1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости несобственногоинтеграла. Теорема о предельном переходе под знаком несобственного интеграла. Теоремы о дифференцировании и интегрированиинесобственных интегралов по параметру. Гамма- и бета-функции Эй601лера и их основные свойства.3.
Мера и интеграл Лебега в Rn(a) Системы множеств. Кольцо множеств и его простейшие свойства.Лемма о пересечении колец. Кольцо, порожденное набором множеств.Полукольцо множеств. Теорема о структуре множеств из кольца, порожденного полукольцом. Понятия алгебры, σ-кольца и σ-алгебрымножеств.(b) Лебеговы меры. Функция множества. Понятие меры на полукольце.Теорема о продолжении меры с полукольца на порожденное им кольцо. Теорема о монотонности и полуаддитивности меры, заданной накольце множеств.
Понятие счетно-аддитивной меры на полукольце.Теорема о счетной аддитивности продолжения меры с полукольцана порожденное им кольцо. Теорема о монотонности и счетной полуаддитивности σ-аддитивной меры, определенной на кольце.(c) Продолжение меры по Лебегу. Внешняя мера. Теорема о счетнойполуаддитивности внешней меры. Понятие измеримого множества.Лебегова мера.
Теорема о том, что измеримые множества образуютσ-алгебру. Теорема о счетной аддитивности лебеговой меры. Множества меры нуль и их измеримость. Теорема о непрерывности меры.(d) n-мерная мера Лебега. Применение конструкции Лебега к полукольцу параллелепипедов в Rn .
Понятие σ-конечной меры в Rn . Борелевская σ-алгебра. Теорема об измеримости борелевских множеств.Пример неизмеримого множества. Инвариантность меры Лебега относительно сдвигов.(e) Измеримые функции. Понятие измеримой функции. Теорема об измеримости композиции функций. Измеримость суммы, произведения и частного измеримых функций. Понятие борелевской функции.Лемма об измеримости поточечного предела последовательности измеримых функций. Сходимость почти всюду.
Понятие эквивалентных функций. Теорема об измеримости предела сходящейся почти602всюду последовательности измеримых функций. Теорема Егорова.(f) Интеграл Лебега. Понятие простой функции. Интегрируемые (суммируемые) простые функции и их свойства. Теорема об измеримой функции как равномерном пределе последовательности простых функций. Определение интегрируемой (суммируемой) функции и обоснование его корректности. Интеграл Лебега и его свойства.Теорема об аддитивности интеграла Лебега. Неравенство Чебышева.Теорема об абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
ТеоремаЛебега о предельном переходе под знаком интеграла. Теорема Леви.Теорема Фату. Интегрируемость по Лебегу функции, интегрируемойпо Риману. Теорема Фубини. Лемма о мере образа множества приотображении. Замена переменных в интеграле Лебега.(g) Пространства интегрируемых функций. Нормированные линейныепространства Lp .
Неравенство Юнга. Вложения пространств другв друга. Неравенство Гёльдера. Неравенство Минковского. Понятиефундаментальной последовательности. Определение полного нормированного (банахова) пространства. Полнота пространств Lp . Понятие сепарабельного пространства. Примеры сепарабельных и несепарабельных пространств. Плотность пространства непрерывных функций в Lp , p ∈ [1, +∞).29.1[11], 7.51Если {Ai } – последовательность измеримых множеств таких, что Ai ⊂ Ai ⊂∞S... и A =Ai .i=1Доказать, чтоµ(A) = lim µ(Ai ).i→∞Решение. Если µ(An ) = +∞ при некотором n, то утверждениеверно.
Предj−1Sположим, что µ(An ) < ∞ для всех n. Пусть B1 = A1 , Bj = Aj \Ai приi=1603i = 2, 3, . . .. Тогда все Bj из M:A=∞GBj ,An =j=1Тогдаµ(A) =∞X29.2Bj .j=1µ(Bj ) = limn→∞j=1nGnXµ(Bj ) = lim µ(An ).j=1n→∞[11], 7.52Если {Ai } – последовательность измеримых множеств таких, что A1 ⊃ A2 ⊃∞T. . ., µ(A1 ) < ∞ и A =Ai .i=1Доказать, чтоµ(A) = lim µ(Ai ).i→∞Решение. Рассмотрим последовательность C1 = A1 , Ci = A1 \Ai .
Тогда Ci ⊂∞∞SSCi = A1 \A, A ⊂ A1 . Следовательно, A = A1 \ Ci , A ∈ M.Ci+1 ,i=1i=1µ∞[!Ci= lim µ(Ck ),k→∞i=1µ(A1 \A) = lim µ(A1 \Ak ).k→∞29.3[11], 7.53Построить такую последовательность {Ai } множеств из M, что A1 ⊃ A2 ⊃∞T. . . и для множества A =Ai выполнено неравенствоi=1µ(A) 6= lim µ(Ai ).i→∞Решение.
Пусть Ai = [i, +∞), i ∈ N. Тогда A1 ⊃ A2 ⊃ . . ., µ(Ai ) = +∞, но!∞\µAi = µ(∅) = 0.i=160429.4См. [19], Канторово множествоРассмотрим оператор f , который действует на любой отрезок [a, b] и изымает 1b−aодну треть a + b−a,b−.ЕслиA=[0,1],тоA=f(A)=0, 3 ∪(0)(1)(0)332 3 , 1 , . .
., A(k+1) ⊂ A(k) ,A :=∞\A(k) =∞\f k (A(0) ).k=1k=1Это множество меры нульµ(A) = µ∞\!A(k)k=129.5 k2= lim µ(A(k) ) = lim= 0.k→∞k→∞ 3[19], Кривая КохаОператор f действует на сегмент [a, b] на плоскости R2 : он удаляет одну треть(a +b−a3 ,b−b−a3 )и заменяет на две стороны равностороннего треугольника,расположенного слева от сегмента.29.6[19], Треугольник СерпинскогоTake an equilateral triangle A(0) with side length 1. At the k-th step we arriveat a compact set A(k) consisting of 3k equilateral triangles of side length 21k .√kThe total area of these triangles is 43 · 43 . Taking the intersection of all sets∞TA(k) of two-dimensional Lebesgue measureA(k) , we obtain a compact set A =k=1√klim 43 · 34 = 0.k→∞29.7[19], Ковер СерпинскогоAgain let A(0) be the unit square and let n ∈ N be odd and greater than 2.
Theset A(1) is obtained by removing from A(0) the central square of side length n1 . Toobtain A(2) , in each of the remaining n2 − 1 small squares of side lengththe central square of side lengthconstruct A(k)1n21ndeleteand proceed in the same way by induction to∞Tfor all k ∈ N. The limiting set A =A(k) (especially in the casek=1605n = 3 often called the Sierpinski carpet) is self-similar, and the open unit squarehelps to satisfy the open set condition.
The set A has two-dimensional Lebesguemeasureµ(A) = lim µ(A(k) ) = limk→∞29.8k→∞n2 − 1n2k= 0.[19], Губка МенгераWith every one of these we proceed as before, only reduced by a similarity factorT13 , and so on. In the limit we obtain a set A =A(k) , called the Menger spongek=1[Menger, 1926]µ(A) = lim µ(A(k) ) = limk→∞30k→∞2027k= 0.Seminar n. 30.
Date 17.12.2018. Дополнительные задачи и теоретические вопросы на повышение оценкиза семестрПусть на множестве ∈ M определена числовая функция y = f (x), x ∈ A,т. е. f отображает A в R. Функция f называется измеримой по Лебегу или,µ-измеримой, если для произвольного числа c ∈ R ее лебеговы множества{x ∈ A : f (x) < c}, {x ∈ A : f (x) 6 c}, {x ∈ A : f (x) > c} и {x ∈ A :f (x) > c} являются µ-измеримыми, т.
е. принадлежат σ-алгебре M. Можнопоказать, что измеримость одного из лебеговых множеств для каждого числа ∈ R влечет измеримость остальных лебеговых множеств (см. пример 1).Таким образом, для измеримости функции y = f (x), x ∈ A, необходимо идостаточно, чтобы одно из лебеговых множеств этой функции при каждомc ∈ R было µ-измеримым.30.1[1], p. 79, Задача 1.Пусть (X, M, µ) – измеримое пространство. Доказать, что измеримость одного из лебеговых множеств функции y = f (x), x ∈ A (A ∈ M) для каждого606числа c ∈ R влечет измеримость всех остальных лебеговых множеств функции f . Доказать также, что функция y = f (x), x ∈ A, измерима тогда итолько тогда, когда для произвольного борелевого множества B ⊂ R множество f −1 (B) = {x ∈ A : f (x) ∈ B} измеримо.Решение. Допустим, что для каждого c ∈ R лебегово множество, например, вида {x ∈ A : f (x) < c} измеримо.
Покажем измеримость остальных лебеговых множеств функции f . Рассмотрим вначале множество вида{x ∈ A : f (x) > c}. Очевидно, что{x ∈ A : f (x) > c} = A\{x ∈ A : f (x) < c}.Поэтому исследуемое лебегово множество измеримо как разность двух измеримых. Теперь рассмотрим лебегово множество {x ∈ A : f (x) 6 c}. Очевидно, неравенство f (x) 6 c, рассматриваемое для x ∈ A. равносильно совокупности неравенств f (x) < c + n1 , n ∈ N, также рассматриваемых на множествеA. Тогда, используя теоретико-множественную операцию пересечения, получим{x ∈ A : f (x) 6 c} =∞\1{x ∈ A : f (x) < c + }.nn=1Отсюда следует, что множество {x ∈ A : f (x) 6 c} измеримо как пересечениесчетного числа измеримых множеств.
Наконец, поскольку {x ∈ A : f (x) >c} = A\{x ∈ A : f (x) 6 c}, лебегово множество вида {x ∈ A : f (x) > c}также измеримо.Докажем, что измеримость функции y = f (x), x ∈ A, на множестве Aравносильна измеримости множеств вида {x ∈ A : f (x) ∈ B} = f −1 (B)для каждого борелевого множества B числовой оси R. Поскольку множества(−∞, c), (−∞, c], (c, +∞) и [c, +∞), где c ∈ R, борелевы, то из измеримости всех множеств вида f −1 (B), B ∈ B(R), следует измеримость лебеговыхмножеств функции f . Поэтому функция f измерима на A.Допустим далее, что функция f измерима на A. Докажем измеримостьвсех множеств вида f −1 (B), где B ∈ B(R).
Если B = G – открытое множествоSчисловой оси R, то его можно представить в виде объединения G = (αk , βk )k607не более чем счетного числа его составляющих интервалов. Поэтому[[f −1 (αk , βk ) = {x ∈ A : αk < f (x) < βk }.f −1 (G) =kkПоскольку множества {x ∈ A : αk < f (x) < βk } представляются в видеразностей лебеговых множеств {x ∈ A : f (x) < βk }\{x ∈ A : f (x) 6 αk }функции f , то f −1 (G) измеримо как объединение не более чем счетного числа измеримых множеств. Пусть теперь борелево множество B = F являетсязамкнутым множеством числовой оси R.
Тогда F = R\G, где G = R\F –открытое множество. Поэтому множество f −1 (F ) = f −1 (R\G) = A\f −1 (G)измеримо как разность измеримых множеств A и f −1 (G). Если борелево мно∞Sжество B является объединением B =Bk счетного числа открытых илиk=1замкнутых множеств Bk , то из равенства fмеримость f −1 (B). Аналогично, если B =или замкнуто, то множество f−1(B) =∞T−1(B) =∞T∞Sf −1 (Bk ) следует из-k=1Bk , где каждое Bk открытоk=1f −1 (Bk ) измеримо. Следовательно,k=1согласно определению класса борелевых множеств B(R), для произвольногоB ∈ B(R) множество f −1 (B) является измеримым.30.2Канторова лестницаВ точках 0 и 1 значение функции принимается равным соответственно 0 и 1.Далее интервал (0, 1) разбивается на три равные части 0, 31 , 31 , 32 и 23 , 1 .На среднем сегменте полагаем c(x) = 21 . Оставшиеся два сегмента снова разбиваются на три равные части каждый, и на средних сегментах F (x) полагается равной14и 34 .
Каждый из оставшихся сегментов снова делится на тричасти, и на внутренних сегментах c(x) определяется как постоянная, равнаясреднему арифметическому между соседними, уже определенными значениями c(x). На остальных точках единичного отрезка определяется по непрерывности. Полученная функция называется канторовой лестницей.Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но такое может не быть борелевским.
Рассмотрим608функцию f (x) = 12 (x + c(x)) на отрезке [0, 1], где c(x)–канторова лестница.Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция f −1 . Мера образа канторова множества ∆равна 12 , а значит, мера образа его дополнения тоже равна 12 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
