1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 64
Текст из файла (страница 64)
задачи 3.13, 3.14. Рассмотрим Sn (f, x) =Решение.nPk=1sin(kx)kтолько наотрезке [0, π].Найдем стационарные точки Sn (f, x):Sn0 (f, x)=nXk=1sin nxcos (n+1)x1 sin(x(n + 12 ))22=− += 0.cos(kx) =sin x222 sin x2Первая положительная стационарная точка x =|Sn (f, x)| 6nXsink=15kπn+1kπn+1 : Zπn−1Xsin uπ sin kπn<·<du.kπnunk=10Seminar on 18.02.2019.
Room 5213. Обобщения разложения в тригонометрический ряд ФурьеТригонометрический ряд Фурье в L2 [0, 2π]В системе (2.1) сделаем замену x = t − π, которая переводит отрезок [0, 2π]в отрезок [−π, π]. Поскольку,cos(nx) = (−1)n cos(nt),то системаsin(nx) = (−1)n sin(nt),1 sin t cos t sin 2t cos 2t√ , √ , √ , √ , √ ,...ππππ2π663(5.1)будет ортонормирована в пространстве L2 [0, 2π]. Ряд Фурье функции f (t)может быть оставлен в его прежней форме в виде тригонометрического ряда Фурье. При указанных условиях коэффициенты ряда Фурье an , bn будутвычисляться по аналогичному с формулами Эйлера–Фурье правилу:an =1πZ2πf (y) cos(ny) dy; (n > 0);bn =1π0Z2πf (y) sin(ny) dy; (n > 1)0Тригонометрический ряд Фурье в L2 [0, π]На отрезке [0, π], где норма в пространстве L1 [0, π] и скалярное произведениев пространстве L2 [0, π] определяются выражениямиZπkf k =Zπ|f (x)| dx и (f, g) =0f (x)g(x) dx0соответственно, можно построить несколько ортонормированных систем.Первая из них возникает после замены переменной t = 2x, которая переводит промежуток [0, π] в отрезок [0, 2π].
В результате этого система функций(5.1) приводится к виду()rr122√ ,cos(2nx),sin(2nx), (n > 1) .πππ(5.2)Вторая ортонормированная в пространстве L2 [0, π] система возникает изследующих соображений. Любую заданную первоначально на [0, π] функциюf (x) можно продолжить четным образом на весь отрезок [−π, π]. В силучетности продолженной функции, ее ряд Фурье на [−π, π] по системе (2.1)будет содержать только косинусы кратных дуг. Поэтому ортонормированнойв L2 [0, π] будет система функций)(r21√ ,cos(nx), (n > 1) .ππТогда ряд Фурье имеем вид∞a0 Xf (x) ∼+an cos(nx),2n=1664(5.3)и его коэффициенты an будут определяться по правилу2an =πZπf (y) cos(ny) dy,(n > 0).0В свою очередь, любую заданную первоначально на [0, π] функцию f (x)можно продолжить нечетным образом на весь отрезок [−π, π].
Получим третью ортонормированную систему в L2 [0, π].(r)2sin(nx), (n > 1) .πВ этом случае, ряд Фурье имеем видf (x) ∼∞Xbn sin(nx),n=1и его коэффициенты bn будут определяться по правилуbn =2πZπf (y) sin(ny) dy,(n > 1).0Тригонометрический ряд Фурье в L2 [−l, l], l > 0Норму в пространстве L1 [−l, l] будем задавать выражениемZlkf k =|f (t)| dt.−lВ пространстве L2 [−l, l] скалярное произведение определим по правилуZl(f, g) =f (t)g(t) dt.−lНепосредственные вычисления показывают, что система функций1 sin(nπt/l) cos(nπt/l)√ ,√√,, (n > 1)2lll665(5.4)является ортонормированной в пространстве L2 [−l, l]. (Убедитесь в этом.)Поэтому ряд Фурье по указанной системе может быть записан в виде∞a0 X nπxnπx f (x) ∼+an cos() + bn sin()2lln=1Комплексная форма тригонометрического ряда ФурьеС помощью формул Эйлера1 nxi1 nxie + e−nxi , sin nx =e − e−nxicos nx =22iтригонометрический ряд Фурье можно записать в виде∞Xcn einx ,n=−∞гдеc 0 = a0 ,1cn = (an − bn i),21c−n = (an + bn i),2n ∈ N,откуда видно, чтоc−n = c̄n ,cn =12πZπf (x)e−inx dx,n ∈ Z.−πПолучим ряд Фурье в комплексной форме функции f∞Xf∼cn einx .n=−∞Если функция f (x), −π 6 x 6 π, принимает комплексные значения,f (x) = u(x) + v(x)i,где функции u(x) и v(x) абсолютно интегрируемы на отрезке [−π, π], то этотряд называется рядом Фурье функции f .5.1ЗадачаНа [0, 2π] проверить ортогональность, нормировать систему функций{1, sin(x), cos(x), .
. . , sin(nx), cos(nx), . . .} .666Самостоятельно.5.2ЗадачаНа промежутке [0, l] проверить ортогональность, нормировать систему функций{1, sin(πx/l), cos(πx/l), sin(2πx/l), cos(2πx/l), . . .}.Исследовать на полноту, тотальность.Самостоятельно.5.3ЗадачаНа [0, π] проверить ортогональность, нормировать, исследовать на полноту итотальность системы функцийa. {1, sin(2x), cos(2x), . . . , sin(2nx), cos(2nx), .
. .},b. {sin(nx), (n > 1)},c. {cos(nx), (n > 0)}.Самостоятельно.5.4Задача 37, §22, [4]Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (x) = | cos x|.В силу четности функции f (x) = f (−x) и свойства(f (x) = f (π − x), x ∈ (0, π),Решение.f (x) = f (−π − x), x ∈ (−π, 0),получим, что bn = 0 и a2n−1 = 0, n ∈ N:a0 =1π3πZπ| cos y| dy =−π1πZ2| cos y| dy =− π22πππZ2Z2| cos y| dy =− π26674πcos y dy =04,πa2n1=πZπ−πZπ2| cos y| cos 2ny dy =| cos y| cos 2ny dy =π0 πZ2Zπ2 cos y cos ny dy − cos y cos 2ny dy =ππ20π4πZ24(−1)n+1.cos y cos(2ny) dy =π(4n2 − 1)05.5Задача 41, §22, [4]Разложить функцию f (x) = cos 2x, 0 6 x 6 π, в ряд Фурье по синусам.В силу свойства f (x) = f (π − x), x ∈ (0, π), получим, что b2n = 0,Решение.n ∈ N.
В свою очередь,b2n−1 =2ππZπsin((2n − 1)y) cos(2y) dy =04πZ2sin((2n − 1)y) cos(2y) dy =0π22πZ(sin((2n + 1)y) + sin((2n − 3)y)) dy =02−π5.64(2n − 1)cos((2n + 1)y) π2 cos((2n − 3)y) π2=. +00(2n + 1)(2n − 3)π(2n + 1)(2n − 3)Задача 45, §22, [4]Разложить функцию f (x) = x2 в ряд Фурье:1. на отрезке [−π, π] по косинусам;2.
на интервале (0, π) по синусам;3. на интервале (0, 2π) по синусам и косинусам.668Пользуясь этими разложениями, найти суммы рядов∞X1S1 =,2nn=1S2 =∞X(−1)n+1n2n=1,S2 =∞Xn=11.(2n − 1)2Решение.1. См. задачу 3.3;Rπ 222n+1 π 22. bn = π y sin(ny) dy = π (−1)n −01πR2π21πR2π1π2;2π2 sin(ny) y n 0y cos(ny) dy =2πR2πR2πy cos(ny) 221− n y sin(ny) dy = − nπ − + n cos(ny) dy = n42 , bn =n0002π2π2πRR(2π)2121122 cos(ny) +ysin(ny)dy=−yycos(ny)dy=−ππnnπn +0002π2π2π R2πsin(ny) (2π)2 2sin(ny) 2111sin(ny) dy= π − n + n y n + n2 cos(ny)=n y n −n3.
a0 =y dy =8π 23 ,2(1+(−1)n+1 )n300an =0000− 4πn.Ответ.1. x2 =22. x =23. x =π232π+4∞P(−1)nn2n=1∞Pn+1(−1)n=14π 23+4∞Pn=1cos(nx), x ∈ [−π, π],1n2π2n−2(1+(−1)n+1 )n3sin(nx), x ∈ [0, π),cos(nx) − πn sin(nx) , x ∈ (0, 2π).Следовательно S1 и S2 получаются из первого равенства, если положить x =±π и, соответственно, x = 0: S1 =12 (S1+ S2 ) =2π8π26и S2 =π212 .В свою очередь, S3 =.Домашняя работа5.7ЗадачаРазложить функцию f (x) = 12 sin 2x, 0 6 x 6 π, в ряд Фурье по косинусам.6695.8Задача 28, §22, [4]Разложить в ряд Фурье функцию f (x) = x2 , −1 6 x 6 1, периодическипродолженную с периодом 2. Нарисовать график суммы ряда.5.9Задача 29, §22, [4]Разложить в ряд Фурье функцию0 6 x 6 1, x,f (x) =1,1 < x < 2,3 − x, 2 6 x < 3,периодически продолженную на всю числовую ось с периодом 3.
Нарисоватьграфик суммы ряда.Пусть f = u + iv - 2π-периодическая функция, абсолютно интегрируемая∞Pна периоде и f ∼cn einx .n=−∞5.10Задача 77, §22, [4]Доказать, что f (x + α) ∼∞P(cn einα )einx , α ∈ R.n=−∞5.11Задача 78, §22, [4]Доказать, что если k ∈ Z, то f (x)eikx ∼∞Pcn−k einx .n=−∞5.12Задача 79, §22, [4]∞PДоказать, что f¯ ∼c̄−n einx .n=−∞6Seminar on 21.02.2019.
Room 405. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье. Вычисление рядов Фурье с помощью комплекснозначных степенныхрядов670Почленное интегрирование, дифференцирование рядов Фурьеf ∈ L2 ([−π, π])почленно проинтегрированный (от 0 до x) на [−π, π] ряд Фурье записываетсяв виде∞∞∞XXa0bn X anbnx++sin(nx) −cos(nx);2nnnn=1n=1n=1В силу неравенства Коши - Буняковского, имеемvvu nu nnnnnX |ak | uXX |bk | uX 1 XX1|bk |2 ,|ak |2 ,6t·6t·kk2kk2k=1k=1k=1k=1k=1k=1v xuZπZ √ u f (y) dy − σn (x) 6 2π ut |f (y) − Sn (y)|2 dy,−π0гдеna0 X+(ak cos(kx) + bk sin(kx)) ,Sn (x) =2k=1Zxσn (x) =nnkk=1k=1k=1X bk X akX bka0+sin(kx) −cos(kx).Sn (y) dy = x +2kkk0Теорема 6.1. Пусть f ∈ L2 [−π, π] и an , bn – ее коэффициенты Фурье.
Тогда:∞∞PP|an ||bn |a) числовые рядыn иn сходятся;n=1n=1b) в каждой точке x ∈ [−π, π] имеет место равенствоZx∞∞ Xa0bn X anbnf (y) dy = x ++sin(nx) − cos(nx) .2nnnn=1n=10Теорема 6.2. Пусть функция f (x) 2π-периодически продолжена с отрезка [−π, π] на всю числовую ось и всюду там непрерывна. Пусть ее перваяпроизводная f 0 (x) определена на [−π, π], за возможным исключением лишьконечного числа точек −π < x1 < . . . < xn < π, и, на каждом из интервалов (−π, x1 ), (x1 , x2 ), .
. ., (xn , π) удовлетворяет, условию Гёлъдера. Тогда:1) ряд Фурье функции, f (x) сходится на [−π, π] к значению f (x);2) почленно продифференцированный ряд Фурье сходится к f 0 (x) на множестве (−π, x1 ) ∪ (x1 , x2 ) ∪ . . . ∪ (xn , π), а в точках −π, x1 , . . . , xn , π к [f 0 (π −0) + f 0 (−π + 0)]/2 ,..., [f 0 (π − 0) + f 0 (−π + 0)]/2 соответственно.671Суммирование тригонометрических рядов.Иногда удается вычислить суммусходящегося тригонометрического ряда, сведя его к степенному ряду, суммукоторого можно найти. Идея этого метода состоит в следующем: если ряды∞∞XXp0 +pn cos(nx),pn sin(nx)(6.1)n=1n=1сходятся на отрезке [−π, π], кроме, быть может, конечного множества точек,то на том же множестве значений переменной сходится ряд∞∞∞XXXp0 +pn cos(nx) + ipn sin(nx) = p0 +pn z n , z = eix .n=1n=1n=1Поскольку он сходится в некоторых точках единичной окружности |z| = 1,то он сходится в открытом круге |z| < 1 и его сумма∞Xiϕf (z) = f (re ) = p0 +pn z n , z = reiϕ ,n=1при 0 < |z| = r < 1 является аналитической функцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
