1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Таким образом,x−yv = √2 ,ZZ| cos(x + y)|dxdy =(x2 + y 2 )px+y>1Z+∞Z+∞√| cos( 2u)|du−∞√12Z+∞√12dv=(u2 + v 2 )p√Z+∞n2 d uvvo| cos( 2u)|du p = t = uv 2u2p−11+u0Z+∞√Z+∞| cos( 2u)|2 dtdu.u2p−1(1 + t2 )p√120Получим условия 2p − 1 > 1 и 2p > 1.Ответ. p > 1.26.4Пример из [14], стр. 122Вычислим или установим расходимость интегралаZZZdxdydz.(x2 + y 2 )(x2 + z 2 )(y 2 + z 2 )x2 +y 2 <z 2 ,z>0Решение. Рассмотрим область G = {(x, y, z) : z > 0, 0 < x2 + y 2 < z 2 }.В цилиндрической системе координат получим область U = {(ϕ, z, r) : ϕ ∈[0, 2π), z ∈ (0, +∞), r ∈ (0, z)}.
Таким образом,ZZZdxdydz=(x2 + y 2 )(x2 + z 2 )(y 2 + z 2 )GZZZU+∞ZZ2πdϕ0r dϕdzdr=r2 (r2 cos2 ϕ + z 2 )(r2 sin2 ϕ + z 2 )Zzdz0Ответ. Интеграл расходиться.5940dr.r(r2 cos2 ϕ + z 2 )(r2 sin2 ϕ + z 2 )26.5Пример из [14], стр. 126Вычислим или установим расходимость интегралаZZZ2 22(sin x)e−x (y +z ) dxdydz.x>0,y>0,z>0 x = x,Решение. Рассмотрим цилиндрическую систему координатy = r cos ϕ,z = r sin ϕ.Запишем абсолютный интеграл и сделаем в нем замену:πZZZ2| sin x|e−x22(y +z )Z2dxdydz =x>0,y>0,z>0Z+∞Z+∞2 2dϕ| sin x| dxe−x r r dr =000π4Z+∞| sin x|dx.x20Дома26.6Задача 200, §8, [5]1) Исследовать на сходимость интегралZ+∞ Z+∞sin(x2 + y 2 ) dxdy;002) доказать, что сходятся повторные интегралыZ+∞ Z+∞Z+∞ Z+∞dxsin(x2 + y 2 ) dy иdysin(x2 + y 2 ) dx0000и имеют одинаковое значение; найти это значение;Ra Rb3) доказать, что существует предел a→+∞limsin(x2 + y 2 ) dxdy, найти этот преb→+∞0 0дел и сравнить его со значением интегралов из 2);RR4) найти предел limsin(x2 + y 2 ) dxdy, где Gn = {x2 + y 2 < 2πn, x > 0, y >n→∞ Gn0}, и сравнить его с пределом из 3).59527Seminar n.
27. Date 06.12.2018. Занятие будет в терминальном классе 310 в главном корпусе НГУ. Контрольная работа по темам занятий 16–26Подготовка к контрольной работе.1. Решить задачу 20.9.2. Решить задачу 22.15.3. Вычислить тремя способами интеграл+∞R +∞R +∞Re−(x2+y 2 +z 2 )dxdydz. См.−∞ −∞ −∞задачу 25.8.(a) С помощью последовательности множеств {Gk }k∈N , исчерпывающеймножеств R3 , где Gk = {(x, y, z) : |x| < k, |y| < k, |z| < k}.(b) С помощью последовательности множеств {Gk }k∈N , исчерпывающеймножество R3 \{(x, y, z) : x2 + y 2 = 0, z ∈ R}, где Gk = {(x, y, z) :0 < x2 + y 2 < k 2 , |z| < k}.(c) С помощью последовательности множеств {Gk }k∈N , исчерпывающеймножество R3 \{(0, 0, 0)}, где Gk = {(x, y, z) : 0 < x2 + y 2 + z 2 < k 2 }.4.
Решить задачу 26.6.Контрольная работа.1. Решить задачу 20.10:RRRИнтегралf (x, y, z) dxdydz записать в виде повторного G или суммыGповторных с указанным порядком (слева направо) и указать пределыинтегрирования, еслиG = {(x, y, z) : x > 0, z > 0, x2 + y 2 6 a2 , y 2 + z 2 6 a2 };порядок (x, z, y).5962.
Решить задачу 21.8:Перейти к сферическим координатам в интегралеZZZpf ( x2 + y 2 + z 2 ) dxdydz,Vгде область V ограничена поверхностями z = x2 +y 2 , x = y, x = 1, y = 0,23z = 0.3. Решить задачу 24.13:Вычислить несобственный интегралRRln(sin(x − y)) dxdy, где областьΩΩ ограничена прямыми y = 0, y = x, x = π.244. Дополнительная задача. [5], §8.
173. Пусть функция f (t) непрерывна на[0, +∞),∆n (a) = {x1 > 0, . . . , xn > 0, x1 + . . . + xn 6 a}.Доказать, чтоZZ···1f (x1 + . . . + xn ) dx1 . . . dxn =(n − 1)!Zaf (t)tn−1 dt.0∆n (a)25Решение. Сделаем замену t = x1 + . . . + xn , x1 = x1 , . . . , xn−1 = xn−1 ,23Подсказка: порядок dϕdψdr.24Подсказки: Если воспользоваться заменой u = x − y и v = y, то получится интегралu) du. Несложно показать, чтоинтеграл I =RπRπ0ln(sin(u))(π − u) du =Rπ0ln(sin(u))u du =π2RπRπln(sin(u))(π −0ln(sin(u)) du.
В свою очередь,0ln(sin(u)) du удовлетворяет уравнению I = π ln 2 + 2I. Нужно пояснить эти рассуждения.0Здесь понадобятся, в том числе, формулы приведения.RR25Эта задача имеет отношение к задачам 23.9 и 23.11. Здесь нужно показать, что ··· dx1 . . . dxn−1 =∆n−1 (η)η n−1(n−1)! .597|J| = 1,ZZaZ···f (x1 + . . . + xn ) dx1 . . .
dxn =ZZatn−1 f (t) dt0ZZ······f (t) dt0∆n (a)dξ1 . . . dξn−1Zdx1 . . . dxn−1 =∆n−1 (t)1=(n − 1)!Zatn−1 f (t) dt.0∆n−1 (1)Здесь мы воспользовались формулойZZ1Z···dx1 . . . dxn =Z1(1−xn )n−1 dxn028dxn0∆n (1)ZZZ···∆n−1 (1−xn )Z···dx1 . . . dxn−1 =dξ1 . . . dξn−11=(n − 1)!Z1(1−xn )n−1 dxn =1.n!0∆n−1 (1)Seminar n. 28. Date 10.12.2018. Дополнительные вопросы по контрольной работеДополнительные задачи для закрепления материала26.Вариант A.1. Задача §8. 109.
2). Вычислить интеграл, перейдя к полярным координатам:ZZ|xy| dxdy,D = {(x, y) ∈ R2 | (x2 + y 2 )2 < x2 − y 2 , x > 0}.D2. Задача §8. 222. Вычислить несобственный интеграл:ZZdxdy, D = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ (1, +∞), y ∈ (x, x + 1)}.p(x + y)D26Задачи из Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. T3.
(ФИЗМАТЛИТ, 2003)5983. Задача §8. 134. 7). a). Записать интегралRRRf (x, y, z)dxdydz в виде по-Gвторного или суммы повторных с указанным порядком:ZZZdx dy . . . dz, G = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 +y 2 +z 2 < 2z, x2 +y 2 > z 2 }.Подсказка. При фиксированном x ∈ (−1, 1) мы строим сечение в плоско√√сти Oyz по точкам A(x, − 1 − x2 , 1), B(x, 1 − x2 , 1), C(x, 0, |x|), D(x, 0, 1−√1 − x2 ). При фиксированном x, точки A, C, B лежат на гиперболеz 2 − y 2 = x2 , которая составляет верхнюю часть границы сечения. Нижняя граница сечения состоит из точекp√√(x, y, 1 − 1 − x2 − y 2 ), y ∈ (− 1 − x2 , 1 − x2 ).RRR4.
Задача §8. 143. 2). В интегралеf (x, y, z)dxdydz перейти к сферичеGским координатам и записать его в виде повторного:ZZZdϕ dψ . . . dr, G = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 +y 2 +z 2 < R2 , y > 0, z > 0, x+y >Подсказка. Область в сфер.
с.к.: r ∈ (0, 1), ϕ ∈ (0, 43 π), ψ ∈ (0, 12 π).5. Задача §8. 249. 3). Исследовать на сходимость интеграл:ZZZdxdydz, G = {(x, y, z) ∈ R3 | |x| < 1, |y| < 1, |z| < 1, x 6= y+z}.p|x − y − z|GВариант Б.1. Задача §8. 103. 4). Перейдя к полярным координатам, свести интеграл коднократному:ZZyf ( ) dxdy,xDD – множество, ограниченное петлей декартова листа x3 + y 3 = 3xy.2. Задача §8.
224. (Демидович 4174). Вычислить несобственный интеграл:ZZe−(x+y) dxdy, D = {(x, y) ∈ R2 | y ∈ (0, +∞), x ∈ (0, y)}.D5993. Задача §8. 134. 8). б). Записать интегралRRRf (x, y, z)dxdydz в виде по-Gвторного или суммы повторных с указанным порядком:ZZZdy dz . . . dx, G = {(x, y, z) ∈ R3 | z 2 +y 2 < x2 , x2 +y 2 < 1, x > 0}.Подсказка. При фиксированном y ∈ (− √12 , √12 ) мы строим сечение в плосpppкости Oxz по точкам A(|y|, y, 0), D( 1 − y 2 , y, 0), B( 1 − y 2 , y, 1 − 2y 2 ),pp2B( 1 − y , y, − 1 − 2y 2 ). При фиксированном y, точки A, B, C лежатна гиперболе x2 − z 2 = y 2 .4.
Задача §8. 143. 3). В интегралеRRRf (x, y, z)dxdydz перейти к сфериче-Gским координатам и записать его в виде повторного:G = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 < R2 , x2 + y 2 > 3z 2 }.Подсказка. Область в сфер. с.к.: r ∈ (0, 1), ϕ ∈ (0, 2π), ψ ∈ (− π6 , π6 ).5. Задача §8. 249. 4). Исследовать на сходимость интеграл:ZZZZdxdydzdt,|t2 − x2 − y 2 − z 2 |pGG = {(x, y, z, t) ∈ R4 |29px2 + y 2 + z 2 < t < T < +∞}.Seminar n. 29.
Date 13.12.2018. Коллоквиум1. Функциональные последовательности и ряды(a) Функциональные последовательности. Поточечная и равномернаясходимость последовательности функций. Критерий Коши равномерной сходимости. Непрерывность равномерного предела последовательности непрерывных функций. Перестановка пределов двойнойчисловой последовательности. Теорема Дини о равномерной сходимости монотонной последовательности непрерывных функций, определенных на компакте. Предельный переход под знаком интегралаРимана. Предельный переход под знаком производной.600(b) Функциональные ряды. Поточечная и равномерная сходимость функциональных рядов.
Критерий Коши равномерной сходимости ряда.Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывныхфункций. Критерий Дини равномерной сходимости функционального ряда. Интегрирование и дифференцирование функциональныхрядов. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов.(c) Степенные ряды.
Равномерная и абсолютная сходимость степенныхрядов на замкнутом множестве, лежащем в круге сходимости. Непрерывность суммы степенного ряда в круге сходимости. Теорема одифференцировании степенного ряда.(d) Методы суммирования расходящихся рядов. Метод Чезаро, его линейность и регулярность. Теорема Абеля о равномерной сходимостистепенного ряда. Метод Абеля - Пуассона, его линейность и регулярность.2. Интегралы, зависящие от параметра(a) Собственные интегралы, зависящие от параметра.
Непрерывностьпо параметру интеграла от непрерывной функции. Теоремы о дифференцировании интеграла по параметру. Теорема об интегрировании интеграла по параметру (о перестановке интегралов). Примерывычисления интегралов с помощью интегрирования и дифференцирования интегралов, зависящих от параметра. Теорема Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций полиномами.(b) Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Понятие равномерно сходящегося несобственного интеграла, зависящего от параметра. Критерий Коши равномерной сходимости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
