fuX@sin 1+x2wf7DvJ6XW9j1A@MbW9sYWdG99Z3d3w4T939jb3V3fONve2d0/2CfRsBs7p4zH0y3G49blxe71j4CРешение.В силу четности функции f имеемsup |f 0 (y)| = sup |f 0 (y)|.y∈(−π,π)y∈(0,π)Оценим сверху75 3112y 2sup |f 0 (y)| = sup y 2 sincos−622221+y(1 + y )1+y y∈(0,π)y∈(0,π) 275 31π 2 sin(1) + 2π 2 cos.21 + π2Следовательно, функция f (x) является непрерывной по Липшицу на [−π, π]:|f (x2 ) − f (x1 )| 6 sup |f 0 (y)| · |x2 − x1 | 6y∈(0,π)75 31π 2 sin(1) + 2π 2 cos· |x2 − x1 |.21 + π26584.7ЗадачаИсследовать на непрерывность по Гёльдеру функцию∞Xx2f (x) =ln 1 +, x ∈ [−1, 1].(n+1)(n+2)n=0Решение.|f (x2 ) − f (x1 )| 6 sup |f 0 (x)| · |x2 − x1 |,x∈[−1,1]0sup |f (x)| 6 supx∈[−1,1]∞Xx∈[−1,1] n=022|x|(n + 1)(n + 2) 1 +∞Xn=04.8x2(n+1)(n+2)∞ X1=2(n + 1)(n + 2)n=0611−n+1 n+2= 2.ЗадачаИсследовать на непрерывность по Гёльдеру функцию(sin xx , x ∈ [−π, π]\{0},f (x) =1,x = 0.http://www.yotx.ru/#!1/3_e/ubF/sX@35Sam0fuX@wf7DvJ6XW9j1A@Mbe7vbe/sE@iYbd2DllPJ5uMR63Li9297f2AQc=Решение.Покажем, что для любых x1 , x2 ∈ [−π, π] справедливо равенство|f (x2 ) − f (x1 )| 6 L|x2 − x1 |.где L =sup |f 0 (x)| =x∈(−π,π)supx∈(−π,π)| sin x−x cos x|.x2http://www.yotx.ru/#!1/3_e/ubW/tb@0YM4X9tH7l/sH@w7yel1vZN2P8NDxC@sbe7uSf/@9/Y293d3lvf2T/YJ9GwGzunjMx223< cos x < 1, x − x6 < sin x < x, x ∈ (0, π],x2sin x − x cos x x − x 1 − 2xπ0<<= 6 ,22xx22получим оценку на L:πL6 .2Используя неравенства 1 −6594.9ЗадачаИсследовать на непрерывность по Гёльдеру функцию(|x|5/4 sin x1 , x ∈ [−π, π]\{0},f (x) =0,x=0http://www.yotx.ru/#!1/3_e/ubW/tb@35Sam0fuX@wf7DvJ6XW9jdM2P@Nvd3d9Y2zbdC2CfRsBs7p4zH0y3G49blxe7@1j4CРешение.Покажем непрерывность по Гёльдеру на множестве [0, π].Пусть γ ∈ (−1, 0):Z 0 Z111dx = − xγ+2 sinxγ cosdx = −xγ+2 sinxxx Z1γ+1+ (γ + 2) x sindx.xДля 0 6 x1 6 x2 6 π1 1 γ+2x sin6− xγ+2sin1 2x2x1 Zx2Zx2 1γ+1γ dx + (γ + 2) x sin 1 dx 6x cosx x x1x1Zx2xγ dx + (γ + 2)x1Zx2xγ+1 dx 6 (1 + π(γ + 2))x1xZ2 −x1(x1 + t)γ dt 6 (1 + π(γ + 2))(1 + π(γ + 2))0Zx2xγ dx =x1xZ2 −x1tγ dt 60(1 + π(γ + 2))(x2 − x1 )γ+1 .γ+1Выберем γ := − 34 , α := γ + 1 = 14 :1 1 (1 + π( 5 ))5 51144x 4 sin64 = (4 + 5π)|x − x | 4 .sin|x−x|−x2121211x2x1 46604.10ЗадачаИсследовать на непрерывность по Гёльдеру функцию(x ln x, x ∈ (0, 1],f (x) =0,x = 0.Решение.Для произвольно выбранных x1 , x2 ∈ [0, 1], 0 6 x1 6 x2 6 1,рассмотрим равенство:Zx2Zx2f (x2 ) − f (x1 ) = x2 ln x2 − x1 ln x1 = (1 + ln z) dz = x2 − x1 + ln z dz,x1x1xxZ2 −x1Z 2 Zx2Zx2dz11γ ln z dz 6z|lnz|dz6C=Cdτ 6γγγγγzz(x+τ)1x1x1x10Cγ(x2 − x1 )1−γ ,1−γгде γ ∈ (0, 1), Cγ = sup z γ | ln z|.

Таким образом, для любых x1 , x2 ∈ [0, 1],z∈(0,1)α ∈ (0, 1):C1−α|x2 − x1 |α .|f (x2 ) − f (x1 )| 6 max 1,αДомашняя работа4.11Задача 90, §22, [4]Доказать, что если f – 2π-периодическая, абсолютно интегрируемая на периоде функция, а в точке x ∈ R существуют предельные значения f (x + 0),f (x − 0) и односторонние производные f+0 (x), f−0 (x), то ряд Фурье функцииf сходится в этой точке к значению4.12f (x+0)+f (x−0).2Задача 91, §22 [4]Функция f , определенная в некоторой окрестности U точки x, называетсяудовлетворяющей условию Гёльдера степени α > 0 в этой точке, если существуют односторонние пределы f (x + 0), f (x − 0) и так ая постоянная c > 0,661что для всех h > 0, для которых x + h ∈ U и x − h ∈ U , выполняютсянеравенства|f (x + h) − f (x + 0)| < chα ,|f (x − h) − f (x − 0)| < chα .Доказать, что если 2π-периодическая, абсолютно интегрируемая на периоде функция f удовлетворяет в точке x условию Гёльдера степени α > 0, тоее ряд Фурье сходится в этой точке и его сумма равнаf (x + 0) + f (x − 0).24.13Задача 92, §22 [4]Доказать, что если 2π-периодическая, абсолютно интегрируемая на периодефункция имеет в окрестности данной точки ограниченную производную, торяд Фурье функции сходится в этой точке к значению функции.4.14ЗадачаДоказать, что тригонометрический ряд Фурье функции f (x) =π−|x|2· sgnxимеет вид:∞X sin(kx)π − |x|· sgnx =,2kx ∈ (−π, 0) ∪ (0, π),k=1http://yotx.ru/#!1/3_e/ubW/tb@35Sam0fuX@wf7DvJ6XW9j1A@Mbe7v7BPomG3di63GIzs7W7v7B/sk2jYjQPG49bFKePxYHd/a98DhG/s7UI9QPjGzt7u9g7UA4RvXOztbl/sH@yTaNgN0AHjcQe0xXgEHezub@17gPCNvV2oBwjf2Nnb3d6BeoDwjYu93e0LqAcI3wDt7W6D9g2STTsxs7ZDuNxZ@uA8bizu7@17wHCN/Z2oR4gfGNnb3d7B@oBwjcu9na3L6AeIHwDtLe7DYJseIHxjbxfqAcI3dvZ2t3egHiB842Jvd/sC6gHCN0B7u9sgqAcI3zjb290@g3qA8I3Tvd3t0/2DfRINu7Fzyng83WI8bl1e7O7v7G@EgJsm7P/G3u6uB0iDb@ztbu/sH@yTaNiNnVPG4@kW43Hr8mJ3f2sfAw==6624.15ЗадачаДоказать, что ∀x ∈ R, ∀n ∈ N: nX sin(kx) Zπ sin udu.6k uk=10https://math.stackexchange.com/questions/211814/show-left-lvert-sum-k-nnrq=1См.

Характеристики

Список файлов семинаров