1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 61

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

Room 405. Гильбертовы пространства. Полные и тотальные системы. Ряд ФурьеМатериал взят из [10].Гильбертово пространство есть банахово пространство (полное нормиро-ванное пространство), норма которого порождена положительно определёнpным скалярным произведением и определяется как kxk = (x, x).Правило параллелограмма. Пусть f, g ∈ H.

Тогда2222kf + gk + kf − gk = 2 kf k + kgk .628Скалярное произведение определяется как122(f, g) =kf + gk − kf − gk .4Определение. Набор элементов {uα } гильбертова пространства H называется полным в H, если замыкание линейной оболочки {uα } совпадает с H.•Определение. Полная линейно независимая система {uα } элементов пространства H называется базисом. Базис {uα } в гильбертовом пространствеH называется ортонормированным, если (uα , uβ ) = 0 при α 6= β и kuα k = 1•для всех α.Утверждение. В сепарабельном гильбертовом пространстве любая ортонормированная система элементов может быть не более чем счетной.•Утверждение.

В каждом сепарабельном гильбертовом пространстве суще•ствует счетный ортонормированный базис.Далее мы будем полагать, что H — сепарабельное гильбертово пространство.Определение. Пусть {φk } — счетная ортонормированная система в гильбертовом пространстве H, которая не обязательно является базисом.

Для∞Pпроизвольного u ∈ H обозначим: αk = (u, φk ). Рядαk φk называется ряk=1дом Фурье элемента u относительно системы {φk }. Числа αk называются•коэффициентами Фурье.Обозначим через Sm (u) (или просто Sm ) частичные суммыmPαk φk рядаk=1Фурье.0Лемма. Для каждого m ∈ N среди всех сумм Sm=mPγk φk , γk ∈ R, мини-k=10мум величины ku − Smk в H достигается на частичной сумме Sm ряда Фурье,•то есть при γk = αk .Лемма.

(Неравенство Бесселя) Для каждого u ∈ H имеет место неравенство∞Xαk2 6 kuk2 ,k=1629•где αk — коэффициенты Фурье элемента u.Теорема. Пусть {φk } — ортонормированная система в H. Для того, чтобыэта система была полной в H, необходимо и достаточно, чтобы для любогоu ∈ H выполнялось равенство Парсеваля:2kuk =∞Xαk2 ,k=1•где αk — коэффициенты Фурье элемента u.Теорема. (Теорема Рисса — Фишера) Пусть {φk } — ортонормированная, необязательно полная система в H и {γk } — произвольная последовательность∞∞PP2чисел, такая, чтоγk < ∞. Тогда существует u ∈ H, такой, что u =γk φkk=1с γk = (u, φk ) и kuk2 =∞Pk=1γk2 .•k=1Определение. Система {φk } элементов гильбертова пространства H называется тотальной, если для любого u ∈ H из того, что (u, φk ) = 0 для всех•k следует, что u = 0 в H.Теорема. Для того, чтобы система {φk } была полной в сепарабельном гильбертовом пространстве H, необходимо и достаточно, чтобы она была тоталь•ной.Если T (x) — тригонометрический полином, а P (y) — алгебраический полином, то P (T (x)) — тригонометрический полином.Теорема.

(Вейерштрасс) Пусть f : [−π, π] → R — непрерывная функцияи f (−π) = f (π). Тогда для любого ε > 0 существует тригонометрическийполином T , такой, что max |f (x) − T (x)| < ε.•x∈[−π,π]Утверждение. (Обращение теоремы Вейерштрасса) Если функция f : [−π, π] →R аппроксимируется с любой точностью тригонометрическими полиномамипо норме пространства C[−π, π], то f непрерывна и f (−π) = f (π).•Теорема. (Следствие из теоремы Вейерштрасса)Тригонометрическая система {1, cos x, sin x, .

. . , cos kx, sin kx, . . . } полнав пространстве L2 (−π, π).•6302.1ПримерПространство l2 является гильбертовым пространством. Рассмотрим полнуюортонормированную систему {φi }∞i=1 : φi = (xi,j ) = (xi,1 , xi,2 , xi,3 , . . .), xi,j =∞Pδij . Действительно, x = (x1 , x2 , x3 , . . .) =xi φi , xi = (x, φi ). Более того,i=1система {φi }∞i=1 является тотальной.2.2ЗадачаДоказать, что правило параллелограмма выполнено для H = L2 [−π, π]:Решение.Zπ|f (x) + g(x)|2 dµ +−πZπ|f (x) − g(x)|2 dµ =−πZπ2|f (x)|2 dµ + 2−πZπ|g(x)|2 dµ.−πБолее того,Zπ(f, g) =1f (x)g(x) dµ = (kf + gk22 − kf − gk22 ) =4−π14Zπ2Zπ|f (x) + g(x)| dµ −−π2|f (x) − g(x)| dµ =−πZπf (x)g(x) dµ.−π2.3ПримерВ пространстве L2 [−π, π] рассмотрим линейно независимую систему1, sin(x), cos(x), .

. . , sin(nx), cos(nx), . . .631Пусть n, m > 0:Zπ(cos(nx), cos(mx)) =cos(nx) cos(mx) dx =−π12Zπ−π 2π, n = m = 0,cos((n + m)x) + cos((n − m)x) dx =π, n = m > 0,0, иначе,Пусть n, m > 1:Zπ(sin(nx), sin(mx)) =sin(nx) sin(mx) dx =−π12Zπ(cos((n − m)x) − cos((n + m)x) dx =−ππ, n = m > 0,0, иначе,Пусть n > 1, m > 0:Zπ(sin(nx), cos(mx)) =sin(nx) cos(mx) dx =−π12Zπsin((n + m)x) + sin((n − m)x) dx = 0.−πРассмотрим ортонормированную систему1 sin(x) cos(x)sin(nx) cos(nx)√ , √ , √ ,..., √, √,...ππππ2πЭта система является базисом.Рассмотрим ряд Фурье в L2 [−π, π]:f=∞X(f, φr )φrr=1илиf = (f, φ1 )φ1 +∞X((f, φ2k )φ2k + (f, φ2k+1 )φ2k+1 )k=1632(2.1)и равенство Парсеваляkf k22∞X=(f, φr )2 ,r=1где φ1 (x) ≡√1 ,2πφ2k (x) =sin(kx)√,πφ2k+1 (x) =cos(kx)√,πk ∈ N.Введем новые коэффициентыa0 =√√ 2 (f, φ1 )π=bk =√1 (f, φ2k )πak =√1 (f, φ2k+1 )π1πRπf (y) dy,−πRπ1π−π==1πf (y) sin(ky) dy,Rπf (y) cos(ky) dy.−πТогда тригонометрический ряд Фурье и равенство Парсеваля имеют вид∞a0 Xf (x) ∼+ak cos(kx) + bk sin(kx) ,2k=1kf k22 = π!∞a20 X 2+(ak + b2k ) .2k=1Последнее равенство ещё называется равенством Ляпунова.

http://old.nsu.ru/education/funcan/node52.html2.4Задача 2940, [2]Доказать разложение в тригонометрический ряд Фурьеx∼2∞X(−1)n−1n=1sin(nx),nx ∈ (−π, π).Решение. Здесь мы полагаемan = 0,∀n > 0;Zπ1bn =y sin(ny) dy =π−ππZ1  y cos(ny) π12(−1)n−1−+cos(ny)dy=.−ππnnn−π633Тогда равенство Парсеваля имеет вид:Zπ−π∞X2π 31x dx == 4π.23nn=12В свою очередь, 12Z|x − Sn |2 dµ =lim kx − Sn k2 = lim n→+∞n→+∞[−π,π]Zπlim n→+∞ 21|x − Sn |2 dx = limn→+∞−πгде Sn (f, x) = 2nP∞X14πk2! 12= 0,k=n+1(−1)k−1 sin(kx)k . http://www.yotx.ru/#!1/3_e/ubW/tb@35Sam0fuX@k=1wf7DvJ6XW9nc8QPjG3u7@wT6Jht3YOWU8nm4xHrcuL3b3D/Z3PED4xt7u5o4HCN/Y2dvd3tk2CfRsBtbl1uMx62DS8bjzsXO7v7B/o4HCN/Y293c8QDhGzt7u9s70B0PEL5xsbe7fbF/sE@iYTcOGI9bF6eMx4Pd/YP9HQ8QvrG3u7njAcI3dvZ2t3egOx4gfONib3f7YnPHA4RvgPZ2skGnYDdMB43AFtMR5BB7v7B/s7HiB8Y293c8cDhG/s7O1u70B3PED4xsXe7vbF5o4HCN8A7ets/2CfRMNubMEQjMcDxuPB7v7B/o4HCN/Y293c8QDhGzt7u9s70B0PEL5xsbe7fbG54wHCN0wf7JBp2YwuGYDweMB4PdvcP9nc8QPjG3u7mjgcI39jZ293ege54gPCNi73d7YvNHQ8QvgHa2he54gPANxN7uNmL/YJ9Ew27s7BwwHmGnjEfY6e7@wf6OBwjf2Nvd3PEA4Rs7e7vbO9AdDxC@cbG3u32xueMBwjdAe7vbIOiOBwjfONvb3T7b3PEA4Rune7vbp9AdDxC@gdjb3UZs7niA8A3Ys7@3v7B/skGnbjFMF4PEUwHhE7u/tb@wA=Полиномы Лежандраhttps://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%8B_%D0%9B%D0%B5%D0%B6%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%B0Pn (x) =1 dn ((x2 −1)n )dxn2n n!ортогональны на отрезке [−1, 1], т.е.Z1Pm (x)Pn (x) dx =−16342δmn.2n + 1Доказать это утверждение 1 .

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%8B_%D0%9B%D0%B5%D0%B6%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%B0#/media/File:%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%8B_%D0%9B%D0%B5%D0%B6%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%B0.gifP0 (x) = 1;P1 (x) = x;P2 (x) = 12 (3x2 − 1);P3 (x) = 12 (5x3 − 3x);P4 (x) = 81 (35x4 − 30x2 + 3);P5 (x) = 81 (63x5 − 70x3 + 15x);P6 (x) =Решение.Z11616 (231x− 315x4 + 105x2 − 5).Пусть m < n:xm Pn (x) dx =Z112n n!−1xm ((x2 − 1)n )(n) dx =−1Z111 m 2mx ((x − 1)n )(n−1) − nxm−1 ((x2 − 1)n )(n−1) dx =n−12 n!2 n!−1(−1)m m!2n n!Z12n (n−m)((x − 1) )1(−1)m m! 2n (n−m−1) ((x − 1) )dx = = 0.−12n n!−1Следовательно, Pn ортогонален любому многочлену со степенью меньше n.R1И от сюда следует, что Pm (x)Pn (x) dx = 0 при m 6= n. Отметим, что коэф−11См.

[6, Стр. 120].635фициент при старшем члене многочлена Pn (x) равенkPn k2 =Z1(2n)!·Pn2 (x) dx =(n!)2 2n−1Z1xn Pn (x) dx =−1(2n)!·(n!)3 22nZ1Z1(−1)n (2n)!xn ((x2 − 1)n )(n) dx =·(n!)2 22n−1(2n)!·2(n!)2 22n(x2 − 1)n dx =−1π2Z02.5(2n)!(n!) :1(2n)!·B,n + 1 =cos2n+1 ϕ dϕ =(n!)2 22n2(2n)! Γ 21 Γ(n + 1)21·.==(n!)2 22n2n + 1n + 12Γ n + 32ЗадачаРассмотрим линейно независимую систему1, x, x2 , x3 , .

. .в L2 [−1, 1]. Записать три первых элемента ортогональной системы.Решение.u0 = 1 = P0 (x),R1x dx(x, u0 )−1u1 = x −· u0 = x −= x = P1 (x),(u0 , u0 )2R12u2 = x2 −2R12x dx(x , u0 )(x , u1 )−1· u0 −· u1 = x2 −(u0 , u0 )(u1 , u1 )2−1R1−−1Ответ.1, x, x2 − 13 .636x3 dxx2 dx1 2·x = x2 − = P2 (x).3 32.6ПримерЕсли функции f (x) интегрируема на сегменте [−1, 1], то можно определитьее коэффициенты Фурье по многочленам Лежандра2Z1an =f (t)P̂n (t) dt.−1Таким образом, получаем ряд Фурье-Лежандра∞Xan P̂n (x).n=0∞X1√=Pn (x)tn .21 − 2xt + tn=02.7ЗадачаПолиномы Чебышева Tn (x) =(−1, 1) с весовой функцией xZ1−1Решение.Z1−1212n−1 cos(n arccos x)1, т.е.7→ √1−x2Tm (x)Tn (x)πδmn√dx = 2n−1 .21 − x2Рассмотрим замену arccos x = t,Tm (x)Tn (x)√dx =1 − x2ортогональны на интервале12m+n−2122n−2··RπRπx −1 1ϕπ 0,√−dx1−x2= dϕ,cos(mϕ) cos(nϕ) dϕ = 0, m 6= n,0cos2 (nϕ) dϕ =0См.

Характеристики

Список файлов семинаров