1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 62

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 62)

[6, Стр. 156]637π22n−1 ,m = n.2.8Задача. См. [6, Стр. 165]n x2Полиномы Чебышева-Эрмита Hn (x) = (−1) e−x2e(n)определены на всейчисловой прямой и для них справедлива формулаZ+∞√2e−x Hm (x)Hn (x) dx = n!2n πδmn .−∞H0 (x) = 1,H1 (x) = 2x,H2 (x) = 22 x2 − 2,H3 (x) = 23 x3 − 12x,H4 (x) = 24 x4 − 48x2 + 12,H5 (x) = 25 x5 − 160x3 + 120x,H6 (x) = 26 x6 − 480x4 + 720x2 − 120.Решение.Z+∞Z+∞ 2 (n)−x2ne Hm (x)Hn (x) dx = (−1)Hm (x) e−xdx =−∞−∞(−1)n Hm (x) e−x2Z+∞(n−1) ∞ 2 (n−1)n0Hm (x) e−xdx = − (−1)−∞−∞(−1)n+2Z+∞ 2 (n−2)00Hm (x) e−xdx = . . .−∞= (−1)2nZ+∞2(n)Hm(x)e−x dx = 0−∞(n)при m < n, поскольку в этом случае Hm (x) ≡ 0.В свою очередьZ+∞Z+∞Z+∞√222e−x Hn2 (x) dx =Hn(n) (x)e−x dx = 2n n!e−x dx = 2n n! π.−∞−∞−∞638Домашняя работа2.9ЗадачаФункция Радемахера – кусочно-постоянная периодическая функция, принимающая только два значения 1 и −1 на всей области определения.

ВведеныГансом Радемахером в 1922 году. Функция Радемахера может быть выраженаследующим образом:radn (x) = sign (sin (2n πx))Система функций Радемахераявляется ортонормированной в пространствеZ 1L2 [0, 1], поскольку:radn (x)·radm (x) dx = δmn , где δmn – символ Кронекера.0Система функций Радемахера является неполной.2.10ЗадачаДве первые функции Хаара определены так:(0)χ0 (x) = 1 11,x∈0, 2(1)χ0 (x) =0, x = 12−1, x ∈ 21 , 1Другие функции Хаара определены для всех натуральных m > 1, 1 6 k 62m :χ(k)m (x) =√2m ,x∈√− 2m , x ∈1k−1 k− 2m ,m2 1 2 k− 2 k2m , 2m0, иначе.Здесь: l 6= k, 1 6 l 6 2m .Сдвинутые многочлены Лежандра Pen (x) = Pn (2x − 1) =Z1fPfm (x)Pn (x) dx =06391δmn .2n + 11 dn ((x2 −x)n )n!dxn2.11ЗадачаРассмотрим линейно независимую систему1, x, x2 , x3 , . . .в L2 [0, 1].

Записать три первых элемента ортогональной системы.Решение.u0 = 1 = Pe0 (x),(x, u0 )u1 = x −· u0 = x −(u0 , u0 )Z1x dx = x −1 1e= P1 (x),2 20(x2 , u1 )(x2 , u0 )· u0 −· u1 =u2 = x −(u0 , u0 )(u1 , u1 )R1 21x (x − 21 ) dxZ11 1x2 − x2 dx − 0 1(x − ) = x2 − x + = Pe2 (x).R26 6(x − 12 )2 dx020Ответ.2.121, x − 12 , x2 − x + 16 .Задача. См. [6, Стр. 196]Полиномы Чебышева-Лагерра Ln (x; α) =1 −α xα+n −x (n)e )n! x e (xобладают свой-ством ортогональности на интервале (0, +∞) с весовой функцией x 7→ xα e−x ,α > −1.

Таким образом, имеемZ+∞1xα e−x Lm (x; α)Ln (x; α) dx = δmn Γ(α + n + 1).n!06403Seminar on 11.02.2019. Room 5213. Поточечная сходимость тригонометрических рядов Фурье. Равномерная сходимостьМы рассматриваем поточечную сходимость и равномерную сходимостьтригонометрических рядов Фурье. Напомним, чтоna0 XSn (f, x) =(ak cos(kx) + bk sin(kx)) x ∈ [−π, π],+2k=1ZπZπ11ak =f (y) cos(ky) dy, bk =f (y) sin(ky) dy.ππ−π−πLet f ∈ L2 (−π, π). In general case it does not follow fromlim kSn − f k2 = 0,n→∞thatlim Sn (f, x) = f (x) for ∀x ∈ [−π, π].n→∞(∗)Теорема 3.1. Теорема Карлесона.

Если f ∈ L2 (−π, π), то её ряд Фурьесходится к ней почти всюду. Это верно и если f ∈ Lp (−π, π), p > 1. Однако, существуют функции из L1 (−π, π), ряд Фурье которых расходитсяво всех точках (пример такой функции построен Андреем НиколаевичемКолмогоровым).Теорема 3.2. Пусть• f ∈ C[−π, π];3• Sn ⇒ S, −π 6 a < b 6 π.4[a,b]Таким образом, S(x) = f (x) для x ∈ [a, b].3Равенство f (−π) = f (π) может быть нарушено. Это условие можно обобщить на функции L2 [−π, π] ∩C[a, b].∞P4S(x) = a20 +(an cos(nx) + bn sin(nx)).n=1641Будем доказывать от противного. Пусть x0 ∈ (a, b), в которой S(x0 ) 6= f (x0 ).См.

5 . Учитывая f ∈ C[−π, π], S ∈ C[a, b] и Sn ∈ C(R), получим|Sn (f, x) − f (x)| > 0 ,∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ),где 0 > 0 не зависит от n. Получим противное:xZ0 +δ0 < 2δ20 6|Sn − f |2 dx 6|Sn − f |2 dx → 0, при n → ∞.−πx0 −δ3.1ZπЗадачаПоказать, чтоx=2∞X(−1)n−1n=1Решение.sin(nx),nx ∈ (−π, π).(3.1)Здесь мы используем задачу 2.4. Покажем, что ряд сходится рав-номерно на множестве [−π + δ, π − δ], δ ∈ (0, π), по признаку Дирихле.Здесь мы используем формулу(−1)n−1 sin(nx) = − sin((x + π)n).В свою очередь, ряд∞Pn=1sin(ny)nсходится равномерно на множестве[δ +m∈Z2πm, 2π(m + 1) − δ], ∀δ ∈ (0, π).

Здесь мы используем оценку: n X sin (n+1)y sin ny 11 22 sin(ky) = 66. | sin y2 | sin 2δ sin y2k=1Выберем так, что x + π ∈ [δ, 2π − δ].В силу теоремы 3.2 получим равенство (3.1).5SЕсли x0 = a или x0 = b, то мы рассматриваем полуинтервалы (a, a + δ) или (b − δ, b)6423.2Задача 2963, [2]Доказать разложение в ряд Фурье∞h 2 X sin(nh)χ(−h,h) (x) ∼ +cos(nx),π π n=1nx ∈ (−π, π), 0 < h < π.Исследовать ряд на поточечную сходимость. Найти∞Pn=1sin2 (nh)n2и∞Pn=1cos2 (nh)n2спомощью равенства Парсеваля (равенства Ляпунова).Решение.bn = 0, a0 =2hπ,an =2πRhcos(ny) dy =02 sin(nh)πn .Покажем по признаку Дирихле, что ряд Фурье сходится равномерно намножестве [−h+δ, h−δ], ∀δ ∈ (0, h). Здесь мы используем схему аналогичнуюсхеме задачи 3.1.Есть также равномерная сходимость [−π, −h − η] ∪ [h + η, π], η ∈ (0, π − h).Аналогично применяем теорему 3.2.

http://www.yotx.ru/#!1/3_e/ubW/tb@35Sam0fuX@wf7DvJ6XW9re2d/YP9kk07MbOKePxdIvxuHV5sbu/tb@1vQPd2fAA4Rsh4PbOr2CfRsBtbl1uMx62DS8bjzsXO7v7W/tb2DnRnwwOEb4SA2zu78r//jb1dqAcI37gIAbd3duV//xsXe7vbF7vbIeD@wT6Jht0AHTAed0BbjEfQwe7@1v7W9g50Z8MDhG@EgNs7u/K//429XagH4CAG3d3blf/8bF3u72xdQDxC@cRYCbu/syv/@N872drfPdrdDwP2DfRINu7EFQzAeDxiPB7vtb2zvQnQ0PEL4RAm7v7Mr//jf2dqEeIHzjIgTc3tmV//1vXOztbl9APUD4xlkIuL2zK//73zjb290@g3qA8A1ECLi9syv/@99A7O1uI3a3Q8D9g30SDbuxs3PAeISdMh5hp7v7W/tb2zvQnQ0PEL4RAm7v7Mr//jf2dqEeIHzjIgTc3tmV//1vXOztbl9APUD4xlkIuL2zK//73zjb290@g3qA8A1ECLi9syv/@99A7O1uI6AeIHzjMgTc3tmV//1vXO7tbl/uboeA@wf7JBp2Y2sHxnjc2oExHrd2YLv7W/tb2zvQnQ0PEL4RAm7v7Mr//jf2dqEeIHzjIgTc3tmV//1vXOztbl9APUD4xlkIuL2zK//73zjb290@g3qA8A1ECLi9syv/@99A7O1uI6AeIHzjMgTc3/1vXO7tbl9CPUD4xtZWCLi9syv/@9/Y2trb3d7a2t0OAfcP9kk07MbOKePxdIvxuHV5sbu/sw8EОтвет.∞h 2 X sin(nh)cos(nx),χ(−h,h) (x) = +π π n=1n643x ∈ [−π, π], x 6= ±h, 0 < h < π.Равенство Парсеваля (равенство Ляпунова) имеет вид:Замечание.1πZπ∞χ2(−h,h) (x) dx−π4 X sin2 (nh)2h 2h2= 2 + 2.=πππ n=1n2Более того,∞Xsin2 (nh)n2n=1h(π − h)=,2∞Xn=13.3∞Xcos2 (nh)n=1∞X 2n2=∞X1 − sin2 (nh)n2n=1=2sin (nh) πh(π − h) π 2 − 3πh + 3h21−=−=.n2 n=1n2626Задача 2961.a, [2]Доказать разложение функции в ряд Фурье∞Xπ2(−1)nx ∼+4cos(nx),23nn=12x ∈ [−π, π].Исследовать ряд на поточечную сходимость.

См. задачу 5.6.Решение.an =Zπ1π−πbn = 0, a0 =2π 23 ,πZsin(ny) π12y 2 cos(ny) dy = y 2y sin(ny) dy  = −−ππnn−ππZ4(−1)n2 π− 2−y cos(ny) + cos(ny) dy =.−πnπn2−πЗдесь мы используем признак Вейерштрасса на множестве [−π, π] и теорему 3.2.Ответ.∞Xπ2(−1)nx =+4cos(nx),23nn=12644x ∈ [−π, π].Замечание.Тогда равенство Парсеваля (равенство Ляпунова) имеет вид:1 2 2 1kx k2 =ππZπ−πСледовательно,∞Pn=13.41n4=∞X2π 412π 4=+ 16.x dx =459nn=14π490 .ЗадачаДоказать разложение функции в ряд Фурье∞|x|14 X cos((2n − 1)x)1−∼ + 2,π2 π n=1 (2n − 1)2x ∈ (−π, π).В силу четности функции f (x) имеем bn = 0.

В свою очередь,Rπy2(1 − |y|)dy=ππ (1 − π ) dy = 1,Решение.a0 =1πRπ−π0Zπ Zπ1|y|2an =1−cos(ny) dy = − 2 y cos(ny) dy =πππ−π0Zππ 2(1 − (−1)n )22  sin(ny) π 1.sin(ny) dy = − 2 2 cos(ny) =− 2 y· −00πnnπ nπ 2 n20The latter formula means that a2n = 0 and a2n−1 =4π 2 (2n−1)2for n > 1.Здесь мы используем признак Вейерштрасса на множестве [−π, π] и теорему 3.2.Ответ.∞|x| 14 X cos((2n − 1)x)1−= + 2,π2 π n=1 (2n − 1)2x ∈ [−π, π]http://www.yotx.ru/#!1/3_e/ubW/tb@35Sam0fuX@wf7DvJ6XW9re2d6Ag@d//xt7udgisE@iYTe2LrcYj1sHl4zHnYud3f2t/a3tHShoQ/73v7G3C5X//W9c7O1uX@5uh4DrO/sH@yQadmNn54DxCDtlPMJOd/e39re2d6CgDfnf/8beLlT@979xsbe7fQmV//1vnO3tbu@c7W6Hgwf7JBp244DxuHVxyng82N3f2t/a3oGCNuR//xt7u1D53//Gxd7u9iVU/ve/cba3u71zBpX/645/W8g9na3QZe72yHg@s7@wT6Jht0AHTAed0BbjEfQwe7@1v7Wpgn7v7G3ux0C7h/sk2jYjS0Ya3oGCNuR//xt7u1D53//Gxd7u9iVU/ve/cba3u71zBpX//W8g9na3QZdQ@d//xuXe7jZsa3cYJ9GwGzunjMfTLcbj1uXF7v7OPgI=3.5Задача 2944f (x) = π 2 − x2 в интервале (−π, π).Решение.1bn =πZπ(π 2 − x2 ) sin(nx) dx = 0,−πЛегко видеть, что1a0 =πZπ2(π 2 − x2 ) dx =π−πan =1πZπZπ2(π − x ) dx =π22π343π −= π2.330(π 2 − x2 ) cos(nx) dx = −−π2πZπx2 cos(nx) dx =02 2 sin(nx) π 2−x −0πnnZπZπ4x sin(nx) dx =x sin(nx) dx =nπ004 cos(nx) π 1−x +0nπnnZπ4(−1)n+1cos(nx) dx =.n20Следовательно,∞2 2 X 4(−1)n+1π −x ∼ π +cos(nx).23nn=122http://www.yotx.ru/#!1/3_e/ubW/tb@35Sam0fuX@wf7DvJ6XW9kPA9Z3NvfWd/YN9Eg2s7@zsh4PrO9gUUJP/739jb3T/YJ9GwG1uXW4zHrYNLxuPOxc7u/sH@Tgi4vrN9AQXJ//439nY3QfK//42dvd1t0P7BPomG3djZOWA8wk4Zj7DT3f2D/Z0QcH1n@wIKkv/9b@ztboLkf8bO3u72yAoSP73v3Gxt7t9uX@wT6JhNw4Yj1sXp4zHg939g/2dEHB9Z/sCCpL//W/s7W6C5H/Gzt7u9sgKEj@979xsbe7fbkJkv/9b4D2dre3TvcP9kk07MbOKePxdIvxuHV5sbu/sw8E646Здесь мы используем признак Вейерштрасса на множестве [−π, π] и теорему 3.2.Ответ.∞2 2 X 4(−1)n+1π −x = π +cos(nx),23nn=123.62x ∈ [−π, π].Задача 2946f (x) = sin ax в интервале (−π, π), a ∈/ Z.Решение.1bn =πZπ−πВ силу нечетности функции имеем a0 = an = 0.

В свою очередь,Zπ1sin(ax) sin(nx) dx =(cos((a − n)x) − cos((a + n)x)) dx =π01 sin((a − n)π) sin((a + n)π)2 sin(aπ) (−1)n+1 n−=· 2,πa−na+nπ(n − a2 )∞2 sin(aπ) X (−1)n+1 nsin(ax) ∼sin(nx).2 − a2 )π(nn=1Этот ряд сходится равномерно по x ∈ [−π + δ, π − δ], ∀δ ∈ (0, π), по признакуАбеля:(−1)n+1 n1sin((x + π)n)sin(nx)=−·.2(n2 − a2 )n(1 − na2 )Затем применяем теорему 3.2.Ответ.∞2 sin(aπ) X (−1)n+1 nsin(ax) =sin(nx),2 − a2 )π(nn=13.7Задача 2950f (x) = x sin x в интервале (−π, π).647x ∈ (−π, π).Решение.1bn =πZπx sin(x) sin(nx) dx = 0,−πЛегко видеть, чтоZπZππ 2 Zπ221x sin(x) dx =x sin(x) dx = − x cos x +cos(x) dx = −2,a0 =0ππππ−π1a1 =π0Zπ1x sin x cos x dx =π−π0Zππ1x sin 2x dx = − x cos 2x +02π012πZπ1cos(2x) dx = − .20Пусть n > 2:an =12πZπx (sin(x(n + 1)) − sin(x(n − 1))) dx =−π1πZπx (sin(x(n + 1)) − sin(x(n − 1))) dx =0cos(x(n − 1)) cos(x(n + 1)) πx−0n−1n+1Zπ 2(−1)n+11cos(x(n + 1)) cos(x(n − 1))+−dx =.πn+1n−1n2 − 10Получим∞X1(−1)n+1cos(nx).x sin x ∼ 1 − cos x + 22−12nn=2Здесь мы используем признак Вейерштрасса на множестве [−π, π] и теорему3.2.Ответ.∞X1(−1)n+1x sin x = 1 − cos x + 2cos(nx),2−12nn=2648x ∈ [−π, π].http://www.yotx.ru/#!1/3_e/ubW/tb@35Sam0fuX@wf7DvJ6XW9vc8QPjG3u7@wT6Jht3Z39rU353//G3u72zv7BPomG3di63GI8bh1cMh53LnZ29w/2tzblf/8be7vbO5s78r//jZ293YN9Eg27sbNzwHiEnTIeYae7@wf7W5vyv/@Nvd3tnc0d@d//xs7e7vbGzvrO5tYudEf@979xsbe7vXGxvrO5tbt/sE@iYTcOGI9bF6eMx4Pd/YP9rU353//G3u72zuaO/O9/Y2dvd3tj@9@42Nvd3rhY39nc2t3ckf/9b4D2drc3QOs7m1u7@wf7JBp2A3TAeNwBbTEeQQe7@wf7W5vy@Nvd3tnc0d@d//xs7e7vbGzvrO5tYudEf@979xsbe7vXGxvrO5tbu5I//73wDt7W5vgNZ3Nr@Ns73d7Y2z9Z3Nrd39g30SDbuxc7bDeNzZOmA87uzuH@xvbcr//jf2drd3Nnfkf/8bO3u72x8bF3u72xsX6zubW7uaO/O9/A7S3u70BWt/Z3NqF7sj//jfO9na3N87Wdza3djd35H//G6d7us7m1u7@wf7JBp2Y@eU8Xi6xXjcurzY3d/ZBwU=3.8Задача 2970f (x) = ln sin x2 .В силу четности функции имеем:Решение.bn = 0,a0 =1πZππZπ Z2 xx2x2ln sin dx =ln sindx =ln sindx+2π2π2−π2πZπ00π2ln sinx22dx =ππ2Zπxln sin22dx +π0xln cosdx =20π2πZ2πZ2ln1sin x2dx = ln1 2+2 π0Z2ln (sin x) dx =01 1ln +2 πZπ0649tln sin21dt = 2 ln .2В свою очередь,1an =πZπZπ x2xcos(nx) dx =ln sin cos(nx) dx =ln sin2π2−π0Zπcos x22 x sin(nx) π1sin(nx) dx =ln sin −0π2nnπsin x20Zππcos x212x sin(nx) 1ln sin −x sin(nx) dx = − ,0π2nnπsin 2n0посколькуsin(nx) cos( x2 ) sin((n + 21 )x) sin((n − 12 )x)=+,sin( x2 )2 sin( x2 )2 sin( x2 )nn−1sin((n − 12 )x) 1 X= +cos kx.2 sin( x2 )2sin((n + 12 )x) 1 X= +cos kx,2 sin( x2 )2k=1k=1Следовательно,f ∼ − ln 2 −∞Xcos(nx)n=1n.Этот ряд сходится равномерно при [−π, −δ] ∪ [δ, π], ∀δ ∈ (0, π).Ответ.f (x) = − ln 2 −∞Xcos(nx)n=1n,x ∈ [−π, 0) ∪ (0, π].http://www.yotx.ru/#!1/3_e/ubW/tb@35Sam0fuX@wf7DvJ6XW9jeL8I2d3f2DfRINu@Nvd39g30SDbuxBUMwHg8Yjwe7@1v7m0X4xs7upvzvf2Nvd1P@97@xs7e7vbN/sE@iYTd2dga3@zCN/Y2d2U//1v7O1uyv/@N3b2drd3NuV//xsXe7vbF/sH@yQaduOA8bh1ccp4PNjd39rf/G3u7m/K//42dvd3tnU353//Gxd7u9sWm/O9/A7S3uw3aP9gn0bAboAPG4w5oi/EIOtjd39r/G3u7m/K//42dvd3tnU353//Gxd7u9sWm/O9/A7S3uw3alP/9b5zt7W6f7R/sk2jYjZ2zHcb/W/s7W7K//43dvZ2t3c25X//Gxd7u9sXm/K//w3Q3u42aFP@979xtre7fbYp//vfON3b3T7d8be7ub8r//jZ293e2dTfnf/8bF3u72xab8738DtLe7DdqU//1vnO3tbp9tyv/@N073drdPN@V//xuIvd1txP7BPomG3dg5ZTyebjEety4vdvd39gEH650Дополнительные задачи3.9Задача 130, §22, [4]Доказать, что если последовательность {an } монотонно стремится к нулю, то∞Pряд a0 +an cos(nx)n=11) сходится на всей числовой оси, кроме, быть может, точек вида x = 2πm,m ∈ Z;2) при любом δ ∈ (0, π) сходится равномерно на отрезке [δ, 2π − δ].3.10Задача 131, §22, [4]Доказать, что если последовательность {bn } монотонно стремится к нулю, то∞Pрядbn sin(nx)n=11) сходится на всей числовой оси;2) при любом δ > 0 сходится равномерно на отрезке [δ, 2π − δ].3.11Задача 132, §22, [4]Доказать, что если последовательность {bn } убывает, то для равномерной∞Pсходимости на отрезке [0, 2π] рядаbn sin nx необходимо и достаточно, чтоn=1бы lim nbn = 0.n→∞3.12Задача 133, §22, [4]Привести пример тригонометрического ряда, который сходится равномернона отрезке [−π, π], но не сходится абсолютно во всех точках этого отрезка.3.13Задача 134, §22, [4]Доказать, что последовательностьnPk=1sin kxk651ограничена на всей числовой оси.3.14Задача 135, §22, [4]Доказать, что если последовательность {bn } убывает, а последовательность∞P{nbn } ограничена, то частичные суммы рядаbn sin nx ограничены в совоn=1купности, т.

Характеристики

Список файлов семинаров